1、第 21 卷第 4 期2022 年12 月广州大学学报(自然科学版)Journal of Guangzhou University(Natural Science Edition)Vol 21No 4Dec2022收稿日期:2021-12-15;修回日期:2022-03-15基金项目:国家自然科学基金资助项目(12071096)作者简介:马景文(1997)，女，硕士研究生 E-mail:2047943585 qq com*通信作者 E-mail:cqzhang gzhu edu cn引文格式:马景文，张崇岐 q 分量二阶混料中心多项式模型 V-最优设计 J 广州大学学报(自然科学版)，2022
2、，21(4):80-86文章编号:1671-4229(2022)04-0080-07q 分量二阶混料中心多项式模型 V-最优设计马景文1，张崇岐2*(1 兰州财经大学 统计学院，甘肃 兰州730030;2 广州大学 经济与统计学院，广东 广州510006)摘要:在混料试验设计与最优设计的研究中，对于常用最优准则的研究，理论已趋于成熟，且一般模型的 D-最优设计和 A-最优设计都已经研究得比较透彻。而对 V-最优设计的研究相对较少，它的意义是回归方程预测方差在整个试验区域上平均值达到最小，主要的难点在于对整个试验区域上的积分。文章讨论了 q 分量二阶混料中心多项式模型的 V-最优设计，为了得到该
3、最优设计所对应的测度，主要运用分块矩阵的乘法运算、逆运算以及回归方程预测方差的积分运算。根据 V 最优准则，给出了相对应的条件极小值问题的目标函数，使用Lagrange 乘子法并结合软件 mathematica 获得了该问题 V-最优观测频数的一般解析表达式。最后利用软件mathematica 得到了 q=3 时该二阶单纯形中心设计具体的 V 最优配置。关键词:V-最优设计;中心多项式模型;mathematica中图分类号:O 212.6文献标志码:AV-optimal designs for mixture central polynomial model ofq-component sec
4、ond-degreeMA Jing-wen1，ZHANG Chong-qi2(1 School of Statistics，Lanzhou University of Finance and Economics，Lanzhou 730030，China;2 School of Economics and Statistics，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China)Abstract:In the study of mixture experimental design and optimal design，for the research on
5、com-mon optimal criteria，the theory has become mature And，the D-optimal design and A-optimal designof the general model have been studied thoroughly However，there are relatively few V-optimal stud-ies Its significance is that the average value of the regression equation prediction variance reaches t
6、heminimum of the whole experimental area Its main difficulty lies in the integration of the entire test ar-ea This paper discusses the V-optimal design of the q-component second-order mixture center polyno-mial model In order to obtain the measure corresponding to the optimal design，the multiplicati
7、on op-eration，the inverse operation of the block matrix and the integral operation of the regression equationprediction variance are mainly used According to the V-optimal criterion，the objective function ofthe corresponding conditional minima problem is given，and the general analytical expression o
8、f the V-optimal observation frequency of the problem is obtained by using the Lagrange multiplier method andthe software mathematica Finally，the software mathematica is used to obtain the specific V optimalconfiguration of the second-order simplex-center design when q=3Key words:V-optimal designs;ce
9、ntral polynomial model;mathematica第 4 期马景文等:q 分量二阶混料中心多项式模型 V-最优设计0引言混料试验设计是一种常见的、较特殊的涉及多因素的试验设计方法。在日常生产生活及科学实验中，很多产品的制造混合了多种成份。生产者或试验者常对产品的几种感兴趣的特性展开研究，这些特性往往与产品成份所占总量的比例之间存在函数关系，而不受混料总量的影响。混料问题的可控变量，即每种成份在混料总量中所占的百分比，是不能任意变化的，要受某些约束的限制。这些百分比必须都是非负的，而且相加之和必须是 11。在 q 分量混料试验模型中，用 E(Y)表示试验指标或响应值，x1，x2
10、，xq表示混料系统中 q 种成分各占的百分比，则混料试验设计就是要在满足约束条件0 xi 1，i=1，2，qqi=1xi=1，i=1，2，q(1)的限制下进行试验，并由此定义了一个 q 1 维正规单纯形试验区域Sq1=x:(x1，x2，xq)|qi=1xi=1，xi 0;i=1，2，q(2)在 Box 等2 提出最优准则后，Laake3 给出了积分方差达到最小的 V-最优设计，也称为 I-最优设计。关颖男等4 详细研究了二阶可加模型的 I-最优。刘严5 讨论了二阶 Scheffe 模型参数估计的 I-最优设计。张小峰等6 介绍了二阶随机变系数模型的 V-最优设计。基于此，本文将详细讨论 q 分
11、量二阶中心多项式的 V-最优设计。1q 分量中心多项式在试验设计中，每种试验设计方法是与一定的试验利益区域及数学模型相适应的。单纯形 格子设计的利益区域是整个的正规单纯形，其数学模型不是一般的多项式，而是混料规范多项式或者简称为 q，m 多项式7。q 分量 m 阶多项式回归模型中各分量比例 xi(i=1，2，q)要受约束条件qi=1xi=1(i=1，2，q)的限制，因此，可以用恒等式 x1+x2+xq=1 来乘 m 阶完全型多项式的某些项，然后进行化简而得到适合于混料试验的回归模型。q，m 多项式的项数是Cmq+m+1，与相应的 q，m 单纯形 格子设计的点数相同，当使用高阶混料规范多项式模型
12、时，所需的试验点个数仍然很多。针对此缺点，Scheff8 提出了单纯形 中心设计。单纯形 格子设计已是饱和设计，要进一步减少试验点数，就要从简化模型着手。同时，为了保持预测精度，又不能降低模型的阶数，可以删掉完全型多项式 混料规范多项式的某些项，而使保留的各项具有对称性。这样，可以采用以下特殊 q 阶多项式:E(Y)=qi=1ixi+i jijxixj+i j kijkxixjxk+1，2qx1x2xq=fT(x)(3)其中，x=x1，x2，xqT，f(x)=x1，x2，xq，x1x2，x1x3，xq 1xq，x1x2xqT，=1，2，q，12，13，q 1q，12qT，因为多项式(3)是与单
13、纯形中心设计联系在一起的，故把它称为 q 分量中心多项式。对于式(3)，试验点安排在单纯形所有各类中心上，共有 2q1 个不同的试验点，分别是(1，0，0)的 q 个排列，(12，12，0，0)的 C2q个排列，(13，13，13，0)的 C3q个排列，单纯形总体中心(1q，1q，1q)，即全部分量的等比例混料。本文将主要研究当 m=2 时，正规单纯形上的q 分量二阶中心多项式混料模型:E(Y)=qi=1ixi+1i jqijxixj(4)2V-最优设计回归预测值 y(x)的方差 var(y(x)是利益区域上的点函数，即var(y(x)=(x)2(5)这里 2是试验误差的方差9。对于不同的试验
14、设计方案来说，(x)在各个点 x 是不同的，可以把回归方程预测值方差在整个利益区域上的平均值作为衡量设计优良性的一种标准，它越小越好10。18广州大学学报(自然科学版)第 21 卷设W=var(y(x)dx1dxq1为整个单纯形区域上响应估计的积分方差。对于模型(3)，则W=Sq1fT(x)M1f(x)dx1dxq1=Sq1fT(x)(XTX)1f(x)dx1dxq1=tr(XTX)1L(6)这里，信息矩阵 M=XTX，设计矩阵 X=f1(x)，f2(x)，fq(x)T，测度矩阵 =diag(r1I11，r2I22，rqIqq)，Ikk为 Ckq Ckq阶单位阵，fT(x)M1f(x)为 给
15、定 点 x 的 响 应 估 计 的 方 差，L=Sq1fT(x)f(x)dx1dxq1。使 W 在 q 1 维正规单纯形试验区域 Sq 1的平均值达极小值的设计称为 V-最优设计11。即AVE(var(y)=Sq1fT(x)M1f(x)dx1dxq1Sq1dx=tr(XTX)1LSq1dx=tr M1LSq1dx达极小值。这里，Sq1dx 为 q 1 维单纯形的体积Sq1dx=1(q)，则AVE(var(y)=tr M1B(7)其中，B=L(q)。3q 分量二阶混料中心多项式 V-最优设计引理 112 对于混料试验区域 Sq 1上的二阶中心多项式模型(4)，响应估计的最优设计驻点是Sq 1上的
16、各类中心点(顶点、中点和重心)。引理213 假设集合 Sq1=x:(x1，x2，xq)|qi=1xi=1，xi0，i=1，2，q，则对pi0，有Sq1xp11xp22xpqqdx1dx2dxq1=qi=1(pi+1)(q+qi=1pi)。设 r1，r2分别表示 Sq 1上每个顶点及两顶点中心的测度，满足 C1qr1+C2qr2=1。对模型(4)采用单纯形中心设计，对应的设计矩阵 X 见表 1。表 1单纯形中心设计的设计矩阵 XTable 1Design matrix X for simple center designN0 x1x2x3xq 1xqx1x2x1x3xq 1xq110000000201000000q00001000C1q+11/21/20001/400C1q+21/201/20001/40C2q+10001/21/2001/4它可分块为 X=Iq01212M2114Im，其中，Iq为 q 阶单位阵，0aij为 CiqCjq阶零矩阵，Mij为 Ciq Cjq阶的0 1 矩阵。其第一行的前 i 个元素为 1，其余行是第一行元素按字典顺序的全排列，Im是 C2q阶单位阵。测度矩
