1、Science&Technology Vision科技视界随机信号分析 是通信、雷达、电子对抗等众多电子信息类专业的一门重要基础课，其概念抽象，理论性强，是教学过程中的一大难点1-3。该课程在教学过程中起着桥梁的作用，一方面以概率论、随机过程为基础，另一方面又为后续的专业课程奠定基础4-5。窄带随机信号分析是教学过程中的重点内容，希尔伯特变换是分析和处理窄带随机信号的一个重要的理论工具，在信号处理过程中希尔伯特变换通常用来构造解析信号。因此，希尔伯特变换又是学习窄带随机信号分析的基础，然而目前很多教材在介绍希尔伯特变换的时候都是直接给出概念6，没有讲清希尔伯特变换引入的原因，概念之间的联系未清
2、晰建立，让学生在理解方面存在一定畏难情绪，影响了教学效果。为降低学习难度，将教学内容与已学信号与系统中线性系统的性质、频移定理和傅里叶变换性质等知识充分融合，从希尔伯特变换概念引入原因、如何从本质上认识希尔伯特变换和希尔伯特变换的主要性质三个方面进行了优化设计，使得学员学习更加容易，理解更加透彻，知识掌握也更加系统、记忆更加深刻，为后续窄带随机信号的统计分析奠定基础。1希尔伯特变换引入在介绍希尔伯特变换时，许多参考教材都是以希尔伯特变换是分析窄带信号的有用数学工具开始，未直接给出具体原因，让初学者难以理解。课堂上从语音信号传输入手，其频率范围位于 2020000 赫兹，最小波长为 15 千米，
3、依据天线理论，天线尺寸需要与信号波长可比例特点，为将语音信号发射出去需要长度几十千米的天线，如果这样就不可能有手机的出现。为此，需要减小信号波长，主要手段就是采用频谱搬移方法，将信号从低频段搬移到高频短，通常载频远远大于信号带宽，将具有该特征信号称之为窄带信号。这就是通信、雷达、广播电视等信息传输系统传输信号采用窄带信号的原因。直接对窄带信号进行处理，根据采样定理采样频率必须大于最高频率的 2 倍才能完整保留信息，这样采样率非常高，严重增加了后续信号处理的软硬件复杂程度。考虑到实信号频谱特点为双边谱，然而在实际应用中，其负频率部分是DOI：10.19694/ki.issn2095-2457.2
4、022.30.39“随机信号分析”课程中希尔伯特变换教学设计钟何平田振（海军工程大学电子工程学院，湖北 武汉430033）【摘要】希 尔伯 特 变换是 随 机信号 分析 中的重 要 教 学 内 容，是 学 习 窄 带 随 机 信 号 分 析 的 基 础。为 提 升“随 机 信 号分 析”课 程 希尔 伯 特 变 换内容教 学效 果，从 课堂引 入、本 质 理解、重 要 性 质证 明三 个 方面 对 教学 内容 和 教 学方 法 进 行了优 化 设计。教学 内 容设 计 过程 中充 分 利用 已 学知 识，将线 性 系 统 的 性质、频移定 理 和傅 里 叶 变 换 性 质 合 理 融 入 到
5、希 尔伯特 变 换 重 要性 质 证明，有 效避 免复杂 的计 算推导，优 化 了学 习 过 程，在 降 低 学生 学习 难度 的 同 时，有 效 调动了 学 生学习 的 积 极 性，提 升 了 课 堂教学效 果。【关 键词】随 机 信号 分 析；窄 带 信号；希 尔 伯特 变 换；教 学 设 计基金 项 目：国家自 然 科学 基金（42176187）。作者简 介：钟 何平，博士，副 教 授，研究 方 向为 干 涉信 号处 理 和 并行 计 算。田 振，博士，助 理研 究 员，研 究方 向为 合 成孔 径 成 像。科学课堂131科技视界Science&Technology Vision物理不可
6、实现的。由于实信号的双边谱是关于 Y 轴偶对称的，因此，采用其单边谱的信号形式，既可简化对问题的分析，又可恢复原信号。设实信号 s（t）的频谱为，构造与其对应的单边谱信号?S（）。?S（）=2S（）U（）这里 U（）为阶跃函数。对上式两端同时进行傅立叶逆变换，得到单边谱信号?s（t）的时域形式。?s（t）=2s（t）*12（t）+jt=s（t）+js（t）*jt这里利用了常用傅立叶变换对 U（）FF-112（t）+jt。由于阶跃函数 U（）不满足绝对可积条件，但仍然存在傅里叶变换，将其表示为常数 1 与符号函数 sgn（）的之和 U（）=12（1+sgn（），因 （t）FF-11，jtFF-1
7、sgn（），故有 U（）FF-112（t）+jt。从?s（t）表达式可看出单边谱信号的时域形式为复信号，其实部为原信号 s（t），虚部为 s（t）与1t的卷积，也称信号的希尔伯特变换，定义如下：?s（t）=Hs（t）=s（t）*h（t）=s（t）*1t相应变换前后的频域关系为(S（t）=S（）H（）=S（）-jsgn（）由此可见，通过引入希尔伯特变换，可将双边谱信号表示为单边谱信号，然后通过频谱搬移去掉载频，将信号搬移到基带，极大降低信号采样率，简化了后续的信号处理过程。2希尔伯特的本质特征根据定义，希尔伯特变换(s（t）可表示为原信号 s（t）与1t的卷积。从信号通过系统的角度看，可将希尔伯
8、特变换(s（t）看作输入信号 s（t）通过传递函数为1t的线性系统的输出。该线性系统的冲激响应和传递函数分别为 h（t）=1t和 H（）=-jsgn（）。从希尔伯特变换等效后的线性系统传递函数形式可以看出，希尔伯特变换相当于一个 90 度的移相器，其中负频率部分移相正 90 度，正频率部分移相负90 度。但从频域看，各频率分量的幅度保持不变。因此，希尔伯特变换器可看作一个 90 度的理想移相器，也称正交滤波器。3希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的重要性质主要有以下四条：（1）两次希尔伯特变换相当于一个倒相器，即(s（t）=-s（t）。（2）希尔伯特逆变换等于负的希尔伯特正变换，即 H-1 =-H
9、 。（3）信号 cos0t 和 sin0t 的希尔伯特变换分别可表示为：Hcos0t=sin0t，Hsin0t=-cos0t，式中表示载频。（4）设 （t）为低频限带信号，其频谱为 A（），且A（）=A（），|200，else有H（t）sin0t=-（t）cos0tH（t）cos0t=-（t）sin0t在考虑重要性质证明时，尽量利用已学相关知识，最大程度避免复杂公式推导，降低学生学习难度。关于希尔伯特变换四条重要性质详细证明过程如下：（1）两次希尔伯特变换可看作一次希尔伯特变换的结果(s（t）再次经过一次希尔伯特变换的输出。从时域看输出结果为输入信号与两次系统冲击响应的卷积，即(s(（t）=H
10、Hs（t）=H(s（t）=(s（t）*1t=s（t）*1t*1t如果直接从时域计算输出结果，计算过程非常复杂。但是换个角度，从频域来看，系统输出结果的频谱为(s(（t）=(S（t）-jsgn（）=S（）-jsgn（）2=-S（）直接对上式两端同时进行傅立叶逆变换即可得科学课堂132Science&Technology Vision科技视界到对应时域关系：(s(（t）=-s（t）。即有两次希尔伯特变换后使得原信号反相，相当于一个倒相器。性质 1 的证明主要利用了希尔伯特线性系统输入与输出信号之间的频谱关系，在得到输出与输入信号频谱关系后，直接利用信号的时域与频域对应关系即可得到证明结果。（2）定
11、义希尔伯特逆变换为 s（t）=H-1(s（t），即对一次希尔伯特结果进行希尔伯特逆变换能够恢复原始信号。利用两次希尔伯特结论有 HH-s（t）=s（t），对其两端同时进行希尔伯特逆变换有 H-s（t）=H-1s（t）。根据希尔伯特变换定义有 H-s（t）=-Hs（t），因此可得 H-1 =-H ，也就是希尔伯特逆变换等于负的希尔伯特正变换。性质 2 的证明直接利用了性质 1 的结论，然后联合希尔伯特逆变换的特点，直接得到希尔伯特逆变换等于负的希尔伯特正变换的结论。（3）信号 cos0t 的希尔伯特变换，就是其通过希尔伯特变换器的输出。输出信号频谱为 cos0t 的频谱与系统传递函数的乘积，因
12、cos0tFF-1（-0）-（+0），系统传递函数 H（）=-jsgn（），所以输出信号的频谱为（-0）-（+0）-jsgn（）=-j（-0）-（+0）而该频域恰好是信号的频谱，因此有 Hcos0t=sin0t。在 Hcos0t=sin0t 成立的情况下，对其两端同时再次进行希尔伯特逆变换有 HHcos0t=Hsin0t，而 HHcos0t=-cos0t，因此有 Hsin0t=-cos0t。性质 3 的证明过程中充分利用了 （-0）和（+0）分别位于频域的正、负半轴，使得信号cos0t 的频谱可直接与符号函数相乘得到解析表达式的特点。（4）设 s1=（t）cos0t，利用傅立叶变换的平移性质有
13、 s1（t）的频谱 S1（）=12A（-0）+A（+0），因A（）=A（），|200，else，所以 A（-0）和 A（+0）互不重叠，分别位于频率轴的正半轴部分和负半轴部分。对 s1（t）进行希尔伯特变换后在频域有(S1（）=-jsgn（）S1（）=-j2A（-0）+A（+0），(S1（）恰好是 （t）sin0t 的频谱，因此有 H（t）cos0t=（t）sin0t。在证明过程中一定要注意低频限带条件，该条件的主要目的是使得 A（）的频谱左右各搬移 0后，两部分频谱在零频位置不发生混叠，否则就难以直接得到通过希尔伯特变换后可分离的信号频谱解析表达式。在 H（t）cos0t=（t）sin0t
14、成立的情况下，对其两端同时再次进行希尔伯特变换有 HH（t）cos0t=H（t）sin0t，而二次希尔伯特变换 HH（t）cos0t=-（t）cos0t，因此有 H（t）sin0t=-（t）cos0t。4结语为提升课堂教学效果，对“随机信号分析”课程中希尔伯特变换教学内容进行了优化设计。首先从语音信号传输入手，逐步深入，介绍了引入希尔伯特变换的原因，进而给出了希尔伯特变换定义。从信号通过系统角度，可将希尔伯特变换看作一个线性系统。然后利用线性系统特性和频移定理来证明希尔伯特变换的四条重要性质。整个教学内容设计上有效避免了复杂的公式推导，降低了学习难度，提升了学生学习的兴趣，同时为后续窄带随机信
15、号分析学习奠定了坚实基础。【参考文献】1张春梅，刘泽良，谭海燕，等.提高随机信号分析课程教学效果的方法J.教育现代化，2019，6（27）：223-224.2付卫红，郭万里，刘乃安，等.基于翻转课堂的“随机信号分析实验”教学J.电气电子教学学报，2018，40（3）：133-136.3高山，魏娜，任宇环，等.基于信息化教学手段的随机信号分析课堂设计J.大学教育，2017（7）：29-30.4叶方，姜弢，张朝柱，等.“随机信号分析”课程多层次教学改革的探索与实践J.教育教学论坛，2017（22）：129-130.5谭鸽伟，潘光武.随机信号分析的教学实践与改革J.教育教学论坛，2014（30）：145-146.6罗鹏飞，张文明.随机信号分析与处理M.第2版.北京：清华大学出版社，2012.科学课堂133
