1、2023年高三一轮复习讲座七 -直线和圆的方程主讲教师：王思俭 苏州中学二、复习要求1、 直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。 2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。3、直线和圆位置关系的研究。三、学习指导1、 曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系，形和数可以得到高度的统一，它们最根本的对应关系是点和有序数对的一一对应。当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，那么称曲线C为方程F(x，y)
2、=0表示的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表示的方程。从集合角度看，点集曲线与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形。坐标法是几何问题代数化的重要方法。 2、直线的倾斜角和斜率k是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tan，0，当=时，直线斜率不存在，否那么由求出唯一的k与之对应。当k，求倾斜角时：k0时，=arctank；k0或Ax0+By0+C0或0。圆方程常见形式：1标准式：(x-a)2+(y-b)2=R2R0，其中a，b为圆心，R为半径；2一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0；
3、3参数式：(x-a)2+(y-b)2=R2R0的参数式为：x=a+Rcos，y=b+Rsin，其中为参数，表示旋转角，参数式常用来表示圆周上的点。求圆方程的原理与求直线方程完全类似。直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论法。6、对称是平面几何的根本变换。在掌握点关于点及直线对称的根底上，理解曲线与曲线之间的中心对称及轴对称。善于利用对称的知识解题。7、本章主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，等价变换等。四、典型例题例1、定点P6，4与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使OQM面积最小的直线l方程。分析
4、：直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q还是M作为参数是此题关键。通过比拟可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设Qx0，4x0，Mm，0 Q，P，M共线 kPQ=kPM 解之得： x00，m0 x0-10 令x0-1=t，那么t0 40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立此时Q11，44，直线l：x+y-10=0评注：此题通过引入参数，建立了关于目标函数SOQM的函数关系式，再由根本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。例2、ABC中，A2，-1，B4，3，C3，-2，求
5、： 1BC边上的高所在直线方程；2AB边中垂线方程；3A平分线所在直线方程。分析： 1 kBC=5 BC边上的高AD所在直线斜率k= AD所在直线方程y+1=(x-2) 即x+5y+3=0 2 AB中点为3，1，kAB=2 AB中垂线方程为x+2y-5=0 3设A平分线为AE，斜率为k，那么直线AC到AE的角等于AE到AB的角。 kAC=-1，kAB=2 k2+6k-1=0 k=-3-舍，k=-3+ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y
6、)为直线AE上任一点，那么P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。例3、1求经过点A5，2，B3，2，圆心在直线2x-y-3=0上圆方程； 2设圆上的点A2，3关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。（1） 法一：从数的角度假设选用标准式：设圆心Px，y，那么由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2又2x0-y0-3=0两方程联立得：，
7、|PA|= 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10假设选用一般式：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，那么圆心 解之得：法二：从形的角度AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，那么由得圆心P4，5 半径r=|PA|=显然，充分利用平几知识明显降低了计算量（2） 设A关于直线x+2y=0的对称点为A由AA为圆的弦 AA对称轴x+2y=0过圆心设圆心P-2a，a，半径为R那么R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2又弦长， 4(a+1)2+(a-3)2=2+ a=-7或a=-3当a=-7时，R=；当a=-3时，R= 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x
8、-14)2+(y+7)2=244例4、方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，1求实数m取值范围；2求圆半径r取值范围；3求圆心轨迹方程。分析： 1m满足-2(m+3)2+2(1-4m2)2-4(16m4+9)0，即7m2-6m-10 （3） 半径r= 时， 0r 3设圆心Px，y，那么消去m得：y=4(x-3)2-1又 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)例5、如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求MAQ垂心P的轨迹方程。分析：从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运
9、用。连OQ，那么由OQMQ，APMQ得OQAP同理，OAPQ又OA=OQ OAPQ为菱形 |PA|=|OA|=2设P(x，y)，Q(x0，y0)，那么又x02+y02=4 x2+(y-2)2=4x0评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。同步练习（一） 选择题1、 假设直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，那么实数m取值范围是A、-1m B、m1 C、m1 D、m12、 直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，那么m值为A、 或-3 B、-3或 C、-3或3 D、或33
10、、 点P在直线x+y-4=0上，O为原点，那么|OP|的最小值是A、 2 B、 C、 D、4、 过点A1，4，且横纵截距的绝对值相等的直线共有A、 1条 B、2条 C、3条 D、4条5、 圆x2+y2-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，假设APB=900，那么C的值是A、 -3 B、3 C、 D、8 6、假设圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，那么半径r取值范围是A、 4，6 B、4，6 C、4，6 D、4，6 7、将直线x+y-1=0绕点1，0顺时针旋转后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x2+(y-1)2=R2相切，那么正数R等于A、 B、 C、1 D、
