1、第04讲 分式1分式的基本概念(1)形如(A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子叫做分式(2)当B0时，分式有意义；当B0时，分式无意义；当A0 时，分式的值为零. 2分式的性质(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即，；(M是不等于零的整式)(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变即.3最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式4分式的运算 (1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质通分的关键是确定几个分式的最简公分母(2)确定最简公分母
2、：确定方法：取各分式的分母中系数的最小公倍数；各分式的分母中所有字母或因式都要取到；相同字母(或因式)的幂取指数最大的；所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母(3)约分：把分式中分子与分母的_公因式_约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质(4)分式的运算法则：加减法：同分母加减法：_；异分母加减法：.乘除法：；_乘方：()n.考点1： 分式的化简【例题1】下列变形错误的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】：A选项分子和分母同时除以最大公因式；B选项的分子和分母互为相反数；C选项分子和分母同时除以最大公因式，D选项正确的变形是所以答案是D选项
3、考点2： 分式的化简【例题2】（2023年包头）化简；（1）=【答案】【解析】：原式=（）=，故答案为：考点3：分式的加减乘除运算【例题3】先化简，再求值：(a2)，其中a满足a2a60.【解答】解：原式.a2a60，且a2，3，a3(舍去)或a2.当a2时，原式.归纳：1.分式化简时，应注意：当自主确定代数式中字母的取值时，一定要注意所选取的值不能使原分式中的分母为0；另外对于所给值是代数式时，可考虑整体代入思想计算以达到简便计算的目的 2分式化简求值的一般步骤： 第一步：若有括号的，先计算括号内的运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项
4、，把括号去掉，简称：去括号； 第二步：若有除法运算的，将分式中除号()后面的式子分子、分母颠倒，并把这个式子前的“”变为“”，保证几个分式之间除了“、”就只有“或”，简称：除法变乘法； 第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算，简称：先算乘法； 第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式，简称：再算加减； 第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义，简称：代入求值一、选择题：1. （2023年金华）若分式的值为0，则x的值为（）A3 B3 C3或3 D0【答案】A【解答】由分式的值为零的条件得x3=0，且x+30，解得x=3故选：A2
5、. （2023年台州）计算，结果正确的是（）A1BxCD【答案】A【解答】原式=1，故选：A3. （2023年江苏扬州3分）分式可变形为( D )A. B.- C. D.【答案】：故选B.【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号4.（2023年河北省2分）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（）A段B段C段D段【答案】B【解析】1又x为正整数，x1故表示的值的点落在5. （2023年四川省达州市3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为1，1的差倒数，已知a15，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，依此类推，a2023年的值是（）A5BC
6、D【答案】D【解答】解：a15，a2，a3，a45，数列以5，三个数依次不断循环，2023年3673，a2023年a3，故选：D二、填空题：6. （2023年江苏泰州3分）若分式有意义，则x的取值范围是【答案】 x【解答】解：根据题意得，2x10，解得x故答案为：x7. （2023年襄阳）计算的结果是【答案】【解答】原式=，故答案为：8. （2023年四川自贡4分）化简+结果是【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式=+=故答案为：9. 先阅读下面一段文字，然后解答问题：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括
7、300支）只能按零售价付款现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m21）元，（m为正整数，且m21100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m21）元设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是；铅笔的零售价每支应为元；批发价每支应为元（用含x、m的代数式表示）【分析】关系式为：学生数300，学生数+60301列式求值即可；零售价=总价学生实有人数；批发价=总价（学生实有人数+60）【解答】解：由题意得：x300，x+60301，241x300；铅笔的零售价每支应为元；批发价每支应为元三、解答题：10. （2023年玉林）先化简再求值：（a），其中
8、a=1+，b=1【分析】据分式的运算法则即可求出答案，【解答】：当a=1+，b=1时，原式=11.（2017张家界）先化简（1），再从不等式2x16的正整数解中选一个适当的数代入求值【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可【解答】解：（1）=，2x16，2x7，x，把x=3代入上式得：原式=412. (2023年遵义)化简分式()，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值【解析】：原式()a3.a3，2，3，a4或a5.当a4时，原式7.(或当a5时，原式8.)13
9、. (2023年石家庄模拟)化简，并求值，其中a与2，3构成ABC的三边，且a为整数【解析】：原式.a与2，3构成ABC的三边，1a5.又a为整数，a2，3，4.又a2且a3，a4.当a4时，原式1.14. 问题探索：（1）已知一个正分数（mn0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论（2）若正分数（mn0）中分子和分母同时增加2，3k（整数k0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由【分析】（1）使用作差法，对两个分式求差，有=，由差的符号来判断两个分式的大小（2）由（1）的结论，将1换为k，易得答案，（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论【解答】解：（1）（mn0）证明：=，又mn0，0，（2）根据（1）的方法，将1换为k，有（mn0，k0）（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；则可得：，所以住宅的采光条件变好了8
