1、专题22 正方形 专题知识回顾 1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即
2、有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S正方形=专题典型题考法及解析 【例题1】（2023年湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知A90，BD4，CF6，则正方形ADOF的边长是（）A2B2C3D4【答案】B【解析】设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BEBD4，CECF6，BCBE+CEBD+CF10，在RtABC中，AC2+AB2BC2，即（6+x）2+（x+4）2102，整理得，x2+10x240，解得：x
3、2，或x12（舍去），x2，即正方形ADOF的边长是2【例题2】（2023年四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F求证：OEOF【答案】见解析。【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OBOA，根据AMBE，即可得出MEA+MAE90AFO+MAE，从而证出RtBOERtAOF，得到OEOF证明：四边形ABCD是正方形BOEAOF90，OBOA又AMBE，MEA+MAE90AFO+MAE，MEAAFOBOEAOF（AAS）OEOF 专题典型训练题 一、选择题1（2023年内蒙古包头）如图，在
4、正方形ABCD中，AB1，点E，F分别在边BC和CD上，AEAF，EAF60，则CF的长是（）ABC1D【答案】C 【解析】四边形ABCD是正方形，BDBAD90，ABBCCDAD1，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BAEDAF，EAF60，BAE+DAF30，DAF15，在AD上取一点G，使GFADAF15，如图所示：AGFG，DGF30，DFFGAG，DGDF，设DFx，则DGx，AGFG2x，AG+DGAD，2x+x1，解得：x2，DF2，CFCDDF1（2）1；故选：C2（2023年湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋
5、转45后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023年次得到正方形OA2023年B2023年C2023年，那么点A2023年的坐标是（）A（，）B（1，0） C（，） D（0，1）【答案】A.【解析】解：四边形OABC是正方形，且OA1，A（0，1），将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1，A1（，），A2（1，0），A3（，），发现是8次一循环，所以2023年8252余3，点A2023年的坐标为（，）故选：A3.（2023年四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为 【答案】A【解析】阴影部分面积=1=4.（202
6、3年贵州省铜仁市）如图，正方形ABCD中，AB6，E为AB的中点，将ADE沿DE翻折得到FDE，延长EF交BC于G，FHBC，垂足为H，连接BF、DG以下结论：BFED；DFGDCG；FHBEAD；tanGEB；SBFG2.6；其中正确的个数是（）A2B3C4D5【答案】C【解答】正方形ABCD中，AB6，E为AB的中点ADDCBCAB6，AEBE3，ACABC90ADE沿DE翻折得到FDEAEDFED，ADFD6，AEEF3，ADFE90BEEF3，DFGC90EBFEFBAED+FEDEBF+EFBDEFEFBBFED故结论正确；ADDFDC6，DFGC90，DGDGRtDFGRtDCG结
7、论正确；FHBC，ABC90ABFH，FHBA90EBFBFHAEDFHBEAD结论正确；RtDFGRtDCGFGCG设FGCGx，则BG6x，EG3+x在RtBEG中，由勾股定理得：32+（6x）2（3+x）2解得：x2BG4tanGEB故结论正确；FHBEAD，且BH2FH设FHa，则HG42a在RtFHG中，由勾股定理得：a2+（42a）222解得：a2（舍去）或aSBFG42.4故结论错误。5（2023年黑龙江省绥化）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB4，EF2，设AEx当PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确
8、的是（）当x0（即E、A两点重合）时，P点有6个当0x42时，P点最多有9个当P点有8个时，x22当PEF是等边三角形时，P点有4个ABCD【答案】B【解析】当x0（即E、A两点重合）时，如下图，分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个P点，以AF为直径作圆，有2个P点，共6个，所以，正确。当0x42时，P点最多有8个，故错误。 二、填空题6（2023年湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是 .【答案】4【解析】勾a6，弦c10，股8，小正方形的边长862，小正方形的面积224.故答案是：4.7（202
9、3年湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tanAPD 【答案】2【解析】解：连接AF，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CFBE，在ABE和BCF中，RtABERtBCF（SAS），BAECBF，又BAE+BEA90，CBF+BEA90，BPEAPF90，ADF90，ADF+APF180，A、P、F、D四点共圆，AFDAPD，tanAPDtanAFD2，故答案为：28.（2023年湖北省随州市）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边B
10、C于点G，连接AG，CF给出下列判断：EAG=45；若DE=a，则AGCF；若E为CD的中点，则GFC的面积为a2；若CF=FG，则DE=（-1）a；BGDE+AFGE=a2其中正确的是_（写出所有正确判断的序号）【答案】【解析】四边形ABCD是正方形，AB=BC=AD=a，将ADE沿AE对折至AFE，AFE=ADE=ABG=90，AF=AD=AB，EF=DE，DAE=FAE，在RtABG和RtAFG中，RtABGRtAFG（HL），BAG=FAG，GAE=GAF+EAF=90=45，故正确；BG=GF，BGA=FGA，设BG=GF=x，DE=a，EF=a，CG=a-x，在RtEGC中，EG=
11、x+a，CE=a，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，解得x=a，此时BG=CG=a，GC=GF=a，GFC=GCF，且BGF=GFC+GCF=2GCF，2AGB=2GCF，AGB=GCF，AGCF，正确；若E为CD的中点，则DE=CE=EF=，设BG=GF=y，则CG=a-y，CG2+CE2=EG2，即，解得，y=a，BG=GF=，CG=a-，故错误；当CF=FG，则FGC=FCG，FGC+FEC=FCG+FCE=90，FEC=FCE，EF=CF=GF，BG=GF=EF=DE，EG=2DE，CG=CE=a-DE，即，DE=（-1）a，故正确；设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=
12、a-b，CE=a-c，由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac，=，即SCEG=BGDE，SABG=SAFG，SAEF=SADE，S五边形ABGED+SCEG=S正方形ABCD，BGDE+AFEG=a2，故正确故答案为：由折叠得AD=AF=AB，再由HL定理证明RtABGRtAFG便可判定正误；设BG=GF=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得BG=a，进而得GC=GF，得GFC=GCF，再证明AGB=GCF，便可判断正误；设BG=GF=y，则CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得CGF的面积，便可判断正误；证明FEC=FCE，得EF=CF=GF，进而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得bc=a2-ab-ac，再得CEG的面积为BGDE，再由五边形ABGED的面积加上CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误9（2023年福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的O的圆心重合，E、F分别是AD、BA
