1、第八章 圆锥曲线知识结构网络81 椭圆方程及性质 一、明确复习目标1掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2掌握椭圆的简单几何性质;掌握a,b,c,e等参数的几何意义及关系二建构知识网络1 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；时为线段，无轨迹。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P| ，0e1的常数。为抛物线；为双曲线2 标准方程：1焦点在x轴上，中心在原点：ab0；焦点F1c，0， F2
2、c，0。其中一个2焦点在y轴上，中心在原点：ab0；焦点F10，c，F20，c。其中3两种标准方程可用统一形式表示：Ax2+By2=1 A0，B0，AB当AB时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上，这种形式用起来更方便。3性质：对于椭圆：ab0如下性质必须熟练掌握：范围; 对称轴,对称中心; 顶点;焦点; 准线方程; 离心率; (参见课本)此外还有如下常用性质：焦半径公式： |PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；(由第二定义推得) 焦准距；准线间距;通径长;最大角证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,那么对于椭圆：ab0的性质可类似的给出请课后完成。4椭圆方程中的a,b,c,
3、e与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关5对椭圆方程作三角换元即得椭圆的参数方程：；注意不是xOP(x,y)6有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法及结论：设椭圆：上弦AB的中点为M(x0,y0),那么斜率kAB=,对椭圆：, 那么kAB=三、双基题目练练手12023全国ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么ABC的周长是 ( ) A B6 C D12 2(2023广东) 假设焦点在轴上的椭圆的离心率为，那么m= ABCD3 (2023山东)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长
4、为，焦点到相应准线的距离为1，那么该椭圆的离心离为 ( )ABCD4设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，假设直线MF1恰与圆F2相切，那么该椭圆的离心率e为 ( )A 1 B2 C D5椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，那么这个椭圆方程为_6(2023四川15)如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半局部于,七个点，F是椭圆的一个焦点，那么_简答提示：1-4CBBA； 4易知圆F2的半径为c，2ac2+c2=4c2，2+22=0，=15 +=1或+=1；
5、6根据椭圆的对称性知，同理其余两对的和也是，又， =35四、经典例题做一做【例1】假设椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OMO为原点的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为OAOB，易得a、b的两个方程解法1：设Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0a+bx22bx+b1=0.由 x+y=1，ax2+by2=1，x0=，y0=1=M，kOM=，b=a OAOB，=1x1x2+y1y2=0x1x2=，y1y2=1x11x2，y1y2=1x1+x2+x1x2=1+=+=0a+b=2
6、由得a=21，b=21所求方程为21x2+21y2=1法2：(点差法)由ax1+by1=1, ax2+by2=1相减得,即下同法1提炼方法：1设而不求，即设出Ax1，y1，Bx2，y2，借助韦达定理推出b=a再由OAOB得x1x2+y1y2=0,转换出a,b的又一关系式,2点差法得b=a【例2】(2023湖南) 椭圆C：1ab0的左右焦点为F1、F2，离心率为e 直线,l：yexa与x轴y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设证明：1e2；假设，MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；理科无此问确定的值，使得PF1F2是等腰三角形证法一：因为A、B
7、分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是所以点M的坐标是 由即证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以 因为点M在椭圆上，所以 即 解得 当时，所以 由MF1F2的周长为6，得 所以 椭圆方程为解法一：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当PF1F2为等腰三角形解法二：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是，那么由|PF1|=|
8、F1F2|得两边同时除以4a2，化简得 从而于是 即当时，PF1F2为等腰三角形【例3】(2023春上海)1求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；2椭圆的方程是 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；3利用2所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心 解：1设椭圆的标准方程为， ，即椭圆的方程为， 点在椭圆上， ， 解得 或舍， 由此得，即椭圆的标准方程为 2设直线的方程为， 与椭圆的交点()、()，那么有， 解得 ， ， ，即 那么 ， 中点的坐标为 线段的中点在过原点的直线 上
9、3如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线与前两条直线不平行分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心 MAOA1M1N1D1C1NBDB1C【例4】 2023江西如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点 转动,并且交椭圆于、两点, 为线段的中点(1) 求点的轨迹的方程;(2) 假设在的方程中,令确定的值,使原点距椭圆的右准线最远此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大解：如图 (1)设椭圆上的点、,又设点坐标为，那么 当不垂直轴时， 由得 当 垂直于轴时，点即为点，满足方程x 故所求点的轨迹的方程
10、为： (2)因为,椭圆右准线方程是,原点距椭圆的右准线的距离为, 时,上式到达最大值,所以当时,原点距椭圆的右准线最远 此时 设椭圆 上的点、, 的面积 设直线的方程为,代入中,得由韦达定理得令,得,当取等号因此,当直线绕点转动到垂直轴位置时, 三角形的面积最大特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于 “含斜率不存在,而无斜率为零的情况.【研讨欣赏】1点P的坐标是(-1,-3)，F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动，当取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。2设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标。
11、解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,那么c=2,椭圆的右准线方程为x=8 过点Q作QQ于点Q,过点P作PP于点P,那么据椭圆的第二定义知,易知当P、Q、Q在同一条线上时，即当Q与P点重合时，才能取得最小值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得。 因此,当Q点运动到(2,-3)处时, 取最小值9(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d那么其中,如果, 那么当y=-b时,d2取得最大值解得b=与矛盾, 故必有 当时d2取得最大值， 解得b=1,a=2 所求椭圆方程为由可得椭圆上到点P的距离等于的点为,五提炼总结以为师1椭圆定义是
12、解决问题的出发点,一般地，涉及a、b、c的问题先考虑第一定义，涉及e、d及焦半径的问题行急需处理 虑第二定义；2求椭圆方程，常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别掌握；1当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；2两种标准方程中，总有ab0，c2=a2-b2并且椭圆的焦点总在长轴上；3要正确理解和灵活运用参数a,b,c,e的几何意义与相互关系；4会用方程分析解决交点、弦长和求值问题，能正确使用“点差法及其结论。同步练习 81 椭圆方程及性质 【选择题】1(2023全国I)椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P，那么= ABCD42(2023全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设F1PF2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是 A B C D【填空题】3点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P的横坐标是_4F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POABO为椭圆中心时，那么椭圆的离心率为_5P是椭圆1ab0上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，那么椭圆方程为_6
