1、专题24.4弧长和扇形面积（讲练）一、 知识点1.正多边形与圆2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l；扇形的面积S3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：圆锥S侧=rl，S=r（l+r）注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积二、标准例题：例1：如图，在矩形ABCD中有对角线AC与BD相等，已知AB=4,BC=3,则有AB2+BC2=AC2,矩形在直线MN上绕其右下角的顶点B向右旋转90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图位置依次类推，则:(1)AC=_.(2)这样连续旋转2023次后，顶点B在整个旋转过
2、程中所经过的路程之和是_.【答案】5 3028 【解析】（1）AB2+BC2=AC2, AB=4,BC=3,AC2= 42+32=25,AC=5；（2）转动一次B的路线长是：0，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：=2，以此类推，每四次循环，20234=504余3，顶点B转动四次经过的路线长为：0+ 2=6,连续旋转2023次经过的路线长为：6504+0+=3028故答案为：（1）5；（2）3028总结：本题考查弧长的计算、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型例2：如图，在RtABC中，ABC=90，AB
3、=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )ABCD【答案】A【解析】连接OD，过点O作OHAC，垂足为 H，则有AD=2AH，AHO=90，在RtABC中，ABC=90，AB=，BC=2，tanA=，A=30，OH=OA=，AH=AOcosA=，BOC=2A=60，AD=2AH=，S阴影=SABC-SAOD-S扇形BOD=，故选A.总结：本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.例3：如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且（表示的长），若将此扇
4、形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：连接交AC于由折叠的知识可得：，且，设圆锥的底面半径为，母线长为，故选：总结：本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.三、练习11如图，已知在O中，AB=4， AF=6，AC是直径，ACBD于F，图中阴影部分的面积是（）A B CD【答案】D【解析】解：AC是直径，ACBD于F，BF=DF，BAC=DAC，在RTABF中， BD=2BF=4，连接OB、OD、BC，AC是直径，ABC=90，BF2=AFFC，即（2）2=6FC，FC=2，直径AC=AF+FC=6+2=8，O的半径为4，A
5、B=4，AF=6，BAF=30，BAD=60，BOD=120，OC=4，FC=2，OF=2，故选择：D.2圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180，圆锥的高是（）A5cmB10cmC6cmD5cm【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R，根据题意得25，解得R10即圆锥的母线长为10cm，圆锥的高为：5cm3如图，在ABC中，ACB90，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m，n，l，则下列各式成立的是（）Am+nlBm+nlCm2+n2l2Dm2+n2l2【答案】D【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2AB2，mAC，nBC，1AB，m22AC2，n22BC2，
6、122AB2，m2+n22（AC2+BC2）2AB212，故选：D4一个扇形的半径为6，圆心角为120，则该扇形的面积是( )A2B4C12D24【答案】C【解析】S=，故选C5如图，在ABC中，AB6，将ABC绕点A通时针旋转40后得到ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）ABC4D条件不足，无法计算【答案】C【解析】解：由旋转的性质可知，SADESABC，则阴影部分的面积SADE+S扇形DABSABCS扇形DAB4，故选：C6如图，在正方形ABCD中，边长AB=1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（ ）ABCD【答案】
7、B【解析】解：将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180至正方形AB1C1D1，CC1=2AC=2AB=2，线段CD扫过的面积=（）2-=，故选：B7已知的扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的弧长为ABCD【答案】B【解析】根据弧长公式：l=3，故选B8一个圆锥形的圣诞帽高为 10cm，母线长为 15cm，则圣诞帽的表面积为（ ）A75p cm2B150p cm2C150p cm2D75p cm2【答案】A【解析】解：高为10cm，母线长为15cm，由勾股定理得，底面半径= =5 cm，底面周长=10cm，侧面面积= 1015=75cm2故选：A9如图，扇形OAB的圆心角为90，分别以OA，
8、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（）APQBPQCPQD无法确定【答案】C【解析】设OAa，扇形OAB的面积，以OA，OB为直径在扇形内作的半圆的面积P扇形OAB的面积（以OA为直径的半圆的面积+以OB为直径的半圆的面积）+Q2+QQ故选C10如图，圆锥的底面半径r6，高h8，则圆锥的侧面积是（ ）A15B30C45D60【答案】D【解析】解：圆锥的母线，圆锥的侧面积，故选：D11如图，四边形ABCD为矩形，以A为圆心，AD为半径的弧交AB的延长线于点E，连接BD，若AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为_【答案】+2-4【解析】解：BC交弧
9、DE于F，连接AF，如图，AF=AD=4，AD=2AB=4AB=2，在RtABF中，sinAFB=，AFB=30，BAF=60，DAF=30，BF=AB=2，图中阴影部分的面积=S扇形ADF+SABF-SABD=+22-24=+2-412如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，BOC60，BCO90，将BOC绕圆心O逆时针旋转至BOC，点C在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_cm2（结果保留）【答案】【解析】解：BOC60，BOC是BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，BOC60，BCOBCO，BOC60，CBO30，BOB120，AB2cm，OB1cm，OC，S扇形BO
10、B，S扇形COC，阴影部分面积S扇形BOB+SBCOSBCOS扇形COC阴影部分面积S扇形BOB+SBCOSBCOS扇形COCS扇形BOBS扇形COC；故答案为：13如图，在扇形中，半径与的夹角为，点与点的距离为，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_.【答案】【解析】解：连接，过作于，故答案是：14如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为_【答案】6.【解析】圆锥的底面周长cm，设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为：15已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是_度【答案】90【解析】解
11、：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得， ，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ，根据题意得 ，解得 ，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为故答案为：9016如图，中，平分交于点，是上一点，经过、两点的分别交、于点、，则劣弧的长为_【答案】【解析】连接DF，OD，CF是O的直径，CDF=90，ADC=60，A=90，ACD=30，CD平分ACB交AB于点D，DCF=30，OC=OD，OCD=ODC=30，COD=120，在RtCAD中，CD=2AD=2，在RtFCD中，CF=4，O的半径=2，劣弧的长=，故答案为：17将圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为_【答案】4【解析
12、】解：设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，解得，所以圆锥的高故答案为418如图所示，当半径为30cm的转动轮转过120角时，传送带上的物体A平移的距离为多少厘米？(保留) 【答案】20cm【解析】 =20cm故答案为：20cm19如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（5，2），C（2，1）（1）画出ABC关于y轴的对称图形A1B1C1；（2）画出将ABC绕原点O逆时针方向旋转90得到的A2B2C2；（3）求（2）中点C运动的路径长 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）如图，A1B1C1即为所求；（2）如图，A2B2C2即为所求；（3）如图所示：OC=,点C运动的路径长为:.20如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S25，且AC+BC6，求AB的长【答案】.【解析】，即：，根据等式性质,两边都减去两个弓形面积,则，.，即，.21如图，AB为的直径，且，点C是上的一动点(不与A，B重合)，过点B作的切线交AC的延长线于点
