1、24.2点和圆、直线和圆的位置关系（讲练）一、知识点1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)dr点在O外2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系drdrdr3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引
2、圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.6.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等7.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等二、标准例题：例1：已知O的半径OA长为，若OB，则可以得到的正确图形可能是（）ABCD【答案】A【解析】解：O的半径OA长为，若OB，OAOB，点B在圆外，故选
3、：A总结：本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到直线的距离和圆的半径的大小关系，难度不大例2：已知是的直径，弦与相交，(1)如图，若为弧的中点，求和的度数；(2)如图，若D为弧上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，若DP/AC，求OCD的度数【答案】(1)ABC=50，；(2)OCD=25.【解析】(1)如图1，连接，AB为直径，ACB=90，ABC=90-BAC=50，为弧的中点，,，；(2)如图2，连接，切于点，即由，又，是的一个外角，总结：本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，圆的切线垂直于过切点的半径；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
4、圆心角的一半；直径所对的圆周角等于90.熟练掌握相关性质和定理是解题关键.例3：如图，在44的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，ABC的外心可能是（）AM点BN点CP点DQ点【答案】D【解析】解：由图可知，ABC是锐角三角形，ABC的外心只能在其内部，由此排除A选项和B选项，由勾股定理得，BPCPPA，排除C选项，故选：D总结：本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键例4：如图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB5，BC13，CA12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A4B6.25C7.
5、5D9【答案】A【解析】AB=5，BC=13，CA=12，AB2+AC2=BC2，ABC为直角三角形，且BAC=90，O为ABC内切圆，AFO=AEO=90，且AE=AF，四边形AEOF为正方形，设O的半径为r，OE=OF=r，S四边形AEOF=r，连接AO，BO，CO，SABC=SAOB+SAOC+SBOC，r=2，S四边形AEOF=r=4，故选A.总结：本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.三、练习1边长为的正三角形的外接圆的半径为ABCD【答案】C【解析】如图所示，连接OB，OC，过O作ODBC；BC=1,BD=,ABC是正
6、三角形，BOC=120，OB=OC，BOD=60，OBD=30，OB=故选C2O的半径为5cm，A是线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与O的位置关系是（ ）A点A在O内B点A在O上C点A在O外D不能确定【答案】A【解析】OP=7cm，A是线段OP的中点，OA=3.5cm，小于圆的半径5cm，点A在圆内故选A3如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，若，则的度数为（ ）ABCD【答案】B【解析】解：AC是O的切线，且，故选：B4已知A与B外切，C与A、B都内切，且AB5，AC6，BC7，那么C的半径长是（ ）A11B10C9D8【答案】C【解析】设A的半径为X,B的半径为Y,C的半径
7、为Z.解得 故选：C5如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，若P=50，则C的值是（ ）A50B55C60D65【答案】D【解析】解：连接OA、OB，PA、PB与圆O分别相切于点A、B，OAAP，OBPB，OAP=OBP=90，又P=50，AOB=360-90-90-50=130，又ACB和AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，C=AOB=130=65故选：D6如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD【答案】D【解析】PA，PB是O的切线，PAPB，所以A成立；B
8、PDAPD，所以B成立；ABPD，所以C成立；PA，PB是O的切线，ABPD，且ACBC，只有当ADPB，BDPA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D7如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.A；B；C；D.【答案】D【解析】解：连接.，.分别与相切于.两点，故选：D8如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是（ ）ABCD不确定【答案】A【解析】连接，如图，内心为，即，故选A9如图,O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与O相切于点C,连接AC.若A=30,则CD长为( )ABCD【答案】D【解析】如图所示，连接BC，OC，AB是直径,B
9、CA=90，又A=30，CBA=9030=60，DC是切线，BCD=A=30,OCD=90，D=CBABCD=6030=30，AB=2，OC=1，OD=2，CD=，故选D.10如图，在ABC中，BC的垂直平分线交它的外接圆于D、E两点若B=24，C=106，则 的度数为_ 【答案】82【解析】解：DE垂直平分BC，DE为直径，设ABC的外接圆的圆心为O，连结OC、OA，如图，B=24，C=106，BAC=180-24-106=50，EOC=BAC=50，AOC=2B=48，AOD=180-COE-AOC=180-50-48=82，的度数为82故答案为82.11已知ABC 的一边长为 10，另两
10、边长分别是方程 x2 - 14 x + 48 = 0 的两个根若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是_【答案】5【解析】解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，即ABC的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，AB2=AC2+BC2，C=90若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片正好是ABC的外接圆，ABC的外接圆的半径是AB=5，故答案为：512如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，OAB=38，则P=_【答案】76【解析】解：是的切线， ， ， ， ； 故答案为：7613如图，正三角形ABC的
11、边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为_【答案】75【解析】解：如图，分别连接OA、OB，是等腰直角三角形，是等边三角形，与圆相切，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为，故答案为：14直线与半径为 的 相交，且点 到直线的距离为6 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离d=6，r6.故答案为：r6.15已知中，尺规作图：作出的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）【答案】答案见解析【解析】解：如图：作的中垂线，交于点以为圆心，为半径画圆即可16如图，已知矩形ABCD是一空旷场地上的小
12、屋示意图，其中AB：AD2：1拴住小狗的绳子一端固定在点A处，请根据下面条件分别画出小狗在小屋外最大活动区域（小狗的大小不计）（1）若拴小狗的绳子长度与AD边长相等，请在图1中画出小狗在屋外可以活动的最大区域；（2）若拴小狗的绳子长度与AB边长相等，请在图2中画出小狗在屋外可以活动的最大区域【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）图1中，小狗在屋外可以活动的最大区域如图所示；（2）图2中，小狗在屋外可以活动的最大区域如图所示17如图，已知过点P的直线AB交O于A，B两点，PO与O交于点C，且PAAB6cm，PO12cm. 求O的半径； 【答案】O的半径为6cm.【解析】如图所示，过点O作ODAB于点D，则BDAD3 cm，PDPAAD639(cm)，在RtPOD中，ODcm在RtOBD中，OBcmO的半径为6cm.18如图，为的直径，为上一点，为的中点过点作直线的垂线，垂足为，连接（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）与相切，理由见解析.【解析】(1)连接，为的中点，；(2)与相切，理由如下： ，
