1、第七章第七章 电容元件和电感元件电容元件和电感元件 前几章讨论了电阻电路前几章讨论了电阻电路，即由独立电源和电阻即由独立电源和电阻、受控受控源源、理想变压器等电阻元件构成的电路理想变压器等电阻元件构成的电路。描述这类电路电描述这类电路电压电流约束关系的电路方程是代数方程压电流约束关系的电路方程是代数方程。但在实际电路的但在实际电路的分析中分析中，往往还需要采用电容元件和电感元件去建立电路往往还需要采用电容元件和电感元件去建立电路模型模型。这些元件的电压电流关系涉及到电压电流对时间的这些元件的电压电流关系涉及到电压电流对时间的微分或积分微分或积分，称为动态元件称为动态元件。含动态元件的电路称为动
2、态含动态元件的电路称为动态电路电路，描述动态电路的方程是微分方程描述动态电路的方程是微分方程。本章先介绍两种本章先介绍两种储能元件储能元件电容元件和电感元件电容元件和电感元件。再介绍简单动态电路微再介绍简单动态电路微分方程的建立分方程的建立。以后两章讨论一阶电路和二阶电路的时域以后两章讨论一阶电路和二阶电路的时域分析分析，最后一章讨论线性时不变动态电路的频域分析最后一章讨论线性时不变动态电路的频域分析。常用的几种电容器 71 电容元件电容元件 一一、电容元件电容元件 集总参数电路中与电场有关的物理过程集中在电容元集总参数电路中与电场有关的物理过程集中在电容元件中进行件中进行，电容元件是构成各种
3、电容器的电路模型所必需电容元件是构成各种电容器的电路模型所必需的一种理想电路元件的一种理想电路元件。电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由其电荷与电压之间的关系由u-q平面上一条曲线所确定平面上一条曲线所确定，则则称此二端元件为电容元件称此二端元件为电容元件。图图7-1 (a)电容元件的符号电容元件的符号 (c)线性时不变电容元件的符号线性时不变电容元件的符号 (b)电容元件的特性曲线电容元件的特性曲线 (d)线性时不变电容元件的特性曲线线性时不变电容元件的特性曲线 电容元件的符号和特性曲线如图电容元件的符号和特性曲线
4、如图7-1(a)和和(b)所示。所示。其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。线性电容元件，否则称为非线性电容元件。图图7-1 线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和和(d)所所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为其数学表达式为 )17(Cuq 式中的系数式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法容，单位是法拉拉,用用F表示。表示。图
5、图7-1 实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的情况下，很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型，如图成电容器的电路模型，如图7-2所示。所示。图图7-2 电容器的几种电路模型电容器的几种
6、电路模型 二二、电容元件的电压电流关系电容元件的电压电流关系 对于线性时不变电容元件来说对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联在采用电压电流关联参考方向的情况下参考方向的情况下，可以得到以下关系式可以得到以下关系式)27(ddd)(ddd)(tuCtCutqti 此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。关系。在直流电源激励的电路模型
7、中，当各电压电流均不随在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。在已知电容电压在已知电容电压u(t)的条件下，用式的条件下，用式(6-2)容易求出其电流容易求出其电流i(t)。例如已知。例如已知C=1 F电容上的电压为电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波，其波形如图形如图7-3(a)所示，与电压参考方向关联的电容电流为所示，与电压参考方向关联的电容电流为 A)5cos(50 A)5cos(1050 d)5sin(10d10 dd)(66 tttttuCti 图图7-3 在幻灯片放映时，
8、请用鼠标单击图片放映录像。例例7-1 已知已知C=0.5 F电容上的电压波形如图电容上的电压波形如图7-4(a)所示，所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画并画 出波形图。出波形图。图图74 例例71 A1=A101d)2(d105.0dd)(66CC tttuCti 2.当当1s t 3s时，时，uC(t)=4-2t，根据式，根据式72可以得到可以得到 A1A101d)24(d105.0dd)(66CC tttuCti 1.当当0 t 1s 时，时，uC(t)=2t，根据式，根据式72可以得到可以得到 解：根据图解：根据图74(a)波形
9、波形，按照时间分段来进行计算按照时间分段来进行计算 图图74 例例71 3.当当3s t 5s时，时，uC(t)=-8+2t，根据式，根据式72可以得到可以得到 A1A101d)28(d105.0dd)(66CC tttuCti 4.当当5s t时，时，uC(t)=12-2t，根据式，根据式72可以得到可以得到 A1A101d)212(d105.0dd)(66CC tttuCti图图74 例例71 根据以上计算结果，画出图根据以上计算结果，画出图74(b)所示的矩形波形。所示的矩形波形。在已知电容电流在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压的条件下，其电压uC(t)为为 )37(d)(1)0(
10、d)(1d)(1d)(1)(0 CC0 0 CC CC tttiCuiCiCiCtu 其中其中 0 CCd)(1)0(iCu称为电容电压的初始值称为电容电压的初始值,它是从它是从t t=-到到t t=0=0时间范围内流时间范围内流过电容的电流在电容上积累电荷所产生的电压。过电容的电流在电容上积累电荷所产生的电压。式式(73)表示表示t0某时刻电容电压某时刻电容电压uc(t)等于电容电压的等于电容电压的初始值初始值uc(0)加上加上t=0到到t时刻范围内电容电流在电容上积累时刻范围内电容电流在电容上积累电荷所产生电压之和电荷所产生电压之和，就端口特性而言就端口特性而言，等效为一个直流等效为一个直
11、流电压源电压源uc(0)和一个初始电压为零的电容的串联和一个初始电压为零的电容的串联 如图如图75所所示示。)37(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0 CC0 0 CC CC tttiCuiCiCiCtu 图图75 从上式可以看出电容具有两个基本的性质从上式可以看出电容具有两个基本的性质 (1)电容电压的记忆性电容电压的记忆性。从式从式（73）可见可见，任意时刻任意时刻T电容电压的数值电容电压的数值uC(T)，要由从要由从-到时刻到时刻T之间的全部电流之间的全部电流iC(t)来确定来确定。也就是说也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T 的电压
12、都有一定的电压都有一定的贡献的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件我们说电容是一种记忆元件。)37(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0 CC0 0 CC CC tttiCuiCiCiCtu 例例72 电路如图电路如图76(a)所示，已知电容电流波形如图所示，已知电容电流波形如图76(b)所示，试求电容电压所示，试求电容电压uC(t)，并画波形图。，并画波形图。图图7-6 解：根据图解：根据图(b)波形的情况波形的情况，按照时间分段来进行计算按照时间分段来进行计算 1当当
13、t 0时时，iC(t)=0，根据式根据式7-3可以得到可以得到 ttiCtu 6 CC0d0102d)(1)(2当当0 t1s时，时，iC(t)=1 A，根据式，根据式7-3可以得到可以得到 V2)s1(s1 220d10102)0(d)(1)(C 0 66C CC utttuiCtutt时时当当 图图7-6 3当当1s t3s时，时，iC(t)=0，根据式，根据式73可以得到可以得到 V2)s3(s3 2V=0+V2d0102)1(d)(1)(C 1 6C CC utuiCtutt时时当当 4当当3s t5s时，时，iC(t)=1 A，根据式，根据式73可以得到可以得到 6V=4V+V2)s
14、5(s5 3)2(+2d10102)3(d)(1)(C 3 66C CC uttuiCtutt时时当当 5当当5s t时，时，iC(t)=0，根据式，根据式73可以得到可以得到 6V0+V6d0102)5(d)(1)(5 6C CC ttuiCtu 根据以上计算结果，可根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻电所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以前容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。的全部电容电流均有关系。例如，当例如，当1st3s时，电时，电容电流容电流iC(t)=0，但是电容电压，但是电容电压并不等于零，电容上的
15、并不等于零，电容上的2V电电压是压是0t1s时间内电流作用的时间内电流作用的结果。结果。图图7-6 图图77(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记忆性，使输出电压波形忆性，使输出电压波形如图如图(b)中实线所示中实线所示保持输入电压保持输入电压uin(t)波形波形如图如图(b)中虚线所示中虚线所示中的峰值。中的峰值。图图77 峰值检波器电路的输入输出波形峰值检波器电路的输入输出波形 (2)电容电压的连续性电容电压的连续性 从例从例72的计算结果可以看出的计算结果可以看出，电容电流的波形是不电容电流的波形是不连续的矩形波连续的矩形波，而电容电压的波形是
16、连续的而电容电压的波形是连续的。从这个平滑从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即即电容电流在闭区间电容电流在闭区间t1,t2有界时有界时，电容电压在开区间电容电压在开区间(t1,t2)内内是连续的是连续的。这可以从电容电压这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到电流的积分关系式中得到证明证明。将将 t=T 和和 t=T+dt 代 入 式代 入 式(6 3)中中，其 中其 中 t1Tt2和和t1T+dt0时，时，W(t)不可能为负值，电容不可能放出多于不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。从式从式(75)也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电电流有界的情
