1、 世界数学开展史第一节 数学开展的主要阶段乔治萨顿曾说过：“科学史是人类认识自然的经验的历史回忆。数学史是数学开展历史的回忆，它研究数学产生开展的历史过程，探求其开展的规律。研究数学史，可以通过历史留下的丰富材料，了解数学何时兴旺兴旺，何时停滞衰退，从中总结经验教训，以利于数学更进一步的开展。关于数学开展史的分期，一般来说，可以按照数学本身由低级到高级分阶段进行，也就是分成四个本质不同的开展时期，每一新时期的开始都以卓越的科学成就作标志，这些成就确定了数学向本质上崭新的状态过渡这里我们主要介绍世界数学史的开展。一、数学的萌芽时期这一时期大体上从远古到公元前六世纪根据目前考古学的成果，可以追溯到
2、几十万年以前这一时期可以分为两段，一是史前时期，从几十万年前到公元前大约五千年；二是从公元前五千年到公元前六世纪数学萌芽时期的特点，是人类在长期的生产实践中，逐步形成了数的概念，并初步掌握了数的运算方法，积累了一些数学知识由于土地丈量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但是这些知识是片断和零碎的，缺乏逻辑因素，根本上看不到命题的证明这个时期的数学还未形成演绎的科学这一时期对数学的开展作出奉献的主要是中国、埃及、巴比伦和印度从很久以前的年代起，我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了在漫长的萌芽时期中，数学迈出了十分重要的一步，形成了最初的数学概念，如自然数、分数；最简单的几何图形，如正方
3、形、矩形、三角形、圆形等一些简单的数学计算知识也开始产生了，如数的符号、记数方法、计算方法等等中小学数学中关于算术和几何的最简单的概念，就是在这个时期的日常生活实践根底上形成的总之，这一时期是最初的数学知识积累时期，是数学开展过程中的渐变阶段二、初等数学时期从公元前六世纪到公元十七世纪初，是数学开展的第二个时期，通常称为常量数学或初等数学时期这一时期也可以分成两段，一是初等数学的开创时代，二是初等数学的交流和开展时代1初等数学的开创时代这一时代主要是希腊数学从泰勒斯(Thales，公元前636前546)到公元641年亚历山大图书馆被焚，前后延续千余年之久，一般把它划分为以下几个阶段：(1)爱奥
4、尼亚阶段(公元前600前480年)；(2)雅典阶段(公元前480前330年)；(3)希腊化阶段(公元前330前200年)；(4)罗马阶段(公元前200公元600年)爱奥尼亚阶段的主要代表有米利都学派、毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572前497)学派和巧辩学派在这个阶段上数学取得了极为重要的成就，其中有：开始了命题的逻辑证明，发现了不可通约量，提出了几何作图的三大难题三等分任意角、倍立方和化圆为方，并且试图用“穷竭法去解决化圆为方的问题所有这些成就，对数学后来的开展产生了深远的影响雅典阶段的主要代表有柏拉图(Plato，公元前427前347)学派、亚里斯多德(Aristotle，公元
5、前384前322)的吕园学派、埃利亚学派和原子学派他们在数学上取得的成果，十分令人赞叹，如柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用；亚里斯多德建立了形式逻辑，并且把它作为证明的工具所有这些成就把数学向前推进了一大步上述两个阶段称为古典时期这一时期的数学开展，在希腊化阶段上开花结果，取得了极其辉煌的成就，产生了三个名垂青史的大数学家欧几里得、阿基米德(Archimeds，公元前287前212)和阿波罗尼(Apollonius，约公元前262前190)欧几里得的几何原本第一次把几何学建立为演绎体系，从而成为数学史乃至思想史上一部划时代的著作阿基米德善于将抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来他根
6、据力学原理去探求几何图形的面积和体积，第一个播下了积分学的种子阿波罗尼综合前人的成果，写出了有创见的圆锥曲线一书，它成为后来所有研究这一问题的根底和出发点这三大数学家的丰功伟绩，把希腊数学推向光芒的顶点随着罗马成为地中海一带的统治者，希腊数学也就转入到罗马阶段在这个阶段也出现了许多有成就的数学家，其中特别值得一提的是托勒密(CPtolemy，公元90168)结合天文学对三角学的研究、尼可马修斯(Nichomachus，公元102年左右)的算术入门和丢番图(Diophantus，约246330)的算术后两本著作把数学研究从形转向数，在希腊数学中独树一帜尤其是算术一书，它对后来数学开展的影响，仅次
7、于几何原本总之，这一时代的特点是：数学已经开始开展成为一门独立科学，建立了真正意义上的数学理论；数学的两个分支算术和几何，已经作为演绎系统建立起来；数学发生了非常明显的变化，即从经验形态上升为理论形态特别要指出的是，关于数学研究的对象，当时已经比拟明确地提了出来古希腊数学家亚里斯多德在形而上学第十三篇第三章中说，数学的东西(例如点、线)是感性事物的抽象他的这个思想直到现在仍然值得我们赞赏，因为它明确地、清楚地揭示出数学研究的特点，这就是把物体、现象、生活的一个方面抽象化2初等数学的交流和开展时代从公元六世纪到十七世纪初，是初等数学在各个地区之间交流，并且取得了重大进展的时期在亚洲地区，有中国数
8、学、印度数学和日本数学我国在数学上取得的成就将在后面专门表达印度数学的特点是受婆罗门教的影响很大，此外，它还受到中国、希腊和近东数学的影响，特别是中国的影响印度数学的成就主要在算术和代数方面，最为人称道的是位值制记数法，现行的“阿拉伯数码源于印度七世纪以后，建立了以巴格达为中心的阿拉伯数学它主要受希腊数学和印度数学的影响这一时期产生了阿尔花拉子模(AL-Khowarizmi，780850)等一大批数学家，为世界数学宝库增添了荣耀代数是阿拉伯数学中最先进的局部，“代数这个名词出自花拉子模的著作，它的研究对象被规定为方程论；几何附属于代数，不重视证明；三角学是他们的最大奉献，他们引入正切、余切、正
9、割、余割等三角函数，制作精密的三角函数表，发现平面三角与球面三角假设干重要的公式，使三角学脱离天文学独立出来中世纪欧洲的数学家们根本上是引进，学习中国、印度、希腊和阿拉伯的数学，其中著名的数学家有意大利的斐波那契(LFibonacci，约11701250)、法国的奥雷斯姆(NOresme，约13231382)等到了十五、十六世纪，意大利的数学家帕西奥里(LPacioli，14451509)、塔塔利亚(NTartaglia，15001557)等人在代数方程论方面作了一系列突破性的工作，并使用了虚数，欧洲人终于取得了超过前人的成就法国的韦达(FVieta，15401603)改良了符号，使代数学大为
10、改观苏格兰的纳皮尔(JNapi-er，15501617)创造了对数，使计算方法向前推进了一大步这个时期的特点是初等数学的主体局部(算术、代数与几何)已全部形成，并且开展成熟了例如在算术方面，除了继承原有的计算技术之外，还创造了对数，代数也有很大的开展，韦达建立了符号代数在三角学方面，雷琼蒙塔努斯(JRegiomontanus，14361476)著了三角全书，其中包括平面三角和球面三角在几何方面，透视法满足了绘画的需要，投影法满足了绘制地图的需要，等等3中国在这一时期对数学的奉献我们伟大的祖国是世界上公认的四大文明古国之一，有悠久的历史和灿烂的文化上下五千年的中国文化丰富多采、为世界文明作出了不
11、朽的奉献中国数学的开展和成就，在世界数学史上占有非常重要的地位在世界数学的宝库里，中国古代数学是影响深远、风格独特的体系在初等数学时期，我国在数学领域取得了许多伟大成就，出现了许多闻名世界的数学家，如刘徽(公元三世纪)、祖冲之(429500)、王孝通(公元六世纪七世纪)、李冶(11921279)、秦九韶(12021261)、朱世杰(十三、四世纪)等人出现了许多专门的数学著作，特别是九章算术的完成，标志着我国的初等数学已形成了体系这部书不但在中国数学史上而且在世界数学史上都占有重要的地位，一直受到中外数学史家的重视我国传统数学在线性方程组、同余式理论、有理数开方、开立方、高次方程数值解法、高阶等
12、差级数以及圆周率计算等方面，都长期居世界领先地位例如，1802年，一个意大利科学协会为了改良高次方程的解法，曾颁发一枚金质奖章，这枚奖章为意大利数学家鲁菲尼(PRuffini，17651822)所获得，1819年英国数学家霍纳(GHorner，17861837)完全独立地开展了一个相同的方法不过他们谁也不知道，早在十三世纪，秦九韶就已经开展了古代解数值高次方程的方法，他的方法与1819年霍纳重新发现的方法实质上是相同的我国十一世纪杰出的数学家贾宪是最早得出关于二项式展开式的系数规律的(贾宪三角形)，在欧洲称之为“巴斯卡(BPascal，16231662)三角形，而巴斯卡是在十七世纪才得出这一结
13、果的由刘徽在公元三世纪根据九章算术推导的羡除公式 ，欧洲人却误认为是勒让德(AMLegendre，17521833)首创的祖冲之把圆周率计算到范围为3.14159263.1415927，以及密率 ，保持世界记录千年以上。古代中国数学家的伟大成就，不仅是中国人民的财富，而且还是世界科学的瑰宝三、近代数学时期从十七世纪初到十九世纪末，是数学开展的第三个时期，通常称为变量数学时期或近代数学时期其中从十七世纪初到十八世纪末，是近代数学的创立与开展阶段；十九世纪是近代数学的成熟阶段这个时期的起点是笛卡尔(RDescartes，15961650)的著作，他引入了变量的概念，恩格斯对此给予很高的评价：“数学
14、中的转折点是笛卡尔的变数有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们创造的十七世纪是数学开展史上一个开创性的世纪，创立了一系列影响很大的新领域：解析几何、微积分、概率论、射影几何和数论等每一个领域都使古希腊人的成就相形见绌这一世纪的数学还出现了代数化的趋势，代数比几何占有重要的位置，它进一步向符号代数转化，几何问题常常反过来用代数方法解决随着数学新分支的创立，新的概念层出不穷，如无理数、虚数、导数、积分等等，它们都不是经验事实的直接反映而是数学认识进一步抽象的结果十八世纪是数
15、学蓬勃开展的时期以微积分为根底开展出一门宽广的数学领域数学分析(包括无穷级数论、微分方程、微分几何、变分法等学科)，它后来成为数学开展的一个主流数学方法也发生了完全的转变，主要是欧拉、拉格朗日(Lagrange，17361813)和拉普拉斯(Laplace，17491827)完成了从几何方法向解析方法的转变这个世纪数学开展的动力，除了来自物质生产之外，一个直接的动力来自物理学，特别是来自力学、天文学的需要十九世纪是数学开展史上一个伟大转折的世纪，它突出地表现在两个方面一方面是近代数学的主体局部开展成熟了，经过一个多世纪数学家们的努力，它的三个组成局部取得了极为重要的成就：微积分开展成为数学分析，方程论开展成为高等代数，解析几何开展成为高等几何，这就为近代数学向现代数学转变准备了充分的条件另一方面，近代数学的根本思想和根本概念，在这一时期中发生了根本的变化：在分析学中，傅立叶(J Fourier，17681830)级数论的产生和建立，使得函数概念有了重大突破；在代数学中，伽罗瓦(E Galois，18111832)群论的产生，使得代数运算的概念发生了重大的突破；
