1、专题09 一元二次方程及其应用 专题知识回顾 1定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。4.一元二次方程的解法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。（1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-
2、2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：化简把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；移项把常数项移项到等号的右边；配方两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；开方，即降次；解一次方程。（3）公式法。当b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根。，b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。b2-4ac0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
3、判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5.一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：
4、解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。专题典型题考法及解析 【例题1】 (2023年安徽)解方程：（x1）24【答案】x13，x21【解析】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2a（a0）的形式，利用数的开方直接求解（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2a（a0）；ax2b（a，b同号且a0）；（x+a）2b（b0）；a（x+b）2c（a，c同号且a0）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”（2）用直接开方法求一
5、元二次方程的解，要仔细观察方程的特点利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可两边直接开平方得：x12，x12或x12，解得：x13，x21【例题2】(2023年山西）一元二次方程配方后可化为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】，故选D。【例题3】（2023年年山东省威海市）一元二次方程3x242x的解是 【答案】x1，x2【解析】直接利用公式法解方程得出答案3x242x3x2+2x40，则b24ac443（4）520，故x，解得：x1，x2【例题4】（2023年年江苏省扬州市）一元二次方程x（x2）x2的根是 【答案】1或2【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程
6、的解即可x（x2）x2，x（x2）（x2）0，（x2）（x1）0，x20，x10，x12，x21【例题5】（2023年北京市） 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根【答案】m=1，此方程的根为【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可.关于x的方程有实数根， 又m为正整数，m=1，此时方程为解得根为，m=1，此方程的根为【例题6】（2023年四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2x40的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 【答案】16【解析】考查一元二次方程根与系数的关系x1，x2是一
7、元二次方程x2x40的两实根，x1+x21，x1x24，（x1+4）（x2+4）x1x2+4x1+4x2+16x1x2+4（x1+x2）+164+41+164+4+1616【例题7】 (2023年安徽)据国家统计局数据，2023年年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A2023年年B2023年年C2023年年D2023年年【答案】B【解析】根据题意分别求出2023年年全年国内生产总值、2023年年全年国内生产总值，得到答案2023年年全年国内生产总值为：90.3（1+6.6%）96.2598（万
8、亿），2023年年全年国内生产总值为：96.2598（1+6.6%）102.6（万亿），国内生产总值首次突破100万亿的年份是2023年年。 专题典型训练题 一、选择题1.( 2023年甘肃省兰州市) x1是关于的一元二次方程x2+ax+2b0的解，则2a+4b（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】将x1代入方程x2+ax+2b0，得a+2b1，2a+4b2（a+2b）2（1）2.2.（2023年湖南怀化）一元二次方程x2+2x+10的解是（）Ax11，x21Bx1x21Cx1x21Dx11，x22【答案】C【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方
9、程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键利用完全平方公式变形，从而得出方程的解x2+2x+10，（x+1）20，则x+10，解得x1x21，3.（2023年浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（ ） A.(x-3)2=17 B.(x-3)2=14 C.（x-6)2=44 D.(x-3）2=1【答案】 A 【解析】配方法解一元二次方程 x2-6x-8=0， x2-6x+9=8+9，（x-3）2=17.4. （2023年湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x22x+m0有实数根，则实数m的取值范围是（）Am1B
10、m1Cm1Dm1【答案】【解析】关于x的一元二次方程x22x+m0有实数根，（2）24m0，解得：m15.(2023年内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ）A. 34B.30C.30或34D.30或36【答案】A.【解析】分两种情况讨论： 若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，=(-12)2-41(m+2)=136-4m=0,m=34.此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意. 若4为等腰三角形腰长，则
11、a，b中有一条边也为4，方程x2-12x+m+2=0有一根为4.42-124+m+2=0，解得，m=30.此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.综上，m的值为34.6.（2023年山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实数根，则k的取值范围为（）Ak0 B k0且k2 Ck Dk且k2【答案】D【解析】考点是一元二次方程的定义以及根的判别式。根据二次项系数非零结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围（k2）x22kx+k60，关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实
12、数根，解得：k且k27. （2023年湖北仙桃）若方程x22x40的两个实数根为，则2+2的值为（）A12B10C4D4【答案】A【解析】方程x22x40的两个实数根为，+2，4，2+2（+）224+8128. （2023年江苏泰州）方程2x2+6x10的两根为x1 、x2 则x1+x2等于（）A6 B6 C3 D3【答案】C【解析】根据根与系数的关系即可求出答案由于0，x1+x23，9.（2023年山东淄博）若x1+x23，x12+x225，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax23x+20Bx2+3x20Cx2+3x+20Dx23x20【答案】A【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1
13、，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2利用完全平方公式计算出x1x22，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程x12+x225，（x1+x2）22x1x25，而x1+x23，92x1x25，x1x22，以x1，x2为根的一元二次方程为x23x+2010. （2023年广东）已知x1.x2是一元二次方程了x22x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）Ax1x2 Bx122x1=0 Cx1+x2=2 Dx1x2=2【答案】D【解析】因式分解x（x-2）=0，解得两个根分别为0和2，代入选项排除法.11.（2023年广西贵港）若，是关于x的一元二次方程x22x+m0的两实根，且+，则m等于（）A2 B3 C2 D3【答案】B【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到+2，m，再化简+，代入可求解；，是关于x的一元二次方程x22x+m0的两实根，+2，
