1、“图形的变化”课程教材设计与教学章建跃(人民教育出版社 课程教材研究所 1 0 0 0 8 1)1 引子中学几何课程的研究对象是几何图形,包括立体图形和平面图形.立体图形以棱柱、棱锥、棱台等多面体和圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体为代表,平面图形以直线、三角形、四边形和圆为代表.界定了研究对象后,接着来看研究内容.我们到底要研究图形的什么呢?众所周知,几何学的课题就是研究和理解几何图形的本质与结构,即几何图形的“本质”、“结构”就是要研究的内容.这里,本质是指图形的特征性质,是此类图形区别于它类图形的特征,具体表现在图形自身组成要素(点、线、面、体等)之间稳定的内在联系,根据这些特征我们就能判断一
2、个图形是否属于这类图形;结构是指图形内部各组成要素之间的相互关系,以及图形与图形的相互关系.具体展开研究时,首先是抽象几何对象,得出概念,从而明确几何图形的内涵与外延,再从几何对象的要素、稳定的联系、相互关系等关键词入手,并具体化为点、直线、平面、距离、长度、角度、面积、体积等,将问题不断分解、简化,抽象成一般性问题,运用数学概念和方法解决问题,得出各种各样的定性关系、定量关系.接着,再将获得的结论按内在的逻辑关系组织成一个知识体系,并用公理化方式给予表达.在知识积累到一定阶段后,我们要再一次从本质和结构考虑,用公理化的体系(研究不同几何对象的通用套路)对它们进行再组织,从新的高度认识问题,更
3、深刻地把握其本质.随着研究的深入,问题越来越多、结构越来越复杂,这时往往需要发展新工具、引入新方法,这样才能进一步地得出新成果.从上述简单分析可知,本质、结构、公理、数学工具等等构成了数学的基石.随着研究的深入,必然提出发明新工具、引入新方法的要求.轴对称、旋转、平移等几何变换就是为了更有效地研究几何问题而引入的新工具和新方法.就像笛卡尔发明坐标系,从而开创数学的新纪元一样,通过引入几何变换的工具和方法研究几何图形的性质,也使几何的研究进入到一个新时代.利用新方法、新工具,我们可以在数学研究的道路上走得更快、更好、更远.2 平面几何课程中几何变换内容的设置在平面几何传统课程中,主要是从图形的性
4、质和关系的角度设置轴对称、中心对称和相似等内容,没有从图形的变化、研究图形性质的工具和方法的角度提出几何变换的内容和要求.实际上,对平面几何课程的传统认识主要局限在欧几里得 几何原本 的范围,在公理化体系下,强调尺规作图,只用人的大脑展开抽象化思维活动,通过观察几何图形,在直观想象的基础上形成对图形本质的感知,并借助于概念、判断、推理,用归纳、类比、演绎、分析、综合等思维方法研究几何图形,抽象出图形的特征、本质而形成概念、性质,通过纯粹的逻辑思维,采用逻辑推理的方法建构几何知识大厦.这样的方法对人的智力具有高度挑战性,引人入胜但难度较大,因此平面几何课程历来是数学学习的分水岭,许多人因为平面几
5、何而爱上数学,同时也有数不胜数的人因为平面几何而放弃数学.在新世纪之初的课改中,将“图形的变化”作为平面几何课程的一个专题,包含图形的轴对称、旋转和平移等三种变换,以及图形的相似、图形的投影等内容,要求“通过具体实例了解轴对称的概念,探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分”;“通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,探索它的基本性质:一个图形和它经过旋转所得到的图形12 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报中,对应点到旋转中心距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等”;“了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质:成中心对称的两个图形中
6、,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分”;“通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等”.这样,轴对称、旋转、平移三种变换的基础知识被正式纳入初中几何课程内容.在此基础上,还提出了利用这些变换作图、探索有关图形性质的学习任务:“能画出简单平面图形(点,线段,直线,三角形等)关于给定对称轴的对称图形”,“了解轴对称图形的概念,探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质”;“探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质”.同时,课程标准还提出要认识和欣赏轴对称、旋转、平移在自然界和现实生活中的应用,运
7、用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计.这一课程内容的改革是与时俱进的,不仅体现了数学发展的时代要求,而且使学生能够运用更加丰富的工具和方法探索几何图形的性质.课程改革的经验表明,内容的吐故纳新在课程改革中是一件非常不容易的事情,不仅要考虑到社会发展的需求,反映数学学科发展的要求,还要考虑到现实的可能性.其中,教师对新增内容的理解和接受程度是一个很关键的因素.所以,如何促使教师理解几何变换方法,在自己熟悉并善于使用这些方法的基础上,能将这些方法有机融入到相关内容的教学中,帮助学生初步形成用运动变化的眼光看问题,能使用几何变换方法解决一些简单的几何问题,这是需要在课程和教材设置中认真考虑并加以解
8、决的.就像高中阶段引入向量,把向量作为解决几何问题的工具、用向量法解决几何问题一样,教师自己先要理解并养成运用向量解决问题的习惯,然后才能在教学中自然而然地使用,从而使向量真正的进入课程.3 几何变换的课程教材内容处理在现行的课程标准中,“图形与几何”设置了三个专题:图形的性质、图形的变化、图形与坐标,其中图形的变化包括轴对称、旋转、平移、相似和投影等五个单元,这里我们讨论前三个单元的内容处理.3.1 轴对称、旋转、平移的内容特征与结构3.1.1 内容的特征首先,轴对称、旋转和平移都是几何变换,是“保距”、“保角”变换,它们本质上都是一个函数,其定义域与值域为点集合.我们可以借助这些变换的方法
9、来研究几何图形的性质.所以,它们是研究几何图形的工具和方法.3.1.2 几何变换的研究架构我们先列举课程标准中“图形的旋转”的内容与要求:(1)通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质:一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.(2)了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质:成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分.(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.(4)认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.这里给出了研究“图形的变换”的基本架构:概 念 及 其 基
10、 本 性 质 特 例 及 其 基 本 性质 数学内部的应用 在现实中的应用(欣赏、设计).3.1.3 研究的“一般观念”这里要讨论的是研究几何变换的基本思想.只有明确了这些一般观念,形成统摄性的指导思想,才能解决教学中“如何启发思考”、“如何引导探究”的问题.(1)确定一种几何变换的要素是什么?容易知道,确定轴对称变换的要素是对称轴,确定平移变换的要素是平移的方向和距离,确定旋转变换的要素是旋转中心、旋转方向和旋转角.(2)几何变换的基本性质指什么?如何才能想到基本性质?研究几何变换的基本性质的指导思想是什么呢?我们先把这些基本性质列举如下:2数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期 中
11、华人民 共和 国 教 育 部 制 定.义 务 教 育 数 学 课 程 标准(2 0 1 1年版)M.北京:北京师范大学出版社,2 0 1 2:3 63 7.轴对称的基本性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分;平移的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等;旋转的基本性质:一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.分析这些性质,可以发现它们的共性是:以几何变换的要素为“基准”,将对应元素与变换的要素联系起来,探究其中的不变量、不变关系.这就是研究三种几何变换基本性质的
12、一般观念.下面我们以轴对称为例对几何变换的教材内容进行简要分析.3.2 轴对称的教材内容分析3.2.1 概念平面上对于直线l的轴对称也叫平面上对于直线l的反射对称,是一个从平面到自身的映射:它使l上的点固定不动,把不在l上的点P对应到P1,使得线段P P1被l垂直平分.鉴于初中学生没有映射的概念,所以采取直观描述的方法:把一张纸想象成平面的局部,把纸张沿直线l折叠,称直线l为对称轴,直线l两边相互叠合的点是对应点,叫做对称点.现行人 教 版 教 科 书 按“轴 对 称 图 形(对 称轴)两个图形关于直线对称(对称 轴、对称点)”的方法给出轴对称概念.这一方法与学生的日常生活经验紧密相联,有利于
13、学生通过直观感知、操作确认而定性把握概念,但明显的不利因素是研究的逻辑被打乱,导致从点的对应关系到线段、角、图形的对应关系这一基本线索不清晰,也就是从概念到性质的主线不突出.对于轴对称概念,要特别注意对称轴、对应点这两个关键词.由此可以派生出对应几何元素,如对应线段、对应角、对应图形,从而确定下一步的研究内容.3.2.2 轴对称的性质在 研究三角形的数学思维方式(见本刊2 0 1 9年第4期)一文中,笔者曾提出,“有层次地认识图形和图形的关系是数学地认识事物的方法论,是数学逻辑性的集中体现,可以帮助学生学会 有逻辑地思考,对于培养学生的思维品质(广阔性、条理性、深刻性、独创性和批判性等),使他
14、们掌握自主探究的策略与方法,提高发现和提出问题的能力等等,都非常重要.这种循序渐进、拾阶而上的过程和方法是数学育人的力量所在,是培养学生的理性思维、发展学生的数学学科核心素养的关键载体.”根据这一想法,我们可以按“对应点 对应线段 对应角 对应图形”的层次展开轴对称性质的研究.前已指出,这里的“性质”是指对应元素之间的关系(位置关系、大小关系),要通过对称轴这一要素建立联系.(1)基本性质以对称轴为“基准”,首先看对应点之间的关系.一般意义上看,两个点与一条直线的位置关系有:同侧、异侧,点到直线距离的大小(这一点非常重要).图1如图1所示,设P1,P2是对应点.因为P1,P2位于直线l的异侧,
15、所以线段P1P2与直线l必相交,设交点为O.因为平面沿 直线l折叠 后P1,P2叠合,所以P1O,P2O可以叠合,所以P1O=P2O;这时,以O为顶点、l为邻边的两个邻补角也可以叠合,所以lP1P2.于是得到基本性质:平面内,如果点P1和点P2关于直线l对称,那么线段P1P2被对称轴l垂直平分.轴对称的基本性质给出了平面内关于直线l对称的两个点之间的关系.因为图形是点的集合,所以任意两个成轴对称图形的对应点都具有这种关系,轴对称图形的对应点也有这种关系,大概这就是把它称为“基本性质”的原因.接下来的研究有两个基本方向:第一,两个图形关于直线l对称,它们有怎样的关系?第二,如果一个图形是轴对称图
16、形,那么它有怎样的特殊性质?(2)成轴对称的两个图形间的关系线段A B与线段A1B1关于直线l成轴对称如图2所示,可以得到以下性质:32 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报图2 因为线段A B与A1B1可以相互叠合,所以A B=A1B1;对应直线(段)或者相交,交点在对称轴上(图2(1);或者平行,它们到对称轴的距离相等(图2(2);如果两条对应直线相交,那么它们的夹角被对称轴平分.图3 A O B与A1O1B1关于直线l成轴对称如图3,由A O B与A1O1B1能相互叠合可得,A O B=A1O1B1.由以上两点可知,轴对称变换是一种保长、保角的变换.两个平面图形关于直线l成轴对称当两个平面图形关于直线l轴对称时,沿直线l对折它们就叠合,所以这两个图形全等.进一步地,这两个图形的对应元素都相等,对应元素的关系保持不变.例如,A B C和A B C 关于直线l成轴对称,那么它们的对应边、对应角、对应高、对应角平分线、对应中线都相等.这是非常显然的,但学生不一定能“想到那里去”,教材或教学中应作出适当提示.(3)轴对称图形的性质轴对称图形可以看成是两个图形成轴对称的特例,其研究的
