1、：“偏微分方程”课程中的高阶学习探索于 灏 杨云龙大连海事大学 辽宁大连 摘 要：本文以本科“偏微分方程”教学中涉及的格林公式与高斯公式为出发点，通过复数乘积的几何解释，将格林公式与高斯公式在积分形式上统一为无空间维数要求的散度定理。进而引入一般的分部积分公式，使学生对抽象积分有一个初步的了解，达到在“偏微分方程”课程中进行高阶学习探索的目的。关键词：偏微分方程；数学物理方程；高阶学习 ，：，：；一、概述“偏微分方程”又称为数学物理方程，是大学本科学习的重要课程。经过前半段的学习，学生对基础课程知识（如高等数学、数学分析）进行了全面学习，这时需要一门课程来对已学知识进行应用、巩固与提高，而“偏
2、微分方程”课程正好适合扮演这样一个角色。以后续课程为例，很多微分方程知识学生都已掌握，只是不了解其抽象或高阶的表达方式，这会导致不必要的重复学习。由此可见，在大学阶段的“偏微分方程”课程中进行适当的高阶学习，能够对已学课程知识的进行应用与再理解，为后续课程的学习打下坚实基础。二、高阶学习探索：格林公式与高斯公式（一）经典格林公式与高斯公式“偏微分方程”的课程内容一般包括拉普拉斯方程、热方程、波动方程这三大类方程，课堂教学也主要围绕着这三大类方程来进行，这使得“偏微分方程”课程有很强的物理与应用背景。例如，拉普拉斯方程描述的是一种平衡状态，热方程的建立要依赖热力学第二定律，而波动方程则是以弦振动
3、来引入，从而在“偏微分方程”的课堂教学中，建模是关键一环。这导致必然要用积分公式，这里特别回顾格林公式与高斯公式。格林公式建立了二重积分与曲线积分之间的联系，即设区域 由光滑曲线 围成，若函数（，）与（，）在 上具有一阶连续偏导数，则有：()（）其中 是 的取正向的边界曲线，（，）是与曲线 正向对应的切向量方向余弦。同时，分量形式也成立，如下所示：（），高斯公式则建立了三重积分与曲面积分之间的联系，即设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，若函科教论坛科技风 年 月数（，），（，）与（，）在 上具有一阶连续偏导数，则有：()（）其中 是区域 边界曲面的外侧，（，）是曲面 在点（，）处的外法
4、向量方向余弦。且其分量形式也成立，如下所示：，（二）格林、高斯公式的高阶表达：散度定理接下来，对经典格林、高斯公式进行高阶学习。首先，统一积分区域。实际上，曲线 与曲面 可以看成 与 的边界 与，这样便有：()（），（）与()（）（）其次，统一方向余弦，将格林公式的切向量方向余弦转化为外法向量方向余弦。本文通过复数乘积的几何作用来实现这一过程。已知，在复平面中复数 乘以复数，相当于在复平面将向量（，）中逆时针旋转角度，并将其长度伸长 倍。由此，观察下图：只需将切向量（，）顺时针旋转角度，便可得到 外法向量，即：()()()这样便有，再将 换作，便有：()()这样便实现了格林公式与高斯公式在方向
5、余弦使用上的统一。最后，将格林公式与高斯公式中出现的多元函数统一写成抽象函数形式，即：（），（，）积分符号简记为，与 简记为，用 表示单位外法向量，忽略空间维数的要求则得到 维欧式空间中的散度定理公式：，（）其中 为 中的有界光滑区域，（），（），为一阶连续可导的向量值函数，为 中的单位外法向量（，）。同时，以上转化过程完全适用于格林公式与高斯公式的分量形式，故亦可得到散度定理的分量形式：，（）这样，我们便把基础的格林公式与高斯公式统一为高阶表达的散度定理，同时引入抽象积分记号，达到高阶学习的目的。（三）一般分部积分公式接下来，我们继续高阶学习。以散度定理为出发点，将一维空间中的经典分部积分公
6、式进行推广，引入一般 维空间中的分部积分公式。回顾黎曼积分中分部积分公式的推导，已知乘积函数的求导公式为：（）对等式两边在闭区间，上积分，便可得分部积分公式：（），其本质是将函数 的导数转移到函数 上去，再加上边界 科技风 年 月科教论坛补偿项（）。而在高维（）欧式空间中，由乘积函数的偏导数公式可得：（），()对等式两边在有界光滑区域 上积分可得：（），（）利用散度定理公式（），取函数，有：（），（）从而可得一般 维欧式空间中的分部积分公式，（）其本质仍然是导数的转移，这便实现了分部积分公式的高阶学习。（四）高阶学习的优势最后，我们通过“偏微分方程”课程中经常使用的第一格林公式与第二格林公式，
7、来看下一般分部积分公式（即散度定理）的优势之处。已知第一格林公式为：，第二格林公式为：（）（），其中由方向导数定义可知，法向导数，。在没有引入一般分部积分公式时，我们只能通过将高斯公式（）中的被积函数（，）取成特殊形式：，通过计算来得到第一格林公式与第二格林公式。其过程看起来有一些不可思议，初学者很难想到要把被积函数取成这样的特殊形式。而当我们掌握了抽象积分的记号与分部积分公式（）之后，再来观察第一格林公式与第二格林公式，其结果则将变得十分显然。因为由梯度算子与散度算子的定义，易知，则有：（），即第一格林公式。再由：（），可得第二格林公式。结语本文通过对经典格林公式与高斯公式进行高阶学习，将其
8、统一为高阶表达的散度定理，进而得到一般的分部积分公式，既加深了对已学知识的理解深度，又是对新知识、新领域的探索，为今后的继续深入学习打下坚实基础。参考文献：金玲玉，王霞新工科背景下的偏微分方程教学改革的新思考教育现代化，（）：李倩高等数学教学中案例教学的应用探讨 以微元法建立微分方程为例教育现代化，（）：姜德烁高等数学教学的几点思考与体会教育现代化，（）：黄利文一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求法高等数学研究，（）：谷超豪，李大潜，陈恕行，等数学物理方程（第三版）北京：高等教育出版社，同济大学应用数学系高等数学（下册）第 版北京：高等教育出版社，王绵森复变函数第 版北京：高等教育出版社，基金项目：本文系“大连海事大学研究生教育教学改革项目”（项目编号：）研究成果作者简介：于灏（），男，辽宁大连人，讲师，研究方向：非线性偏微分方程及应用、生物数学；杨云龙（），男，辽宁大连人，讲师，研究方向：凸几何中的不等式问题、混合式教学模式。科教论坛科技风 年 月
