1、第十三章 轴对称13.4 最短路径问题（练习）一、单选题（共10小题）1如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB300米，BC600米为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A点AB点BCAB之间DBC之间【答案】A【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理【详解】解：以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15
2、300+10900=13500（米），以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30300+10600=15000（米），以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30900+15600=36000（米），当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0m300），则所有人的路程的和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m13500，当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0n600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n13500该停靠点的位置应设在点A；故选：A【点睛】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为
3、两点之间线段最短2已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是( )ABCD【答案】C【解析】如图作AIMN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AMBN.【详解】解：如图，作AIMN，且AI=MN，连接BI，四边形AMNI为平行四边形，AMBN，此时从A点到B点距离最短.故选：C.【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.3某公司员工分别住在A、B、C
4、、D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（）AD区 BA区 CAB两区之间 DBC两区之间【答案】D【解析】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答【详解】解：当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20800+15400+5200=23000m；当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15400+5600+30800=33000m；当停靠点在AB两区之间时，设距离B区x米，所有员工
5、步行到停靠点路程和是：20（400-x）+15x+5（200+x）+30（400+x）=（30x+21000）m；当停靠点在BC两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20（400+x）+15x+5（200-x）+30（400-x）=21000m当停靠点在BC两区之间时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在BC两区之间故选：D【点睛】此题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键要能把线段的概念在现实中进行应用4如图所示，从点A到点F的最短路线是()AADEF BACEFCABEF D无法确定【答案】C【解析】认真分析图形,要求点A到点F的最短路线,其中
6、AB,EF的线路是固定的,则需要确定点B到点E之间的最短路线,由两点之间,线段最短可得,点B到点E之间BE最短.【详解】解:由图中可以看出,从点A到点F,AB,EF是必须经过的路线,点B到点E的路线中BE最短,所以点A到点F的最短路线为ABEF,故答案选C.【点睛】本题主要考查了线段的性质，根据两点之间线段最短确定出点A到点F的最短路线是解题的关键5如图，从A地到B地有、三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（ ）Almn Bl=mn Cmn=l Dlnm【答案】C【解析】分析：根据两点间直线距离最短，认真观察图形，可知都是相当于走直角线，故相等，走的是直线，最短详解：由题意可得：从C到
7、B地有条路线可以走，每条路线长分别为l，m，n，则AC+AB=lBCl=nm故选：C点睛：本题考查了生活中的平移现象，要求学生充分利用两点间线段距离最近6如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线的某点处修建一个向，供水的水站，现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道一定最短的是( )ABCD【答案】A【解析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可【详解】解：作点A关于直线l的对称点A，连接BA交直线l于P根据两点之间，线段最短，可知选项A铺设的管道最短故选：A【点睛】本题考查了最短路线问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线
8、段最短”凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点7下列命题是真命题的是（）A两点之间的距离是这两点间的线段B墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点之间，线段最短”C同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种D同平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】根据两点间的距离的定义、垂线的性质即可作出判断【详解】A、两点之间的距离是这两点间的线段的长度，故错误；B、墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点可以确定一条直线”，故错误；C、同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故错
9、误；D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确故选：D【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理8（2017淄博市临淄区皇城镇第二中学初一期中）小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）A垂线段最短B经过一点有无数条直线C经过两点有且只有一条直线D两点之间线段最短【答案】D【解析】试题解析：由图可知，剪掉一部分，相当于用一条线段取代了连接原来两点之间的曲线.根据线段公理：两点之间，线段最短，所以剩下树叶的周长比原树叶的周长要小
10、.故本题应选D.点睛：直线公理是指两点确定一条直线，而线段公理是指两点之间线段最短，我们要清楚这两者的区别.9（2017淄博市临淄区皇城镇第二中学初一期中）下列说法正确的是( )A两点之间的连线中，直线最短 B若P是线段AB的中点，则APBPC若APBP，则P是线段AB的中点 D两点之间的线段叫做这两点之间的距离【答案】B【解析】A中，两点之间线段最短，故A错误；B中，若P是线段AB的中点，则点P到A、B的距离相等，即AP=BP，故B正确；C中，若AP=BP，点P不一定是线段AB的中点，如,故C错误；D中，两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离，故D错误故选B10如图，点A，B在直线l的同侧
11、，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（）A B C D【答案】C【解析】根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的故选C提升篇二、解答题（共3小腿）11（2023年兰州市外国语学校初一期末）如下图所示.(1)作出ABC关于y轴对称的图形；(2)在x轴上确定一点P,使得PA+PC最小.【答案】（1） 见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；（2）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A的位置，然后连接AB与x轴的交点即为点P【详解】解：(1)如图所示，ABC即为
12、所求； (2)如图所示，点P即为所求（有两种做法：作A或C的对称点均可）. 【点睛】此题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，掌握作图法则是解题关键12（2023年泸西县中枢镇逸圃初级中学初二期中）作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，A、B两村在一条小河MN的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，在图1中用尺规作图作出厂址P的位置（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，在图2中作出厂址Q的位置【答案】作图见解析.【解析】试题分析：（1）根据中垂线的性质知，作AB的中垂线，交于直线MN于点P就是所求的点；（2）由三角形的三边关系，三角形是任意两边之和
13、大于第三边知，故作出点A关于直线MN的对称点E，连接BE交于直线MN的点Q是所求的点试题解析：（1）如图所示：点P即为所求；（2）如图所示：点Q即为所求.13（2017内蒙古鄂尔多斯康巴什新区第二中学初二期中）如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？【答案】见解析【解析】试题分析：可过点D作关于AB的对称点D，连接CD与AB交于点E，即为所求试题解析：如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD的垂直平分线，所以ED=ED，C、D两点之间CE+ED是最短的（两点之间线段最短），所以CE+ED是最短的点睛：此题考查轴对称最短路径问题，能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题.凡是涉及到最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.8
