1、第 卷 第 期 年 月计 算 物 理 ，文章编号：（）收稿日期：；修回日期：基金项目：国家自然科学基金（，）、清华大学自主科研项目（）、科学挑战项目（，）资助第一作者：周历波，男，硕士研究生，研究方向为粒子物理与原子核物理，：通信作者：叶涛，男，研究员，研究方向为核反应物理、粒子输运物理，：系统的广义约化 矩阵理论分析周历波，叶 涛，王 佳，孙伟力（中国工程物理研究院研究生院，北京；北京应用物理与计算数学研究所，北京）摘 要：以广义约化 矩阵理论为基础，运用 程序（）综合分析有关 系统的所有核反应的实验数据，给出从 范围内一套完整的评价值，各反应数据内部自恰。其中积分截面的拟合包括（，）、（，
2、）、（，）、（，）、（，）、（，）和（，），同时给出相应的误差矩阵；天体物理学 因子的拟合包括（，）和（，）；微分截面的拟合包括（，）、（，）、（，）、（，）和（，）。所有的拟合结果与实验数据和主流评价数据符合良好。在低能部分，提高了（，）反应和（，）反应各自积分截面的精确度。在高能部分，将 系统的评价数据进行了扩展。关键词：矩阵理论；核反应截面；核数据评价；系统；（，）反应中图分类号：.，.文献标识码：.引言 在天体物理和聚变能源的应用中，氘核诱发的聚变反应提供了重要的能量和中子来源，相应的微观核反应截面是其中的核心数据，在早期宇宙的核素丰度分析和聚变反应堆的设计中发挥着关键作用。作为主要的
3、聚变燃料，反应是主要的聚变反应之一，其贡献不可或缺。相互作用构成了 系统，是包含核子数最少的核核反应过程。针对 反应以及其他构成 系统核反应的研究有利于增进对核子核子相互作用和轻核结构的认识。经过几十年的发展，理论和实验成果已积累不少。聚变应用关注的轻核评价数据主要采用了 矩阵理论的成果。矩阵理论主要应用于轻核、低能和有明显共振结构的核反应研究，也用来分析中重核的共振能级参数，同时计算归一化的各类反应截面。目前国际上用于轻核数据评价的 矩阵程序主要有 和用于分析共振参数的 等。清华大学陈振鹏等结合经典约化 矩阵理论和协方差分析理论编制的程序（）具有高度自动化地调节所有 矩阵参数和拟合巨量实验数
4、据的功能，可以用于分析能级可分辨和不可分辨的能区，可以用于分析具有共振结构的核系统，也可以用于分析没有共振结构的核系统。程序已经被用于国际原子能机构（）组织的多类国际合作项目，比如中子标准截面、分析带电粒子 矩阵程序和国际中子数据评价网等等，还被用于分析 的天体物理 因子，并且获得了满意的成果。本文采用 程序分析和研究 系统，注重于获取 反应的.到 的评价截面，尤其是（，）反应。按照入射粒子分类，系统的评价数据分为氘核数据（反应）、中子数据（反应）和质子数据（反应），氘入射能的上限是 ，中子入射能的上限是 ，质子入射能的上限是 或。美国的 库数据包含全部三类数据，主要采用 矩阵理论评价，其（，
5、）、（，）反应截面的能量区间为 到 。其他数据库都只有中子数据，中国的.库、日本的计 算 物 理第 卷.库和俄罗斯的.库都是采用混合方法的评价，低于 能区采用 矩阵方法，高于 采用纯数学方法；欧洲的.库直接采用 的结果。系统涉及的具体核反应道包含：（，）、（，）等，（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）等，（，）、（，）等，其中多个反应道互为逆反应。此外还有反应截面极小的 俘获反应道。（，）是一个极为重要的放能反应中子源，反应能为.。现有实验数据中氘核的最大入射能为.，在 左右存在（，）反应截面峰值。根据目前的 数据库，各家实验数据在.到 区间存在较大分歧。需要采用综合评价实验
6、数据的方法改进评价值，并扩展评价值的能区，以提高数据的准确性。理论方法.广义 矩阵理论 复合核的衰变规律在理论上与复合核是如何形成的没有关系，因此复合核的每个反应道是平等的，既可以作为入射道，也可以作为出射道。矩阵理论允许用一套 矩阵参数来描写与该复合核相关的所有二体核反应实验数据，对于有明显共振结构的复合核，这些 矩阵参数具有明确的物理意义。对于标准的 矩阵模型，矩阵参数包括约化宽度振幅（）、能级位置（）、道半径（）。对于约化 矩阵模型，还有约化道宽度振幅（），代表所有未被考虑的反应道的总贡献，可以使 矩阵分析扩展应用到很高的能区。在核数据评价领域，首先实际应用的约化 矩阵模型，目前已经得到
7、国际学术界的认可和推广。假定入射粒子和靶核相互作用后形成了一个核反应系统，这个核反应系统无论是不是真正的复合核，仍然可以采用 矩阵理论公式拟合有关实验数据，我们将这样的方法称为“广义 矩阵理论”。此时广义 矩阵理论演变成可以同时拟合一个核系统中多类核反应实验数据的数学工具，所得到的 矩阵参数不再要求具有明确的物理意义，只要能够精确描写全体实验数据即可。“广义 矩阵理论”在美国的 矩阵程序 和我们的 中都得到了实际应用。.程序中的 矩阵 采用 分析方法，同时拟合一个核系统的所有实验数据，可以得到全套内部自恰的评价值，以及相应的协方差矩阵。矩阵分析是唯像拟合，判断其分析结果是否可靠，主要是看整体拟
8、合值与整体实验数据集的符合程度如何，如果整体上它们在误差范围内一致，拟合值就是可靠的。程序的 矩阵计算公式是 ，（）（）|，（）其中，和 表示反应道，和 表示能级，表示约化宽度振幅，表示能级矩阵，表示质心系能量，表示常数型远能级本底，表示共振能，（）表示位移函数，表示边界条件，表示约化道总宽度。所有能级参数的敏感度都是通过多次反复拟合进行检验，对拟合不敏感的参数可以当作常数或者去除，对拟合不敏感的能级可以去除。关于计算各类反应截面，采用文献中给出的公式。数据分析过程.系统 系统涉及 类入射道的实验数据，分别是 、和，理想的做法应该是同时调节全部参数拟合全部实验数据。由于目前的 程序只能同时拟合
9、 个入射道实验数据，无法同时拟合 类入射道第 期周历波等：系统的广义约化 矩阵理论分析数据，考虑本工作重点关注（，），所以采用了下述分析方法去考虑这 类实验数据的贡献。第一步是同时拟合有关 和 的全部实验数据，获得（，）的微分截面的准确拟合值，即获得 的实验数据对 系统的 矩阵参数集的要求。第二步是以第一步得到的 矩阵参数集为初值，拟合有关 和 的全部实验数据，其中包括（，）的微分截面的实验值，以及在第一步中得到的（，）的微分截面的计算值。即在第二步的拟合中也考虑了 的实验数据对拟合的影响。然后以第二步得到的 矩阵参数集为初值拟合第一步的实验数据，得到更好的 矩阵参数集。这样通过反复多次迭代拟
10、合就可以获得满足 系统的最佳 矩阵参数集。未来我们将改进现有程序使之能够同时拟合具有 个以上入射道的核系统。.反应道的设置 在 矩阵分析中，计算量近似与反应道数的立方成正比。如果反应道数不多，可以同时考虑所有的反应道。如果入射粒子能量高，涉及很多的二体反应道和多体反应道，则采用约化道总宽度可以显著减少 矩阵参数的数量和总计算量，通常用约化道总宽度代表没有实验数据的二体反应道和多体反应道的贡献。在 系统的评价中，高能区（，）反应和（，）反应的实验数据较少，而且两者在实验上难以区分，为了降低计算量，将两者合成同一个反应道。俘获的贡献极小，处在其他反应道的贡献的误差范围内，利用已有的经验数学表达式考
11、虑其贡献可以显著减小拟合计算量。表 反应道的道半径和阈值 .所采用的反应道、道半径和阈值如表 所示，其中道半径 是可调参数，由拟合实验数据获得。在 质心系下，以 道为零点，根据其他反应道的相对能量确定阈值。有关 系统的实验数据都是平滑变化的，在低能处可能是复合核核反应机制占主导地位，随着入射粒子能量的逐渐增加，复合核核反应机制逐渐变小，以致消失。所以要根据拟合数据的需要设定能级，也就是要使计算结果更好地拟合实验数据，得到最低的卡方值。本次评价一共采用了 个能级。矩阵计算公式满足细致平衡原理，在上述核反应中，（，）和（，）互为逆反应，在数据拟合中起到互相约束的作用。（，）在高能区的实验数据对于确
12、定（，）和（，）起到决定作用。计算表明，它们的截面数据实现了精密的匹配，提高了有关 系统评价值的可信度。.实验数据 本工作使用或参考了 中有关 、和 的实验数据，具体情况如表 所示。结果分析 在 矩阵的拟合计算中，由于 矩阵的幺正性以及分截面和等于总截面的要求，系统的各反应截面之间相互关联。这使得互为逆反应的实验数据都可以得到利用，并可以根据逆反应结果去计算缺乏实验数据的反应截面。本文中（，）积分截面（如图 所示）的低能端部分就是这样确定的，以下只有几个数据点，而且分歧很大，在本文中该能区的评价值将主要由逆反应（，）的实验数据确定。若能补充（，）反应在 以下的新实验数据也很有意义。对于某类积分
13、截面，最好有一套全能区的连续分布的实验数据值；如果某个能区缺乏实验数据可以暂时用现有的理论值填补，有时又叫“伪数据”。当数据拟合达到较好后，就把伪数据去掉。.积分截面拟合 采用共振理论拟合能点很多的实验数据时，每个能点之间存在强烈的竞争，有的能点可能拟合得很好，有的能点可能拟合得不太好。此外还存在“奇点”效应，如果计算的能点非常靠近某个能级的共振能量时，相应截面值可能非常大，因此计算结果可能不平滑，最后给推荐值的时候需要作平滑处理，本文采用局部加权回归（）平滑方法。设共有 个能点，的计算结果是，平滑后的结果是，计 算 物 理第 卷 表 实验数据的使用和光滑处理的相对误差 （，）.（，）.（，）
14、.（，）.（，）.（，）.（，）.（，）（，）.（，）.（，）.（，）.（，）.（，）（，）.（，）.则平均相对误差取 （）。（）图 图 给出了若干积分截面的实验数据和 计算结果，包括 个反应过程：（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）和（，）。结果经过 平滑处理，处理前后的相对误差分布在.区间（如表 所示）。其中，（，）反应的相对误差最小，为.；（，）反应的相对误差次小，为.。图 （，）积分截面 （，）图 （，）积分截面 （，）第 期周历波等：系统的广义约化 矩阵理论分析图（，）积分截面 （，）图（，）积分截面 （，）图 中子全截面（，）（，）图 中子弹散（，）的积分截面 （，）图
15、（，）积分截面 （，）反应的两个主要反应道 （，）和（，）的积分截面（如图 和图 所示）的实验数据主要分布在 以下能区。结果与 大体一致，在.到 区间略有分歧，分别靠近着不同的实验点。在 以上能区，没有评价值，给出了评价值。中子与 作用的 个主要反应道 （，）、（，）反应和中子弹散（，）、中子总截面（，）的积分截面（如图 图 所示）的实验数据分布在 以下能区。因为从 到 只有中子总截面数据，本文的计算结果截止到 。因为（，）反应在 以下缺少实验数据，所以 的计算值由其它反应道的数据确计 算 物 理第 卷定；而且在 到 区间，结果与 差别显著。（，）积分截面（如图 所示）有热能点（.）实验数据，
16、在低能区域（）有大量的微分截面和积分截面实验值，可以获得高精度的拟合值，高能区域的评价值主要由中子全截面和其他高能区域的截面值所确定。对（，）、（，）和（，），在小于 能区 结果与 比较一致。在大于 能区，没有评价值，给出了评价值。本文考虑了大量（，）弹性散射微分截面，以及大量（，）反应截面（图），其积分截面的实验数据分布在 以下能区。（，）反应的阈值约为 。在 到 区间，的结果仍需改进。图 计算值的标准误差 利用 可以得到所有评价值的协方差矩阵。协方差矩阵数据量庞大且不容易用图示清晰表达，本文暂不给出。图 分别给出了（，）和（，）反应积分截面计算值的标准误差，也就是相应协方差矩阵的对角元的平方根。根据误差传播定理，评价值的误差依赖于参数的优化程度、实验数据的误差大小、实验能点的密度。图 也对标准误差的计算值做了 平滑处理。在不考虑自旋时，聚变反应截面可以写为（）（）()。（）代入 反应的参数，有（）（）.()，（）带入由 得到的截面拟合值（），由上式可以计算出 因子，下面给出计算结果与实验数据。设共有 个实验点，实验值是，对应能点的评价值是，则卡方值 （）。（）图 和图 分别给出（，
