1、第 51 卷第 2 期2023 年 1 月广 州 化 工Guangzhou Chemical IndustryVol.51 No.2Jan.2023s-g 原子轨道角度分布函数在 MATLAB 中的可视化余维维1,王裕平2,王一会3,秦梦瑶4(1 黔东南生态环境监测中心,贵州 黔东南 556000;2 贵州应用技术职业学院化学工程系,贵州 黔南 550500;3 安顺生态环境检测中心,贵州 安顺 561000;4 大理大学农学与生物科学学院,云南 大理 671000)摘 要:以功能强大的 MATLAB 计算软件为作图工具,在没有 M 文件的情况下,通过设置球极坐标参数 0,以及 0,2,直接使
2、用内置的曲面绘制函数 mesh(X,Y,Z)以及坐标变换原理实现了原子轨道角度分布函数 Yl,m(,)的可视化。同时,详细给出了 s-g 系列 Yl,m(,)的数学表达式以及 MATLAB 代码表示;包括程序设计以及所有的运行结果。而目前有关原子轨道的可视化工作方面,国内外的一些报道中,最高也只是做到了 f 轨道;并且没有介绍“立方组”。关键词:MATLAB;原子轨道;角度分布函数;立方组;g 轨道中图分类号:O641 文献标志码:B文章编号:1001-9677(2023)02-0099-04 第一作者:余维维(1993-),女,硕士研究生,研究方向为环境监测分析、化学教育。Visualiza
3、tion of Angular Distribution Function of s-gAtomic Orbits in MATLABYU Wei-wei1,WANG Yu-Ping2,WANG Yi-hui3,QIN Meng-yao4(1 Qiandongnan Ecological Environment Monitoring Center,Guizhou Qiandongnan 556000;2 Department of ChemicalEngineering,Guizhou Vocational Institute of Technology,Guizhou Qiannan 550
4、500;3 Anshun Ecological EnvironmentMonitoring Center,Guizhou Anshun 561000;4 Faculty of Agriculture and Biological Sciences,Dali University,Yunnan Dali 671000,China)Abstract:Using the powerful MATLAB calculation software as the drawing tool,the spherical coordinate parameter0,and 0,2 was directly se
5、t without the M-file,and the built-in surface drawing function mesh(X,Y,Z)and the principle of coordinate transformation was directly used to realize the visualization of the atomic orbital angulardistribution function Yl,m(,).At the same time,the mathematical expressions of s-g series Yl,m(,)andMAT
6、LAB code representation was given in detail,including programming and all running results.At present,in terms ofthe visualization of atomic orbitals,some of the reports at home and abroad had only achieved the f-orbital,and there wasno introduction to the“cube group”.Key words:MATLAB;atomic orbital;
7、angular distribution function;cube group;g-orbitalMATLAB 作为一种功能强大的科学、工程计算语言,无论是在物理还是化学领域都有着广泛的应用1-4。除了计算以外,它的图形库相对来说也非常丰富。因此,利用 MATLAB 也可以得到一系列漂亮、美观的图像5-7。原子轨道角度分布函数 Yl,m(,)在化学中是一个非常重要的概念8-9。尤其是在结构化学中,更是有着极其重要的作用。比如,化学键的形成过程,分子空间结构分析以及利用前线轨道理论分析电环化反应等;Yl,m(,)的角度分布图像起到了关键性作用,同时也给出了更为直观、形象的描述。众所周知,对于
8、Y0,0(,)、Y1,0(,)、Y1,1(,)、Y2,0(,)等图像(光谱学标记为 s、p、d)都是非常简单的,也是我们最常见的角度分布函数。但是,随着化学的发展,越来越多的新型化物已是层出不穷;原子间的成键特点也越来越复杂。在这其中,较高角量子数的 f 轨道也逐渐发挥了作用,成为重要的价轨道10-13,而对于 f 轨道的角度分布图在一些高等结构化学教材中也是比较常见的。2011 年,郭仕恒等所做的研究工作中,也利用 MATLAB给出了 s-f 角量子数的角度分布图。但是,f 轨道是存在两组 “一般组”和“立方组”。他们的研究工作中,也只是给出了一般组的具体表达式与对应的可视化 MATLAB
9、代码。其次,作图是通过编写 MATLAB 脚本完成的,相对比较麻烦14。有关 g 轨道成键的化合物至今虽然未见报道,但早在90 年代时,谢建康等在教学研究工作中就已给出了相应的具体表达式以及简略的图像。但是,并未给出相关作图方法以及程序代码;图像也非常的模糊。另外,对于国内外的其它研究工作中,最多也只是给出了 f 轨道的图像15-18。本研究系统的给出了 s,p,d,f(“一般组”和“立方组”),g 系列原子轨道角度分函数的表达式以及对应 MATLAB 代码与图像;对今后的化学100 广 州 化 工2023 年 1 月教学也有一定的辅助作用。1 Yl,m(,)介绍s,p,d 轨道比较简单,但对
10、于 f 轨道相对复杂一点,共有两组(这一点与以往的 p 轨道或 d 轨道已不一样)。除了正常情况下的“一般组”,还有“立方组”。在孤立原子中,原子轨道的角度分布函数可以用“一般组”来描述。以简单的 d 轨道为例;孤立原子中 5 个简并的 d 轨道在八面体场或四面体场中分别分裂成 t2g(dxy,dyz,dzx)和 eg(dz2,dx2-y2)以及 t2(dxy,dyz,dzx)和 e(dz2,dx2-y2)两组;其中 t2g、t2为三重简并,而 eg、e 为二重简并。因此,对于 d 轨道而言,无论是在孤立原子还是在八面体场或四面体场中,其角度分布都是同样适用的。孤立原子中的 7 个 f 轨道,
11、在八面体场或四面体场中同样会发 生 分 裂。分 裂 情 况 分 别 如 下:t1u(fx(5x2-3r2),fy(5x2-3r2),fz(5x2-3r2)、t2u(fx(z2-y2),fy(z2-y2),fz(z2-y2)和 a2u(fxyz)以 及 t1(fx(5x2-3r2),fy(5x2-3r2),fz(5x2-3r2),t2(fx(z2-y2),fy(z2-y2),fz(z2-y2)和a2(fxyz)。从以上可以看出,f 轨道的“一般组”中并不存在四重简并。因此,必须利用量子力学的叠加态原理将“一般组”中的7 个 f 轨道重新进行线性组合,即所谓的“立方组”f 轨道。“立方组”中的 f
12、z(5z2-3r2),fz(z2-y2),fxyz与“一般组”是完全一致的,其余的 4 个新轨道可由“一般组”的线性组合而得到。具体表达式可参见 SI 表 1 中的 17 23 所示。2 原理与方法原子轨道角度分布图是将空间任意方向(,)上各点的Yl,m(,)值进行计算,然后找出每个方向上的 Yl,m(,)最值(Yl,m(,)max或 Yl,m(,)min)。以其绝对值为长度在该方向上连接坐标原点,找出所有这样的向量,将所有向量的终点坐标用光滑的曲面连接起来。在 MATLAB 中,可以通过设置球极坐标参数变量 0,以及 0,2,然后借助程序内置的 mesh(X,Y,Z)曲面绘制函数以及坐标变换
13、等来实现 Yl,m(,)的可视化。Cartesian 坐标与三维球极坐标之间的变换关系如下所示:x=rcossin(1)y=rsinsin(2)z=rcos(3)2.1 角度分布函数的可视化 MATLAB 代码所有角度分布函数的 MATLAB 代码可见 SI 表 1,根据该表所得到的 s,p,d,f,g 系列原子轨道角度分布函数可视化MATLAB 代码如下:theta=linspace(0,pi,2000);%定义变量 theta 取值范围及步长精度。phi=linspace(0,2pi,2000);%定义变量 theta 取值范围及步长精度。theta2,phi2=meshgrid(thet
14、a,phi);%获取上述变量形成的二维矩阵。r=对应 Yl,m(,)的表达式;%定义原子轨道的具体形式(可参见 SI 表 1)。x=r.sin(theta2).cos(phi2);%实现球坐标与直角坐标x 的转化。y=r.sin(theta2).sin(phi2);%实现球坐标与直角坐标y 的转化。z=r.cos(theta2);%实现球坐标与直角坐标 z 的转化。mesh(x,y,z);或 surf(x,y,z);%将 x,y,z 构成的立方体数据进行作图。axis equal;%使得 x,y,z 坐标轴等长。xlabel(X);%设置 x 轴的标签。ylabel(Y);%设置 y 轴的标签
15、。zlabel(Z);%设置 z 轴的标签。title(图像标题名称);%设置图形的标题。set(get(gca,XLabel),FontSize,22,FontName,Times New Roman,FontWeight,bold);set(get(gca,YLabel),FontSize,22,FontName,Times New Roman,FontWeight,bold);set(get(gca,ZLabel),FontSize,22,FontName,Times New Roman,FontWeight,bold);set(gca,FontName,Times New Roman,
16、FontSize,20,FontWeight,bold)。2.2 运行结果以下是 s-g 系列原子轨道角度分布函数在 MATLAB 程序中的可视化效果,图1 图3 为 s,p,d 系列原子轨道的角度分布图。图 1 s 轨道角度分布示意图Fig.1 Graph of s orbital angle distribution function图 2 p 轨道角度分布函数示意图Fig.2 Graph of p orbital angle distribution function图 3 5 个 d 轨道角度分布示意图Fig.3 Graph of 5 d-orbital angle distribution function第 51 卷第 2 期余维维,等:s-g 原子轨道角度分布函数在 MATLAB 中的可视化101 而对于 7 个 f 轨道的“一般组”角度分布图如图 4 所示。图 4 7 个 f 轨道角度分布示意图Fig.4 Graph of 7 f-orbital angle distribution function由于“立方组”中的 fz(5z2-3r2),fz(x2-y2),fxy
