1、书书书第 39 卷第 2 期福建师范大学学报(自然科学版)Vol.39，No.2(2023 年 3 月)Journal of Fujian Normal University(Natural Science Edition)Mar.2023DOI:10.12046/j.issn.1000-5277.2023.02.001文章编号:1000-5277(2023)02-0001-08Hayman 方向与涉及导函数的亚纯函数的唯一性潘飚(福建师范大学数学与统计学院，福建 福州350117)摘要:借助 Ahlfors-Shimizu 特征与角域 Nevanlinna 特征函数，研究了 Hayman 方
2、向和涉及导函数的亚纯函数的唯一性之间关系 获得了在包含 Hayman 方向的任意小角域内与其导函数分担 3 个不同值的亚纯函数唯一性的定理关键词:亚纯函数;Hayman 方向;唯一性中图分类号:O174.52文献标志码:A收稿日期:2022-07-08基金项目:福建省自然科学基金资助项目(2019J01672)通信作者:潘飚(1963)，男，副教授，研究方向为复分析 bhpan fjnueducnHayman Direction and Uniqueness of MeromorphicFunctions Involving Derivative FuctionsPAN Biao(School
3、 of Mathematics and Statistics，Fujian Normal University，Fuzhou 350117，China)Abstract:In view of Nevanlinna theory，we deal with the relationship between Hayman direc-tions and uniqueness of meromorphic functions involving derivative functions The uniqueness theo-rem of meromorphic functions sharing t
4、hree different values in an angular domain containing a Hay-man direction is obtainedKey words:meromorphic function;Hayman direction;uniqueness theorem本文假定读者熟悉亚纯函数 Nevanlinna 值分布论中的常用记号和基本结果13，记 C 为复平面，=C 为扩充复平面，亚纯函数 f(z)的下级与级依次定义为 =(f)=limrinflog T(r，f)log r，=(f)=limrsuplog T(r，f)log r设 f，g 是区域 D C
5、 上亚纯函数 对 c C ，若 f c 和 g c 在 D 上内具有计重数的相同的零点，则称 f 和 g 在 D C 内 CM 分担 c 若 f c 和 g c 在 D 上内具有不计重数的相同的零点，则称 f 和 g 在 D C 内 IM 分担 c1979年，Gundersen4 和Mues-Steinmetz5 研究亚纯函数f与其导函数f的唯一性问题，获得如下结果定理 145 设 f 是亚纯函数，aj(j=1，2，3)是 3 个判别的有穷复数 如果 f 和 fIM 分担 aj(j=1，2，3)那么 f f 随后，Frank 等6 推广了上述结果，证明了下面结果定理26 设f 是亚纯函数，k
6、是正整数，aj(j=1，2，3)是3 个判别的有穷复数 如果f 和f(k)IM分担 aj(j=1，2，3)那么 f f2004 年，郑建华 7 首次考虑了在角域中具有共享值的亚纯函数唯一性问题，并证明了以下结果定理 37 f 是具有有穷下级超越亚纯函数，且存在 a C ，p 0 使得=(a，f(p)0，又设 j，j(j=1，q)是一列实数对，满足 1 1 2 2 q q，福 建 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2023 年和qj=1(j+1j)4arcsin(a，f(p)/2，其中=maxjj 1j q，=max，假定f 与其k 阶导函数f(k)在角区域X=ql=1 z jarg
7、z j IM 分担 aj(j=1，2，3)且 (f)那么 f f(k)2015 年，Li 等8 注意到当 q 2 时定理 C 不成立，并证明了以下更一般的结果定理 48 设 f 是具有有穷下级超越亚纯函数，且存在 a C ，p 0 使得=(a，f(p)0，又设 j，j(j=1，q)是一列实数对，满足 1 1 2 2 q q，和qj=1(j+1j)4arcsin(a，f(p)/2，其中=maxjj 1 j q，=max，k 阶线性微分多项式L f=bkf(k)+bk1f(k1)+b1f，(1)这里 k 是正整数 bk，bk1，b1是常数，且 bk 0，假定 f 与 L f在角区域 X=ql=1
8、z j arg z j IM 分担 aj(j=1，2，3)且 (f)那么 f f(k)2019 年，Chen9 考虑了 CM 分担值情况，证明了如下定理定理59 设f 是具有有穷下级(f)12的非常数的亚纯函数，aj(j=1，2，3)是3 个判别的有穷复数 k 阶线性微分多项式L f=bkf(k)+bk1f(k1)+b1f，这里 k 是正整数 bk，bk1，b1是常数，且 bk 0 那么存在角区域 D=z arg z ，其中0 2，使得如果 f 与 L f在 D 上分担 aj(j=1，2，3)CM，那么 f=L f 问题 1在亚纯函数理论中，函数是唯一性由其在具有聚点的集合上的值确定 在分担值
9、条件下确定函数唯一性的角区域是一个什么样区域?它们是否与奇异方向存在一定的关系 基于亚纯函数的奇异方向理论2，以及结合文献 10 13给出的亚纯函数分担值的研究结果，推测包含奇异方向的角域可能是正确的亚纯函数的奇异方向是亚纯函数角分布理论中的一个重要课题 12，12 Hayman 1 证明了下面结果:定理 61 假定 f(z)是复平面 C 上是超越亚纯函数，则对整数 n(n 5)，f afn在复平面 C 上取任何有穷复数值无穷多次，其中 a C，a 0Li14 证明了与定理 F 有关的奇异方向的存在性，结果如下定理 714 假定 f(z)是复平面 C 上是超越亚纯函数且满足条件limrsupT
10、(r，f)(log r)3=+，则存在一条射线 arg z=0(0 0 2)使得对任意正数，正整数 n(n 5)与有穷复数 a，b(a 0)有limrn(r，0，f afn=b)=+成立为了描述这种奇异方向，引入了亚纯函数的 Ahlfors-Shimizu 特征T0(r，f)=r0A(t)tdt，A(t)=120t0(|f(ei)|1+|f(ei)|2)2dd，2第 2 期潘飚:Hayman 方向与涉及导函数的亚纯函数的唯一性p(r)=sup2trT0(t，f)(log t)p，(r)=1p(r)1q(2)Li14 通过建立另一种“充满圆”进一步描述该奇异方向，其定义如下定义 1假设 f(z)
11、是复平面 C 上是超越亚纯函数且满足条件limrp(r)=，arg z=0(0 02)是一条射线 如果存在点序列 zn，limn|zn|，limnarg zn=0和一系列实数rn，limnrn=+，使得以下关系成立:A(|zn|)|zn|，zn，f)1642 p(rn)12q(logrn)p2(n=1，2，)，其中 p 2，q 3 那么称射线 arg z=0(0 0 2)为 f(z)的 Hayman 方向Li14 证明了 Hayman 方向的存在性本文研究了 Hayman 方向与涉及导数的亚纯函数唯一性之间的关系，得到了如下结果定理 8假设 f是有穷级超越亚纯函数，且满足条件limrsupT(
12、r，f)(logr)3=+，是任意正数，arg z=0(0 0 2)是 f(z)的 Hayman 方向 若 f 和 f 在 A(0，)=z|arg z 0|内 IM 分担 aj(j=1，2，3)则 f f这一结果是 Gundersen4 和 Mues5，Zheng7 和 Li 等8 相关结果的推广角域中的 Nevanlinna 理论在本文定理证明中起着重要作用，因此回顾其基本符号如下设 f 是亚纯函数，D=z arg z ，其中0 2 Nevanlinna 给出下列定义 4 A，(r，f)=r1(1ttr2)log+|f(tei)|+log+|f(tei)|dtt，B，(r，f)=2rlog+
13、|f(rei)|sin()d，C，(r，f)=21|bm|r(1|bm|bm|r2)sin(m)，S，(r，f)=A，(r，f)+B，(r，f)+C，(r，f)，其中=()，bm=|bm|eim是 f 在 D 上考虑重级的极点1引理引理 111，13 假设 F 是亚纯函数族，对每个 f F 其零点重级至少为 k 若 F 在原点 0 不是正规的，那么对 0 k，存在(1)实数 r(0 r 1)，(2)复数列 zn0，|zn|r，(3)函数列 fn F，(4)正数列 n0使得当 n 时gn(z)=nfn(zn+nz)依球面距离在复平面的任意紧集上一致收敛于非常数的亚纯函数 g(z)，且 g 的级至
14、多为 2为方便，定义LD(r，f c1，c2)=c1 m(r，ff)+3i=1m(r，ff ai)+c24i=1m(r，ff)+3i=1m(r，ff tai)，其中 ai(i=1，2，3)，t 和 ci(i=1，2)是有穷复数引理 211 假设 f 是亚纯函数，D=z|z|，aj(j=1，2，3)是 3 个不同的有穷复数，t 是3福 建 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2023 年正实数，a C 若ED(aj，f)=ED(taj，f)，j=1，2，3，其中 a aj，f(0)aj，(j=1，2，3，)，f(0)0，at 且f(0)0，f(0)tf(0)，则对0 r，有T(r，f)L
15、D(r，f 2，3)+log3i=1|f(0)ai|2|f(0)tai|3|tf(0)f(0)|5|f(0)|2+3log1|f(0)|+(log+t+m(r，ff ta+1)O(1)，(3)其中 ED(a，f)=z z D，f(z)=a O(1)是仅与 a 有关的常数，ai(i=1，2，3)引理 314 假设 f(z)是复平面 C 上是超越亚纯函数，且p(r)=sup2trT0(t，f)(logt)p，(r)=1p(r)1q，其中p2，q3 如果limrp(r)=，则存在正数列 rn1和复数列 zn1，limnrn=limn|zn|=+，使得A(|zn|)|zn|，zn，f)1642 p(r
16、n)12q(logrn)p2(n=1，2，)，(4)其中A(r，a，f)=120r0(|f(a+ei)|1+|f(a+ei)|2)2dd，|zn|rn，T0(r，f)=r0A(t)tdt，A(t)=120t0(|f(ei)|1+|f(ei)|2)2dd引理 4若亚纯函数 f(z)满足引理3 条件的，则存在一条射线 arg z=0(0 0 2)与一复数列 zn(|zn|)，其中limnarg zn=0，以及一实数列 rn，limnrn=+，使得式(4)成立证明假定引理3中zn=|zn|ein(0n 2)由于 n 为有界点列，故存在收敛的子点列，仍记为 n设 n 0(n)这样就导出引理 4引理 51，12 假设 f(z)在区域 D=z|z|上亚纯 若 f(0)，则对 0 r 有|T(t，f)T0(t，f)log+|f(0)|12log2，其中，当 f(0)=时，log+|f(0)|可以用 log|c(0)|替代，c(0)表示 f(z)在 z=0 点展成 Laurent级数的首项系数，T0(t，f)如式(2)所定义引理 610 假设 f(z)是亚纯函数，ai(i=1，2，3)是3 个不同的复
