1、Science&Technology Vision科技视界0引言建构主义理论认为，在学习的过程中，学生需要积极地参与教学活动并进行意义建构，而不能只是被动接受知识1。合理运用信息技术为学习情境的设计提供了有利条件，进而有利于学生的知识建构，这使得建构主义理论可以在实际教学得以实施。普通高中数学课程标准（2017 年版）明确提出，为了提高教学质量，教师需要在教学中应用信息技术，有效辅助数学课程的教学2。具有强大的动态直观演示功能的 GeoGebra 软件出色的 3D 绘图、代数指令、几何度量等功能是几何画板、超级画板等软件无法比拟的，非常适合用于中学数学的可视化深度教学3。笔者以“祖暅原理与体积
2、公式”的教学为例，在建构主义理论的指导下，探究基于GeoGebra 的中学数学的可视化深度教学，旨在这个过程中培养和发展学生的数学核心素养4。1GeoGebra软件的简介及特点GeoGebra 软件的代数与几何功能十分强大，软件建立起代数与几何的桥梁，能够将代数语言转化为几何语言，使抽象的数学概念和原理可视化，通过数形结合的方式，建立起代数抽象与几何直观之间的关系，从而加深学生对数学概念和原理的本质理解。GeoGebra 软件很好地展示了如何从代数和几何两方面描述数学对象的本质。例如可以通过在工具栏选择点、向量、直线、多边形、圆等作为基本元素，通过这些基本元素的组合便可绘制出丰富多彩的几何图形
3、，同时代数区也会显示相应绘制图形所对应的代数指令。也可以通过在代数区指令栏输入点、向量、直线、曲线、函数等数学对象的代数指令来绘制相应图形。中学数学从常量数学到变量数学是其一大特点，通过 GeoGebra 软件的动态设计可以在课堂上直观演示数学对象的变化过程，为数学教学提供可视化平台，有助于学生理解和掌握抽象的数学概念和原理，从而使学生的数学核心素养得以提升。2祖暅原理与体积公式的教学分析在公元 5 世纪末，祖暅提出了“祖暅原理”，即“幂基 金 项 目：安 徽 省 教 育 厅 高 校 科 学 研 究 重 点 项 目（KJ2019A0528）；阜 阳 师 范 学 院 基 础 教 育 研 究 成
4、果 培 育 专 项 项目资助（2018JCJY10）。作者 简介：崔 颖，博 士，副 教 授，研究 方 向为 控 制理 论 和 数 学 教育。DOI：10.19694/ki.issn2095-2457.2022.30.23基于 GeoGebra 的可视化深度教学以“祖暅原理与体积公式”为例崔颖凌翔（阜阳师范大学数学与统计学院，安徽 阜阳236037）【摘要】GeoGebra软 件 的 可 视 化 功 能 有 助 于 学 生 理 解 和 掌 握 抽 象 的 数 学 概 念 和 原 理，从 而 使 学 生 的 数 学 核 心 素养 得 以 提 升。本 文 给出GeoGebra软件 在 理 解祖 暅
5、 原理 方 面的 应 用，并用 此原理 推 导 了 柱 体 和 球 体 体 积 公 式，体 现 了GeoGebra软件 在实 施可 视 化深 度教 学 方面 的应 用。【关 键词】GeoGebra；可视化 教学；祖 暅 原 理；数 学 核心 素 养科学课堂083科技视界Science&Technology Vision势既同，则积不容异5”。祖暅原理是我国古代数学的杰出成就，蕴含着丰富的数学文化价值。在实际教学中，教师应该如何帮助学生通过自主探究、合作探究的方式，让学生理解和应用祖暅原理，并体会蕴含在祖暅原理中丰富的数学思想。由于学生的抽象思维有限，直接给学生介绍原理，学生则比较难理解，特别是
6、对于空间想象能力薄弱的学生来说，学习起来非常吃力。在立体几何的教学中，教师要把帮助学生形成空间观念作为教学重点，要让学生经历从具体情境中抽象出空间几何体的过程。因此，在实际教学中，GeoGebra 软件的动态直观演示可以将抽象地祖暅原理形象直观地展现在学生面前，从而培养学生的直观想象能力，加深学生对祖暅原理深刻理解。进一步，利用祖暅原理并结合长方体的体积公式推导出柱体的体积公式，提升学生的逻辑推理能力。3祖暅原理的可视化教学祖暅原理的具体含义：形状不同的几何体被任意平面所截，当截面面积总相等时，则几何体的体积相等6。对于这一抽象的几何原理，我们可以通过 GeoGebra 软件的动态直观演示，从
7、以下两个方面逐步深入地进行祖暅原理的可视化教学。首先，让学生体会祖暅原理的思想，即不同的几何体，只要在同一高度的截面面积相同，则几何体的体积相同。为此，我们在 GeoGebra 软件的 3D 绘图区中作出 3 种不同的几何体，如五棱柱、圆柱、长方体。然后，在左侧绘图区，设置 2 个滑动条，其中滑动条 r表示圆柱底面积的半径，用于控制这 3 个柱体底面积S 的变化，滑动条 h 控制两个平行平面间的距离。在GeoGebra 软件中选择度量工具，用于度量截面的面积和几何体的体积，并将度量后的结果以动态文本的形式显示在 3D 绘图区上方，其中 S1，S2，S3分别表示五棱柱、圆柱、长方体的截面面积，V
8、1，V2，V3分别表示它们的体积。我们取初始状态为 r=1.4，h=5，此时，在GeoGebra 软件的界面中，可显示出这三个柱体的截面面积为 S1=S2=S3=6.16，体积为 V1=V2=V3=30.79，如图 1所示。随后不断改变滑动条，在此过程中，学生能够直观感知到祖暅原理的正确性，从而加深学生对祖暅原理的理解。进一步，根据祖暅原理，由长方体体积公式V3=Sh，我们得出，任意柱体的体积公式为 V柱体=Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。图1当r=1.4，h=5时三个柱体的截面面积和体积其次，让学生感受祖暅原理中“被任意平面所截”中“任意”一词的动态变化过程。为此，我们可以利
9、用GeoGebra 软件界面的滑动条 t，用其控制平面截这三个柱体所成的截面的位置，体现祖暅原理中任意性的动态变化过程。在实际教学中，学生可以操作滑动条，自主探究不同形状的几何体，其体积与同一高度的截面面积有关，与截面的形状无关。例如，在 GeoGebra课件中，通过操作滑动条从 0.2 变化到 0.7，如图 2 所示。由图可见，这三个几何体的截面面积不变，相应的体积也不变。GeoGebra 软件的动态直观展示呈现了祖暅原理中任意平面所截几何体的截面，可以实现学生对任意平面的直观理解，学生能够直观感知和理解到祖暅原理的正确性，从而加深对祖暅原理这一抽象原理的理解。4祖暅原理的深度教学由前面的论
10、述，我们可见 GeoGebra 软件有助于直观地理解祖暅原理，并由此推导柱体的体积公式。然而，数学的课堂教学还需要将学生的认知超越表层知识符号，触及数学的本质，激发学习数学的热情，使学生学会数学地思维，实施深度教学7。接下来，我们将基于 GeoGebra 软件并结合祖暅原理给出体积公式的深度教学，即以祖暅原理推导球体的体积公式为例。首先，通过 GeoGebra 软件的 3D 绘图功能，构造与半球的截面面积相等的几何体。为此，我们记半径为 R 的半球为几何体，然后取一个圆柱（底面半径和高均为 R），再从中挖去一个圆锥，剩下的部分记为几科学课堂084Science&Technology Visio
11、n科技视界何体 2，如图 3 所示。此时，学生可自主操作 GeoGebra软件中的滑动条 t 和 R，直观地感知到，虽然这两个几何体的形状不同，但截面面积相同和体积都相同。通过这一过程，加深了学生对祖暅原理这一抽象原理的理解。图3当t=0.4，R=2时几何体1，2的截面面积和体积接着，利用祖暅原理并结合代数方法推导出球的体积公式。我们设任意水平面的高度为 h，几何体 1 的圆截面的半径为 r。根据勾股定理，圆截面的半径为 r=R2-h2，于是圆截面的面积 S1=r2（R2-h2）。在几何体 2 中，由于挖去的是等底面积、等高的圆锥，故圆环截面的小圆半径就等于 h，又知圆环截面的大圆半径为 R，
12、可得圆环截面的面积 S2=R2-h2，所以 S1=S2。根据祖暅原理，我们得出，它们的体积相等，即12V球=R2 R-13R2 R=23R3，所以球的体积为 V球=43R3。在利用祖暅原理推导球的体积公式时，如何构造与球的截面面积相同的几何体是非常关键的。由此，教师在数学教学的过程中，要激发学生的学习兴趣，启发学生的数学思考，引导学生对数学知识进行全面而深刻的理解，洞悉数学的本质。4总结和建议本文以“祖暅原理与体积公式”为例，通过 GeoGebra软件动态直观演示，将抽象的祖暅原理转化为直观的图形，使学生更加形象直观的理解祖暅原理的本质。教师利用 GeoGebra 软件辅助数学教学，促进了师生
13、之间的互动和交流，有助于激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心，使学生喜爱上数学，感受数学之美。【参考文献】1陈华庆.基于建构主义理论的信息化数学教学模式J.数学通讯，2004（3）：1-3.2中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）M.北京：人民教育出版社，2018.3张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略：基于GeoGebra平台J.数学通报，2018，57（7）：21-24.4袁思情.利用GeoGebra软件助力高中生数学核心素养的培育J.上海课程教学研究，2021（12）：28-34.5李云丽.高中数学教学中数学文化的渗透：以祖暅原理为例J.智力，2020（34）：121-122.6张伟.祖暅原理的由来及证明J.重庆教育学院学报，2010，23（3）：113-115.7罗建宇.从融合到创新：基于GeoGebra的数学深度教学J.数学通报，2020，59（2）：23-26.图2当t=0.2和t=0.7时三个柱体的截面面积和体积科学课堂085
