1、第 52 卷第 2 期2023 年 2 月Vol.52 No.2February 2023光子学报ACTA PHOTONICA SINICA02120031基于迭代优化的两帧随机相移干涉术刘畅1，杜虎兵1，冯雷洁1，严兴旭1，张高鹏2（1 西安工业大学 机电工程学院，西安 710021）（2 中国科学院西安光学精密机械研究所，西安 710119）摘要：提出了一种由粗及精的无需预滤波的两帧先进迭代随机相移技术。基于最小化残差背景，首先利用采集条纹图的相关运算，在近似正交条件下估计相移和相位；然后利用这些求解过程中的中间参数在空域由条纹图数据估计相移和背景；最后，迭代上述过程直至收敛到预定义的精度
2、，从而实现相位的精确求解。针对条纹图空域背景和振幅变化问题，利用条纹图子图降低背景空域变化对背景和相移估计的影响，并减小运算量。与现有的方法相比，本文方法由于提供了正确的初值，具有收敛快、计算快的特点。本文方法简单可靠，是一种实用的两帧相移干涉方法。关键词：迭代相移算法；两帧相移技术；随机相移；干涉；相位中图分类号：O439 文献标识码：A doi：10.3788/gzxb20235202.02120030 引言两帧随机相移技术在应用过程中由于能降低相移器的严格标定要求，并可以减少机械振动、环境空气扰动或温度变化等不利因素对测量的影响，因此在动态或瞬变现象三维传感场合具有广泛的应用1-2。KR
3、EIS T M等3开展了两帧随机相移干涉图相位解调的研究。该方法利用傅里叶变换，并结合简单的代数运算可以快速提取条纹图中引入的未知相移，但是当引入的相移量较小时或条纹图受噪音污染较大时，其方法常常会失效。应当说明，两帧随机相移技术由于使用的条纹图数目少，而求解未知量的数目多于求解方程的数目，致使该类问题是一个病态的反问题，从而发展一种实用的两帧随机相移解调技术充满了挑战和不确定性。因此在KREIS的研究工作之后的近十年间，两帧随机相移解调技术的发展有所停滞。两帧随机相移技术突破性的工作始于VARGAS J等4-6。2011年，VARGAS J等连续提出了多种用于两帧随机相移条纹图解调的实用算法
4、，并建立了两帧随机相移条纹图相位解调技术的范式，即首先对条纹进行归一化处理或滤除背景，然后通过一定的正则化技术求解相移进而搜索感兴趣的相位，或者根据采集的条纹图构造其正交条纹图直接计算相位。此后，二帧相位解调技术在全球范围内得到了快速发展，并发表了一系列的二帧解调技术。其中，Gram-Schmidt正交化相位解调技术将摄取的两帧条纹图视为独立的正交向量，可以简单、迅速、高精度地恢复测量相位，并成为广泛应用的二帧相位解调技术之一。但该方法对噪音和背景的变化敏感。对此，TIAN Chao等7提出了在局部通过相位拟合和全局优化搜索了相移的技术。该方法利用差分进化算法能可靠地估计相移，具有优良的性能，
5、主要缺点是需要对条纹图进行复杂的正则归一化处理，从而由于归一化处理的精度不足限制了该技术的进一步应用。针对现有二帧技术在应用过程中存在着条纹数目、特殊的预设要求等限制，2019年，CHENG Zhongtao等8基于相移与条纹图振幅方差的演变规律，发展了利用优化方法搜索相移的技术。该技术精度高、通用性强，但要求在相位解调之前对采集的条纹图进行背景预滤波处理。实际中，由于物理实验中的缺陷难以被精确地引用格式：LIU Chang，DU Hubing，FENG Leijie，et al.Two Step Phase-shifting Interferometry by Least Squares I
6、terative Optimization J.Acta Photonica Sinica，2023，52（2）：0212003刘畅，杜虎兵，冯雷洁，等.基于迭代优化的两帧随机相移干涉术 J.光子学报，2023，52（2）：0212003基 金 项 目：国 家 自 然 科 学 基 金(No.51975448)，陕 西 省 重 点 研 发 计 划(No.2021GY-274)，中 国 科 学 院 青 年 创 新 促 进 会 会 员 项 目（No.2022410）第一作者：刘畅，通讯作者：杜虎兵，；张高鹏，收稿日期：2022 09 08；录用日期：2022 10 10http:/光子学报02120
7、032建模，因此进行预滤波处理时，滤波算法很难对光强的频率分布做出正确的假定。因此，上述基于预滤波的两帧随机相移技术在相位解调时其精度常常受到预滤波效果的影响，并限制了测量速度的提高。针对预滤波导致的误差严重地影响相位重建的精度的问题，当前许多学者将注意力放在了背景残差抑制方面。文献 9-10 试图结合李萨如图拟合最小二乘迭代相移算法绕过预滤波。该类技术由于实现了无需预滤波的二帧随机相移条纹图相位解调，属于解调二帧随机相移条纹图的第二类范式。在这些方法中，首先通过李萨如图拟合或其他方法估计粗略的相位，然后利用该初始相位，逐帧地通过求解一系列线性方程估计相移，进而反复迭代上述过程，直至收敛至预定
8、义的精度，最终得到精确地相位解。其方法通常需要迭代两三次，可以快速地获得精确的相位，主要缺点是迭代过程中要求条纹图的背景照度和对比度必须在空间上保持恒定。此外，对于具有非正弦光强分布的实际条纹图，李萨如图拟合算法计算结果并不稳定。最 近，基 于 主 成 分 分 析 法（Principal Component Analysis，PCA）11及 上 述 的 最 小 二 乘 迭 代 策 略，ZHANG Hangying 等12提出了另一种无需预滤波的两帧随机相移算法。该方法首先通过两个采集的条纹图的减运算构建了第三帧条纹图。然后利用经典的主成分分析法估计初始相位，进而应用最小二乘迭代方法细化测量结果
9、。然而 PCA 算法13基于统计学意义，通常即使提供了大量的条纹图，也会产生较大的相位解调误差。因此，由于提供了较差的初始相位，可能大大降低了该方法的精度，甚至使该方法无法工作。综上可知，二帧相移技术最主要的问题是最大程度地减少残差背景的影响。对此，本文提出一种无需预滤波的两帧随机相移技术。本文方法基于先进迭代算法（Advanced Iterative Algorithm，AIA）14 的思想，针对迭代算法的收敛结果易受初值的影响，利用条纹图的相关运算，快速估计初始相移，然后利用二帧相移算法搜索相位，针对二帧条纹图残差背景对测量精度的影响，利用解调过程中的过程参数，不断地更新估计背景，将残差背
10、景对相位解调的影响降至最低。本文的方法将标准的 AIA算法推广至两帧条纹图的场合，为两帧相移干涉技术提供了一种有效的途径。提出的算法步骤可以总结为：1）去除条纹图的空域均值，估计初始相移；2）根据相移估计相位；3）利用最小二乘获得背景和更新后的相移；4）利用求得的背景更新光强；5）迭代上述过程直至收敛。1 基本原理通常，采集的两帧随机相移干涉图可以建模为Irn(x，y)=A(x，y)+B(x，y)cos(x，y)+n)，(n=1，2)（1）式中，A(x，y)和B(x，y)是背景强度和调制振幅，其空间上逐点变化，但在时域上逐点恒定；(x，y)和t是两个相移条纹图之间的测量相位和未知时域载频。不失
11、一般性，假定1=0。为了简单起见，以下省略了空间坐标(x，y)。从采样条纹图中减去空域均值，此时，两帧相移干涉图可表示为In=Irn-Irn=A+B cos(+n)，(n=1，2)（2）式中，代表了空域平均运算。A是滤波条纹图In中的残差背景。首先忽略残差背景的影响，重写两帧相移干涉图为In=B cos cos n-B sin sin n（3）设为的估计值。建立惩罚函数F=SI2(x，y)-cos()I1(x，y)2=S(B sin sin n)2（4）其中S为条纹图的像素的总数目。F是二次函数，值域为正实数，有最小值 0，因此由dFd()cos()=0（5）将条纹图I1和I2分别重写为 MN
12、1的向量I1和I2（M、N为条纹图的大小），此时F可表示为F=I2-cos()I1TI2-cos()I1（6）将式（6）中获得的F的表达式代入式（5），可得cos()=I2TI1I1TI1（7）刘畅，等：基于迭代优化的两帧随机相移干涉术02120033式（7）与文献 15 的结论相同，但采用了不同的推导方式。式（7）分母总是大于分子，因此可以可靠地估计初始相移为=arccos()I2TI1I1TI1（8）进而利用二帧相移算法估计相位为=arctan(I1cos-I2)/I1sin（9）上述正交条件是近似满足的，且忽略了残差背景的影响，为了进一步提高求解精度，本文提出利用迭代策略对式（9）进一步
13、细化。具体的讲，首先使用第二帧条纹图在空域估计相移，考虑到干涉条纹图的背景A是逐点变化的，为了减少背景空域变化对求解的影响，本文将采集的第二帧条纹图在空间上分解为若干个条纹图子图，然后任选一块条纹图子图，并假定其中相邻像素点之间的背景A和振幅在空间上恒定。设选取的条纹子图的大小为k k，并将条纹子图块中的光强和对应的相位向量化，记为I1s，I2s，Ik2s和1，2，k2，则选取的条纹图子图块可以表示为Is=a+b cos k+c sin k（10）式中，a=A，b=B cos，c=-B sin。在最小二乘意义下有S=k=1k2(a+b cos k+c sin k-Isk)2（11）求解未知数可
14、得abc=k kk=1k kcos kk=1k ksin kk=1k kcos kk=1k kcos2kk=1k ksin kcos kk=1k ksin kk=1k ksin kcos kk=1k ksin2k-1k=1k kIsk=1k kIscos kk=1k kIssin k（12）根据式（12），更新相移为=arctan(-c/b)（13）现有的文献通常忽略了上述求解的过程信息a，为了最大化减少背景的影响，本文提出利用原始光强Ir减去求得的背景a，更新式（2）中去除背景后的光强I1和I2，即I1=Ir1-aI2=Ir2-a（14）进而将更新后的I1、I2和求解的相移带入式（9），迭代
15、式（9）（14），其收敛标准可以定义为|q-q-1|（15）式中，q为迭代次数，为预定义的收敛精度。当满足收敛准则时，即可得到精确的相位分布。本文方法具体的流程图如图 1所示。图 1本文方法的流程Fig.1Flow chart of the proposed method光子学报021200342 仿真实验为了验证本文的方法，首先进行了仿真实验。文中所有数据处理采用 Intel（R）Xeon（R）W-2123处 理 器 和 MATLAB R2021a 软 件。根 据 式（1），定 义 空 间 变 化 的 背 景 强 度 和 振 幅 为a=10-5()5+2 exp()-10()()()x-10
16、2+()y-152/10-5，b=exp()-4()()()x-102+()y-152/10-5；定义相位方程为 peak函数，预设相移为=1.6 rad。图 2分别给出了模拟生成的添加了信噪比为 35 dB随机噪音的两帧条纹图（大小为 340340像素）及参考相位。考虑到 PCA&LSI方法是无需预滤波的二帧算法的典型代表，而 CV 方法在现有的需要预滤波的二帧算法中具有优良的性能，为了比较说明本文方法的性能，本文将提出的方法与 PCA&LSI 方法12和 CV 方法8的结果在相位重建性能方面进行比较。本文的相位去包裹方法参见文献 16。具体结果如图 3所示。本文方法的测量相位、PCA&LSI方法的测量相位、CV 方法的测量相位见图 3（a）、图 3（b）、图 3（c）。本文方法、PCA&LSI方法、CV方法的均方根误差见图 3（d）、图 3（e）、图 3（f）。本文方法、PCA&LSI方法和 CV 方法相应的处理时间分别为 0.080 6 s、0.248 8 s、2.460 7 s。可知，本文方法的速度相比 PCA&LSI方法提高了约 3倍，相比 CV 方法提高了约 30倍。其原因
