1、第 卷 第 期 年 月 汽 轮 机 技 术.收稿日期：基金项目：中国博士后科学基金（）；辽宁省教育厅科学研究经费项目（）。作者简介：潘宏刚（），男，辽宁沈阳人，副教授。基于传递矩阵算法的支承变化对临界转速影响的灵敏度分析潘宏刚，李根稼，郭宝仁，孟昭发，高 宇（沈阳工程学院能源与动力学院，沈阳；华电电力科学研究院东北分院，沈阳；沈阳日昭机电设备销售有限公司，沈阳）摘要：转子支承刚度和支承位置的变化，导致转子临界转速发生改变，对汽轮机组的运行造成一定的影响。利用传递矩阵法计算弹性和刚性支承在位置和刚度变化下的临界转速，并引入灵敏度概念，分析支承变化时，两种支承对临界转速影响的灵敏度变化，得到此结论
2、。当支承刚度增大时，弹性支承和刚性支承的转子临界转速均增大；支承位置偏置量增加时，弹性支承的转子临界转速先增大后减小，刚性支承的转子临界转速减小。转子临界转速对支承刚度增加的灵敏度系数在 之间；对支承位置偏置量增加的灵敏度系数在 之间。弹性支承的灵敏度系数随支承位置偏置量增加一直减小，而刚性支承的先增大后减小。为汽轮机支承系统设计和处理汽轮机运行过程中，由于刚度变化引起的临界转速改变提供参考。关键词：弹性支承；刚性支承；传递矩阵法；临界转速；灵敏度分类号：文献标识码：文章编号：（），（，；，；，）：，：；前 言汽轮发电机组在新时期将面对频繁调峰任务。其转速在临界转速时转子的振幅会迅速增大，使得
3、动静之间碰摩，过临界转速后振幅又会减小。所以，在机组启、停机时，应在很短时间内通过临界转速。汽轮机在长期运行过程中，由于振动，磨损等原因，导致支承刚度变化，会影响临界转速的变化。如果能很好地把握支承变化对汽轮机转子系统临界转速的影响，就可以掌握转子系统的临界转速大小，避免临界转速对汽轮发电机组碰摩损伤现象的出现。传递矩阵法以其计算方便、公式简单，被大量的用于转子临界转速的计算中。文献对传递矩阵法的应用以及转子系统临界转速的理论计算进行了详细说明。阚伟军等通过对轴承结构参数的研究，分析了参数变化对转子临界转速的影响。邓旺群等对某型发动机低压转子和某小型涡扇发动机高速柔性转子的临界转速随支承刚度和
4、轴向位置的变化情况进行了分析。文献研究了支承系统第 期潘宏刚等：基于传递矩阵算法的支承变化对临界转速影响的灵敏度分析的刚度和支承布置对转子动力特性的影响，得出临界转速随支承刚度的变化情况。潘宏刚等通过实验和理论结合的方法，分析了轮盘质量和位置变化对临界转速的灵敏度情况。以上的研究主要对支承刚度变化时转子临界转速的影响进行了分析。笔者引入灵敏度概念，并加入刚性支承，建立模型，利用传递矩阵法对比分析支承变化对转子临界转速影响的灵敏度情况。传递矩阵法的基本理论传递矩阵法是把转子系统分为轴段、圆盘和支承等单元。某一截面的状态向量 由剪力、弯矩、转角、挠度 构成。即 ，即 ；就称为该单元的传递矩阵。那么
5、任何两个单元之间的连接关系，就可以利用达朗贝尔原理建立。圆盘的点传递矩阵弹性支承圆盘的传递矩阵如图 所示，弹性支承圆盘左右截面的剪力和弯矩分别用、表示，支承刚度系数用 表示。设转子自由涡动频率为，由转子动力学相关知识可得，圆盘的位移 ，从而 ，圆盘的惯性力和惯性力矩分别为 及（）。由达朗贝尔原理即可得到。图 弹性支承圆盘简图写成矩阵形式，可得圆盘的传递矩阵为：|()|（）式中，为圆盘集中质量；为直径转动惯量；为极转动惯量，。刚性支承圆盘的传递矩阵如果求弹性支承的转子的任一截面的状态向量与起始截面的状态向量间的关系，就可以用连乘公式连续传递进行求解，前提条件是要考虑支承弹性的影响。如果是刚性支承
6、圆盘的多跨转子，如图 所示，那么临界转速的求解与弹性支承不同，因为中间刚性支承的反力为未知数。图 刚性支承圆盘简图刚性支承圆盘左端起始截面处的边界条件为 ，。所以，起始截面状态向量为，这里的 就是该处支座的反力，并且是未知数。由|（）可得：（）即：|，回代可以得到：|（）所以，圆盘右端截面的状态向量是：|()|()|（）上式说明当经过中间刚性支承时，初参数不再是，而要变化成，。弹性轴段的传递矩阵如图 所示，对它编号为，左右两端编号为 与。同时考虑剪切变形的影响。那么右端相对于左端的位移由右端剪力和弯矩引起的位移、左端转角引起的位移组成。结合材料力学梁的位移和弯曲变形关系对图 进行力学分析，可得
7、轴段的传递矩阵为：汽 轮 机 技 术第 卷图 弹性轴段简图|()|（）其中 （），是截面积，对于实心圆轴 ，为剪切弹性模量。如不计剪切变形的影响，则令。盘轴单元的传递矩阵 带弹性支承盘轴单元的传递矩阵将第 个圆盘与其右边的轴段组成一个盘轴单元。如图 所示，用第（）单元右端的状态变量表示第 单元右端的状态变量。图 弹性支承盘轴单元把式（）带入式（），即可得到盘轴单元的传递矩阵：|()()()()()()()()()|（）可以看出，式（）就是第 个单元的传递矩阵，则从始端传递到末端的传递矩阵为：（）（）（）（）对于两端自由的传动轴，其始端边界条件为，末端边界条件为 ，把边界条件带入，得到|，当系数
8、行列式等于 时，该齐次代数方程组存在非零解。由此得到转子的频率方程为（），按照，这样的步长为试算频率。通过传递矩阵传导，就可求得各试算频率的剩余量。如果相邻两试算频率为异号，则说明在这两试算频率之间，必有一个频率能使 ()，这个频率值就能满足所有的边界条件。用二分法在发生变号的频率范围内再仔细搜索，就可以求出这一临界转速，求解此方程即可求得传动轴各阶临界转速。具体的数值计算可以通过 软件来完成。带刚性支承盘轴单元的传递阵将带有刚性支承的圆盘与其右端的轴段组成第 个单元。用第（）个单元的状态变量来表示第 个单元的状态变量。把式（）带入式（），即可得到盘轴单元的传递矩阵：|()()()()|（）经
9、过这一跨后，就可继续向下传递，当又传递到另一刚性支座处时，可用同样的方法处理。因此对于一个多跨的刚性支承转子，每跨各自以不同的初参数列阵来进行传递，在这些初参数列阵中，有一个元素当传递到轴系末端截面 处时，如该处仍有刚性支座，则边界条件是 ，。由此可得频率方程，和弹性支承时的情况一样，通过对频率的搜索，找出能满足这一边界条件的各个频率值，就是转子的各阶临界角速度。临界转速计算结果与分析利用传递矩阵法对不同支承类型的支承刚度和支承位置变化时，转子临界转速的影响效果和影响程度进行计算。以泵转子为例，假设支承为各向同性，且不考虑阻尼效应。转子系统分为 个节点和 个节段。采用集中质量法，将每个轴的质量
10、替换为集中质量，并分布到轴的两端，共计 个第 期潘宏刚等：基于传递矩阵算法的支承变化对临界转速影响的灵敏度分析集中质量点。质量点由无质量弹性轴连接，共 个截面。该模型如图 所示。图 转子系统集中质量模型图转子轴是 号钢材质，密度为 ，弹性模量为，泊松比为，转子直径为，轮盘厚度为，轮盘直径，支承刚度为 。以支承刚度 为基础刚度，选取 的支承刚度，在 程序中改变数据，模拟支承刚度增长的趋势。为了更好地分析支承变化对转子系统临界速度的影响，增加了刚性支撑进行对比分析。用以上数据求得圆盘质量和转子转动惯量后，结合转子系统的传递矩阵法，利用 编写程序，分别计算两种支承的支承刚度和位置发生变化时的临界转速
11、，结果见表。将计算结果绘图，如图 所示。表 不同支承的刚度变化时的一四阶临界转速计算数据单位：支承刚度 弹性支承一阶二阶三阶四阶刚性支承一阶二阶三阶四阶 图 两种支承对应的临界转速 可以看出，随着支承刚度的增加，弹性支承和刚性支承的转子系统的一四阶临界转速均增大，且每一阶刚性支承转子系统的临界转速都大于弹性支承。其一阶和二阶临界转速对刚度增加时的变化范围较小，两种支承近乎相同。三阶和四阶临界转速对刚度增加的变化范围较大，明显大于一阶和二阶临界转速。支承变化对转子临界转速的灵敏度分析 支承刚度变化对转子临界转速的灵敏度分析以支承刚度为横坐标，不同支承类型在转子的不同支承位置对应的临界转速为纵坐标
12、，建立支承刚度增加时，两种支承类型在不同偏置量对应的临界转速曲线如图 所示。可以看出，随着支承刚度的增加，两种支承所有位置的临界转速都增大，但速度放缓，说明在支承刚度足够大时，临界转速趋于稳定。在支承刚度增加中，支承类型和支承位置对临界转速的影响较小。对于弹性支承系统，偏置量大于图 支承在不同偏置量下支承刚度对应的临界转速时，转子临界转速变化较小。在同一支承刚度下，偏置量大于 时，临界转速显著增加，大于 时，临界转速又降低。对刚性支承系统而言，偏置量小于 时，转子的临界转速变化明显，偏置量大于 时，转子临界转速减小速度放缓。引入灵敏度的概念 ，即应变量的相对变化与自变量的相对变化之比。当两种支
13、承类型在不同偏置量时，临界转速对支承刚度增加比例的灵敏度系数曲线如图 所示。在刚性支承系统中，其中心位置和偏置量为 时，临界转速对支承刚度增加比例的灵敏系数减小。在其它位置，灵敏度系数都先增大后减小。对于弹性支承系统，在任何位置，其灵敏度系数先增大后减小。支承刚度增加比例大于时，灵敏度系数开始减小，且变化明显；支承刚度增加汽 轮 机 技 术第 卷图 支承的临界转速对支承刚度增加量的灵敏度比例小于 时，灵敏度系数变化较小。在同一支承刚度增加比例下，刚性支承位置偏置量小于时，临界转速对支承刚度增加比例的灵敏度系数都大于弹性支承，只有在偏置量为 时，位于支承刚度增长率区间的灵敏度系数小于弹性支承。弹
14、性支承的整体灵敏度系数变化范围较小，在 以下，而刚性支承的整体灵敏度系数变化范围大，在 之间。支承位置变化对临界转速的灵敏度分析以支承位置偏置量为横坐标，两种支承的不同支持刚度对应的临界转速为纵坐标，得到不同支承刚度的支承位置偏置量对应的临界转速曲线如图 所示。在支承位置变化过程中，刚性支承系统的转子临界转速一直呈下降趋势，变化范围大，当偏置量大于 时，临界转速下降趋势放缓，支承刚度为 时，临界转速随支承位置偏置量变化的趋势最明显。对于弹性支承，临界转速整体呈先增大后减小趋势，偏置量大于 时，临界转速减小。同样，在支承刚度为 时，临界转速随支承位置偏置量变化的趋势最明显。由此可以得到，在支承位
15、置变化中，支承刚度对临界转速的影响更大。图 不同支承刚度下支承位置对应的临界转速这里同样引入灵敏度的概念。两种支承的不同支承刚度的临界转速对支承位置偏置量的灵敏度如图 所示。可以看出，随着支承位置的变化，弹性支承位置偏置量小于 时，临界转速对支承位置偏置量的灵敏度系数显著图 支承的临界转速对支承位置偏置量的灵敏度下降，偏置量大于 时，灵敏度系数下降趋势放缓。偏置量大于 后，灵敏度系数处于 以下，并且 个支承刚度的灵敏度系数变化趋势近乎相同。刚性支承的临界转速对支承位置偏置量的灵敏度系数都小于零，偏置量小于 时，灵敏度系数呈上升趋势，偏置量大于 后，呈下降趋势。在同一偏置量下，偏置量小于 时，弹
16、性支承系统对支承位置偏置量的灵敏度系数大于刚性支承的灵敏度系数。结 论建立多盘转子系统模型，利用传递矩阵法，研究了支承位置以及支承刚度变化时，对转子临界转速的影响。同时引入了灵敏度概念，分析了转子的临界转速对支承变化时的灵敏度情况，得到以下结论：（）转子的临界转速随着支承刚度的增加而增大；随着支承位置偏置量的增加，刚性支承的临界转速减小，弹性支承的临界转速先增大后减小。（）临界转速对弹性支承刚度增加比例的灵敏度系数先增大后减小，对刚性支承刚度增加比例的灵敏度系数，在中心位置和偏置量为 时减小，其余位置先增大后减小。（）临界转速对刚性支承位置偏置量的灵敏度系数是先增大，偏置 后减小，对弹性支承位置偏置量的灵敏度系数一直减小。参 考 文 献 ，（）：，（）：钟一谔转子动力学北京：清华大学出版社，杨伯源材料力学北京：中国科学技术大学出版社，冀成，杨兆建，宋高峰，庞新宇多轮盘转子系统临界转速的计算方法分析机械设计与制造，（）：李建成基于传递矩阵法的 汽轮发电机转子系统临界转速计算电机与控制应用，（）：，（下转第 页）第 期杨海生等：汽轮机调节级变工况计算中喷嘴流量的计算方法探讨图 速度系数 时
