1、第 卷 第 期 年 月测绘与空间地理信息 ，收稿日期：作者简介：蒋 锋（），男，浙江嵊州人，工程师，学士，主要从事工程测量方面的工作。基于高程异常拟合的多项式模型参数方案探讨蒋 锋，张 东（诚邦测绘信息科技（浙江）有限公司，浙江 宁波）摘要：针对多项式模型在大地高向正常高的转换中精度偏低的问题，本文首先讨论一次、二次、三次多项式模型的高程拟合精度，以确定最优拟合参数，进一步结合最小二乘配置法及 重力场模型对多项式模型进行精度优化。通过实例分析，多项式模型 时精度最高为 ，结合最小二乘配置法的拟合中误差为，再结合移去恢复法为 。二次多项式模型拟合精度最高，最小二乘配置法及重力场模型可进一步将拟合
2、精度提高至四等水准的精度要求。关键词：多项式模型；高程异常；最小二乘配置；重力场模型中图分类号：文献标识码：文章编号：（），（），）：，：；引 言 定位技术凭借其测量快速的特性，逐渐取代传统光学水准测量成为建立高程控制网的常用手段。由于 测量使用大地高，而高程系统采用正常高，因此需要进行二者之间的转换，即计算高程异常值。多项式模型是高程异常的常用数学模型，其原理简单、计算快捷，在似大地水准面构建中发挥着重要作用。通常来说，多项式模型需要根据不同情形确定拟合参数的个数，进而确定多项式的具体模型。为进一步提高该模型的精度，可以使用最小二乘配置法剔除部分误差，并结合 重力场模型的移去恢复法计算重力项
3、高程异常值，从而降低需要拟合部分的高程异常值，由原本拟合所有高程异常值转为仅拟合剩余高程异常值，从而提高拟合精度。本文由多项式模型入手，首先分别讨论该模型在一次、二次、三次共 种次数 种情况的精度，选择最优拟合模型；然后结合最小二乘配置法与地球重力场模型进行进一步精度优化，使其达到四等水准的精度要求。多项式拟合模型及其优化模型 多项式模型多项式模型的数学原理，是根据已知控制点的高程值，构造一个近似的曲面替代该区域的似大地水准面，其数学模型为：（，）（，），（）式中，（，）为高程异常值；为随机误差；（，）为拟合多项式，具体为：（，）（）式中，为待定系数；、为拟合点的经纬度。当 取 时，即为一次平
4、面拟合模型；取 时，为二次拟合模型；取 时，为二次曲面拟合模型；取 时，为三次拟合模型；取 时，为三次曲面拟合模型，以此类推。由于在一定区域内，似大地水准面不会有较大的波动，因此，多项式次数过高会引起拟合曲面的异常振动，所以通常取 次以内的拟合模型使用。计算未知参数时应建立超定方程组，使用最小二乘法求其最小二乘解：（），（）式中：为与待定系数相乘的、组成的系数矩阵；为已知的高程异常值，由式（）求解矩阵，直接与 相乘即可计算各控制点的高程异常值。最小二乘配置法最小二乘配置法的数学模型为：，（）式中，为已知高程异常值；为已知系数矩阵，与式（）中 相 同；为 非 随 机 变 量；，为单位阵；为高程异
5、常值与趋势面的差；为观测信号；为 的噪声，误差方程为：，（）式中，为改正数；为 的估计值；为 的估计值，按照最小二乘准则化简后，得 和 的计算式为：（），（）（），（）式中，为 的自协方差阵；为 的估计值；为 和 的协方差阵，待测点高程异常平均值为：，（）式中，为待测点高程异常的估计值。地球重力场模型 重力场模型是美国国家地理空间情报局重力场研发小组公布的地球重力场模型，其主要数据来源为卫星重力、地面重力和卫星测高，计算公式为：|（?）?（）（）式中，为高程异常中长波项；为地心引力常数；为向径；为纬度；为经度；为重力异常；为参 考椭球的长半径；为最高展开阶数；?、?为完全格式化扰动位的系数；?
6、为完全规格化的缔合勒让德函数。结合该模型使用移去恢复法时，首先计算控制点的重力项高程异常值，用已知高程异常值减重力项高程异常值，得剩余项高程异常值，拟合剩余项高程异常值，在需要拟合的点位上将其重力项高程异常值与剩余项高程异常值结合，即可得该点高程异常值。测区概况本文使用了文献 章节中表 的实例数据，其水准点完全分布图可见该文献的图，该数据选自香港 特 别 行 政 区，地 形 以 丘 陵 为 主，陆 地 总 面 积 。香港的高程基准采用地方高程基准，其中大屿山及其岛屿的高程起点在陆地，通过跨海水准及精密三角高程测量获得，水准点基准为 坐标系，参考框架为，历元。数据原始来源为香港政府地政总署测绘处
7、网站，本次实例所用点位的分布如图 所示，其已知点值统计情况见表。图 已知点分布图 表 已知数据范围统计表 （）（）（）最小值最大值平均值 多项式拟合分析多项式拟合共有 种方案，即式（）中，取、，将每种方案分别进行高程异常拟合，得拟合系数见表。表 拟合系数表 取值 第 期蒋 锋等：基于高程异常拟合的多项式模型参数方案探讨 种方案的拟合残差对比如图 所示。图 拟合残差对比图 由图 曲线可知，系数个数 取、时精度非常接近，残差在坐标横轴附近上下振荡；而 取 时，拟合残差上升到分米级；取 时，拟合残差上升到 左右，种情形均不存在负值残差，且数值偏离横轴较远；由于 取 和 均为三次多项式，因此，可以认为
8、该实例中，一次和二次多项式拟合精度较高，三次多项式拟合精度低。根据实例数据分析上述原因，由于香港多为平原丘陵，因此地形起伏不大，似大地水准面较为平缓，三次多项式的拟合曲面振荡过于强烈，不适合拟合该区域。为具体分析 取、时的拟合精度，使用拟合中误差进行精度评定，并统计残差最值。拟合中误差公式为：（）式中，为拟合中误差；为拟合残差；为拟合点的个数。拟合中误差对比见表。表 拟合中误差对比表（单位：）（：）取值残差最小值残差最大值拟合中误差 由表 可知，系数个数 取、时精度均为 左右，残差在正负范围内均匀波动，属于正常的拟合残差，其中以系数个数 取 时精度最高；其他 种情况残差均为正，与实际数据偏离较
9、远。优化模型精度分析由于 取 时，多项式模型精度最高，因此，将该模型结合最小二乘配置法进行精度提高；将结果再配合 重力场模型进行移去恢复，其拟合中误差对比见表。表 优化模型中误差对比表（单位：）（：）残差最小值残差最大值拟合中误差 多项式模型 最小二乘配置法 移去恢复 由表 可知，种优化方法均能极大降低拟合残差，其中最小二乘配置法的拟合中误差为 ，再结合移去恢复法为 ，即最终优化精度为 。基于多项式模型的最小二乘配置法结合移去恢复技术能迅速确定高程异常值，并达到四等水准精度，可以在工程测量中广泛应用。结束语本文结合香港地区水准数据，分析了多项式模型在该区域中的拟合精度。由于香港地区地形起伏不大
10、，面积较小，发现四项多项式模型拟合精度最高，说明其拟合曲面最符合该区域的似大地水准面。通过配合最小二乘配置法及 重力场模型的进一步优化，实例高程异常拟合达到了 以下，符合四等水准测量的要求，最优模型拟合中误差为 即 。为继续提高高程异常拟合精度，可进一步结合半参数模型进行参数优化，以实现更好的似大地水准面构建效果。参考文献：周伟插值和拟合方法在高程异常模型建立中的应用地理空间信息，（）：，张建奇基于 神经网络的 高程拟合方法北京测绘，（）：刘振，吴长悦稳健回归分析在 高程拟合中的应用矿山测量，（）：董洲洋，徐卫明，庄昊，孟浩基于深度学习的 水准拟合方法测绘科学，（）：王建军，章重阳基于粒子群算
11、法优化 的 高程拟合方法北京测绘，（）：章传银，马旭，章磊，等基于 水准和重力场误差特性的大地水准面精度评估方法测绘学报，（）：冯江海，吴延平，陈连，等跨投影带区域高程拟合方法分析测绘地理信息：，（）：周贻港，孙罗庆，李中洲球面小波模型在 高程拟合中的应用测绘通报，（）：王科 重力场模型在 高程拟合中的精度分析测绘，（）：董洲洋，徐卫明，庄昊，等基于 模型的山地地区水准拟合研究地理空间信息，（）：陈鑑华，张兴福，陈秋杰，等：重力场模型评估及重力量计算软件大地测量与地球动力学，（）：孙漳林基于区域似大地水准面格网模型的高程异常插值系统开发研究长春：长春工程学院，编辑：姚正明 测绘与空间地理信息 年
