1、第 28 卷 第 1 期2023 年 2 月工业工程与管理Industrial Engineering and ManagementVol.28 No.1Feb.2023基于随机效应的可靠性试验设计分析方俊涛1，2，宋丽莎1，何桢1*，何曙光1（1.天津大学 管理与经济学部，天津 300072；2.天津中医药大学 管理学院，天津 301617）摘要:试验设计是改进产品质量的有效技术，通常假定试验输出服从正态分布且相互独立，通过拟合质量特性（试验输出）与影响因素（参数）的关系，优化产品或工艺参数，实现质量提升。然而，寿命数据通常是偏态的、截尾的，每个试验单元包含多个样本，因此基于分位值的研究更具
2、实际意义和价值。多样本的试验单元给试验设计带来了组内差异，即参数估计中的随机效应。首先，基于此建立了随机效应可靠性模型，给出了基于随机效应的极大似然估计方法。然后，采用Gauss-Hermite积分求得了具有解析形式的似然函数。最后，以恒温器寿命试验为例，分析了影响寿命的显著因子，得到了具有稳健且高可靠性分位值的试验因子组合，可以有效降低恒温器早期失效，提升产品的可靠性。关键词:可靠性试验设计；随机效应；寿命回归；显著因子中图分类号:C 931 文献标识码:AAnalysis of Reliability Experiments with Random EffectFANG Juntao1，2
3、，SONG Lisha1，HE Zhen1*，HE Shuguang1（1.College of Management and Economics，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2.School of Management，Tianjin University of Traditional Chinese Medicine，Tianjin 301617，China）Abstract:Design of experiments is an effective technology for quality improvement.The outpu
4、t response is assumed to be normally distributed with constant variance and observations are supposed to be uncorrelated between runs.Quality improvement is achieved through fitting functions of quality characteristics（output responses）and input variables（parameters）.However，the distribution of life
5、time data is commonly skewed and censored，and each test stand contains multiple items，so the focus is often on percentile lifetime which is more practical and valuable.These cause the differences between the items in a test stand，namely the random effect associated with the items of an experimental
6、unit.First，the method of maximum likelihood was used to estimate the parameters of the reliability model with random effects.Then，the likelihood function with approximately analytical form was obtained by Gauss-Hermite quadrature.Finally，an industrial thermostat experiment was presented as an illust
7、rative example.The significant factors affecting the thermostat lifetime and their settings with robust and high-reliability quantile were identified.Under the predictive model，the industrial thermostats early failures could be reduced.Key words:reliability experiment;random effect;lifetime regressi
8、on;significant factor文章编号：1007-5429（2023）01-0026-08DOI：10.19495/ki.1007-5429.2023.01.004收稿日期：2020-09-20基金项目：国家重点研发计划（2016QY02D0301）;国家自然科学基金项目（71902139）;教育部人文社会科学研究青年基金项目（18YJC630029）作者简介：方俊涛（1980），天津蓟县人，博士后，主要研究方向为质量管理。E-mail：。*通信作者：何桢，教授，博士，主要研究方向为质量管理和运营管理。E-mail：。-26第 1期工 业 工 程 与 管 理1 引言 随着市场竞争的
9、加剧和消费需求的提高，生产者需要找到经济有效的方法改善产品的可靠性。生产条件是影响产品质量与可靠性的重要因素，可靠性试验设计能够获得不同生产条件下产品寿命的信息。通过试验设计筛选影响产品寿命的显著因子，优化显著因子不同水平组合，寻找具有高可靠性和稳健性的因子设置。可靠性试验设计1的分析与优化不仅能够使生产者了解产品的寿命分布，还能够找到影响产品可靠性的主要因子信息，提高产品的可靠性。寿命数据通常是右偏且非正态的，同时数据收集时间长、费用高，若超过试验设定时间，观测值采用截尾数据。试验设计与分析一般假设响应输出服从正态分布且相互独立，试验运行完全随机2。基于试验设计的产品质量改进，更多地关注平均
10、质量水平，而可靠性试验设计关注的是寿命的分位数3。特别是在产品早期失效、质保政策制定以及成本分析中，低分位数提供了重要的参考信息。因此，传统的基于正态分布和最小二乘回归的试验设计方法无法直接分析可靠性（寿命）数据4。极大似然方法能够很好地解决数据截尾和偏态问题，并广泛应用于寿命数据的参数估计。基于极大似然的寿命数据分析，通常假设每个试验样本是完全随机的，所得到寿命数据相互独立。WU和HAMADA 等5采用威布尔和对数正态两种偏态分布拟合可靠性或寿命数据，并在数据分析中假设试验设计是完全随机的。基于完全随机试验设计的可靠性分析研究3，6-8已非常广泛。这些研究大部分利用威布尔或对数正态回归模型拟
11、合寿命试验设计数据，通过极大似然估计方法处理数据的失效和截尾问题。对于高可靠性产品，可能在试验运行结束时，某一试验运行次序下的测试样本并没有发生失效，极大似然方法无法估计模型参数，这时贝叶斯后验寿命估计方法9-12得到了广泛的应用。上述方法从不同角度分析了寿命或可靠性数据，但都没有考虑试验单元中多样本对试验设计分析的影响。可靠性试验设计中多个样本在相同试验条件下运行，每个样本并非完全随机，这就导致相同试验条件下样本间存在随机效应。基于随机效应的可靠性试验设计分析首先由 FREEMAN 和 VINING 13 提出，利用两阶段法构建了双误差项的可靠性数据回归模型。KENSLER 等14应用非线性
12、混合模型处理随机区组可靠性试验数据，得到了分布参数的极大似然估计，检验了分布参数及其参数函数的估计精度。MEDLIN等15研究了可靠性裂区试验设计模型估计方法，并通过第一类错误率指标评价模型的估计性能。王国东等16修正了非完全随机可靠性试验数据分布参数的假设，提出改进的Bootstrap 抽样算法，得到了可靠性回归模型中尺度参数的精确估计结果。上述研究大部分是在非完全随机试验设计下，估计可靠性（寿命）回归模型参数，或完全随机试验下的可靠性改进，较少考虑非完全随机试验下的可靠性改进和产品寿命提升问题。通过试验设计改进产品可靠性包括两个方面：一方面是可靠性水平的提高（如提高平均失效时间或改善低分位
13、寿命值），另一方面是稳健可靠性的改善（如降低受噪声因子或未知因子波动的影响）。WU 和 HAMADA5以多层电路板钻头为例，设计了由11个可控因子和5个噪声因子组成的16次乘积表，利用威布尔回归模型分析了钻头寿命数据，找到了具有较高平均寿命和对噪声稳健的可靠性因子组合。WANG等3利用Bootstrap抽样结合加权最小二乘估计可靠性数据分布参数，得到可靠性分位函数，筛选出影响寿命水平的显著因子，改善了产品可靠性。LV等17研究了产品质量特性与可靠性的双响应参数优化，通过案例分别建立了质量特性模型与可靠性模型，利用渴求函数与帕累托优化准则确定最优试验参数组合。FANG等18以刀具寿命数据为例，建
14、立了可靠性估计模型，利用响应曲面方法优化回归参数，提高了刀具可靠性。基于上述文献，本文建立了基于随机效应的可靠性回归模型，试验因子通过寿命分布参数代入回归模型，给出了具有随机效应的寿命数据联合似然函数，并采用Gauss-Hermite（G-H）积分整合随机效应，建立联合似然函数的闭合表达式。其次，基于极大似然方法，采用拟牛顿优化法估计可靠性回归模型参数，更新信息矩阵，确定影响可靠性的显著因子。最后，以恒温器试验为例，利用估计的回归-27第 28 卷 方俊涛，等：基于随机效应的可靠性试验设计分析参数计算不同试验因子组合下恒温器的寿命分布函数，预测不同分位值，寻找具有较高可靠性的参数组合。2 模型
15、与假设 假定寿命数据服从威布尔分布，随机效应来自可靠性试验设计（即相同试验条件下多个测试样本的随机波动），且服从正态分布，并通过威布尔分布参数代入到寿命分布函数中。2.1基于随机效应的非线性混合模型可靠性试验设计具有 m 个试验组，每个试验组包括n个试验样本（也称为子样本）。假设第i个试验组的第k个试验样本寿命为tik，tik服从尺度参数 为i、形 状 参 数 为的 威 布 尔 分 布，记 为tikWei(i，)。每个试验组内的随机效应i(i=1，2，m)服从均值为 0、方差为的正态分布N(0，2)，则带有随机效应的非线性混合模型为：f(tik|，i，i)=i()tiki-1e-()tikil
16、og(i)=i=xTi+i=0+1xi1+2xi2+pxip+iF(tik|，i，i)=1-exp-()tiki（1）其中，为未知参数，xi为p1维因子水平向量，为 因 子 水 平 的 固 定 效 应 系 数 向 量，i(i=1，2，m)相互独立，记其密度函数为f1(i)。给定随机效应，第i个试验组右截尾数据的条件似然函数为：Li(，|i)=k=1ni f(tk|i)k1-F(tk|i)1-k（2）其中，ni为第 i组试验的样本个数，k为示性函数。当观测值是失效数据时为0，截尾数据时为1。为了简化似然函数的表达式，令：g(tk|i)=f(tk|i)k1-F(tk|i)1-k代入公式（2）得：Li(，|i)=k=1nig(tk|i)对于第i个试验组右截尾数据的非条件似然函数为：Li(，)=-()k=1nig（tk|i）f1（i）di则带有随机效应的右截尾数据联合似然函数形式为：L(，)=i=1mLi(，)=i=1m-k=1nig（tk|i）f1(i)di（3）2.2基于Gauss-Hermite积分的联合似然函数对式（3）而言，最大化联合似然函数需要求随机效应的积分。常用的求积分的方法有
