1、第 卷第期空军工程大学学报 年月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（）；国防科技大学科研计划（）作者简介：刘潇文（），男，陕西乾县人，讲师，研究方向为雷达信号处理。：引用格式：刘潇文，原方，楚国锋，等基于量子算法的逆合成孔径雷达稀疏成像方法空军工程大学学报，（）：，（）：基于量子算法的逆合成孔径雷达稀疏成像方法刘潇文，原方，楚国锋，李凯，东晨（国防科技大学试验训练基地，西安，；国防科技大学信息通信学院，武汉，）摘要经典稀疏重构算法的计算复杂度较高，易导致雷达系统面对较大规模雷达回波数据时实时成像处理能力不足。针对这一问题，将量子算法应用于逆合成孔径雷达成像的稀疏信号处理中，为雷达稀疏成像带
2、来量子计算短时间内处理大规模数据的优势。首先，根据逆合成孔径雷达稀疏成像的经典算法，分析匹配滤波、稀疏重构等经典算法的量子化方法，建立经典算法与量子算法之间的映射关系；其次，在确定相应量子算法及步骤关系的基础上，构建能够实现稀疏成像经典算法功能的量子线路，提出基于量子算法的逆合成孔径雷达稀疏成像方法；最后，根据构建的量子线路，结合雷达回波信号，制备相应的量子态，输入到量子线路中获得成像结果。仿真实验表明：相较于经典稀疏成像算法，基于量子算法的稀疏成像方法能够在保证成像质量的同时，大幅降低雷达成像处理数据的计算复杂度。关键词逆合成孔径雷达；量子算法；雷达成像；稀疏重构；压缩感知 中图分类号 文献
3、标志码文章编号 （），（，；，），（），；逆 合成孔径 雷达（，）成像技术能够全天时、全天候主动获得目标区域或运动目标的高分辨图像，不受光照、云层等环境因素影响，已经在空天攻防对抗、感兴趣目标识别、战略预警等军事和民用领域得到了广泛应用，。当雷达系统受到噪声干扰、雷达资源限制、目标强机动、扫描观测模式等因素影响，导致雷达回波信号不完整、可用性下降时，通常可以采用能够高概率从降采样数据中恢复出稀疏信号的压缩感知（，）理论来实现 成像的高分辨图像稀疏重构。但是雷达稀疏成像方法通常需要在二维回波信号向量化基础上，由一维回波信号构造一维稀疏重构模型，求解该稀疏重构模型以获得高分辨重构结果则需要较高的计
4、算复杂度，主要适用于小场景、短相干处理时间下的高分辨成像。近年来，国内外研究团队围绕雷达稀疏成像的重构图像质量提升、计算复杂度降低等方面开展了深入研究。文献 分别提出了基于分块压缩感知和克罗内克压缩感知的稀疏 成像方法，降低了数据处理过程中的计算复杂度和存储成本。另外，文献 提出了一种快速稀疏 成像方法，通过增强稀疏性约束缩小可行域，同样降低了计算成本。文献 提出了基于交替方向乘子法（，）的稀疏重构方法，而文献 提出了基于平滑 范数的稀疏重构方法。虽然这些方法在提升成像质量、降低计算复杂度等方面实现了很大的突破，但是在保证图像重构质量的条件下仍然存在对雷达稀疏回波信号实时处理能力不强的问题。近
5、年来，作为新兴领域的量子计算借助量子干涉、量子纠缠等特性，能够实现大规模数据处理的指数级加速，已成为当前的研究热点。量子算法则是在量子计算机上运行的算法，可以由量子逻辑门组合实现，目前主要围绕大数质因数分解、组合优化、最小二乘拟合、特征值与特征向量计算、主成分分析、支持向量机、线性方程组求解、机器学习等经典算法的量子增强实现开展了研究 ，实现了不同量级的量子加速，表现出显而易见的计算优势。因此，为了进一步提高对逆合成孔径雷达稀疏回波信号实时处理的能力，本文尝试将量子算法应用于 稀疏成像中，通过发挥量子算法对数据的高效并行处理能力，降低 图像稀疏重构的计算复杂度。稀疏孔径 成像距离压缩假设全孔径
6、雷达回波可以表示为（，），其中，和 分别为快时间、慢时间采样序列和雷达脉冲数。当雷达采用稀疏孔径结构或者雷达回波数据不完整时，导致雷达只能收到 （）个脉冲，此时去载波后的雷达回波信号（，），可以表示为：（，）（）（）（）（）式中：参数、（）、和分别是第个散射点的散射系数、时刻第个散射点与雷达之间的距离、电磁波传播速度、雷达脉冲持续时间、雷达发射信号载频和雷达信号调频率。实现距离向高分辨的距离压缩是通过在频域上对回波信号进行匹配滤波处理来现实的，其中匹配滤波函数（）是发射信号（）（）（）傅里叶变换的共轭：（）（）（）（）（）（）式中：代表傅里叶变换算符。对雷达回波信号沿距离向做傅里叶变换，并与匹
7、配滤波函数（）相乘，再对得到的频率慢时间信号沿距离向做逆傅里叶变换，完成距离压缩过程，得到目标的一维距离像为：?（，）（，）（）?（）（）（）第期刘潇文，等：基于量子算法的逆合成孔径雷达稀疏成像方法式中：代表逆傅里叶变换算符。由式（）可以看出，通过雷达回波、雷达发射信号与傅里叶变换算符、逆傅里叶变换算符之间进行次乘法运算，能够实现雷达回波信号的距离压缩。观测模型通常，对于传统全孔径 成像，在假设运动补偿已经完成的条件下，若沿（?，）信号方位向做傅里叶变换，将慢时间变量转换到频域，便能获得目标高分辨 图像。因此，若令向量为待求的目标散射系数向量，（?，）为全孔径条件下距离压缩和运动补偿后的雷达回
8、波信号，则：（）由于向量中非零元素较少，可以称信号在稀疏域是稀疏的，因此信号具有稀疏性。令信号（?，）为稀疏孔径条件下距离压缩和运动补偿后的雷达回波信号，则存在观测矩阵能够实现信号到信号的映射，即。将式（）带入可得：（）根据 理论和约束等距性条件（，），由于设计的观测矩阵，即全孔径数据映射为稀疏孔径数据的降维观测矩阵，通常与稀疏基是非相关的，因此感知矩阵以高概率满足 性质，可以利用稀疏重构算法求解式（）所示的观测模型，实现对目标散射系数向量的精确重构。（）式中：为向量的（）范数，为正则化系数。因此，在获得满足 性质的感知矩阵基础上，利用 算法、正交匹配追踪（，）算法等稀疏重构算法能够实现对 图
9、像的精确重构。稀疏孔径 成像的量子算法距离压缩的量子算法在实现距离向高分辨的距离压缩过程中，若采用雷达回波的频域信号参与运算，则需要结合雷达发射信号时域复共轭、傅里叶变换算符以及逆傅里叶变换算符进行次矩阵乘法。目前，主要有种能够实现矩阵乘法的量子算法：基于 的量子矩阵乘法；基于奇异值估计（，）的量子矩阵乘法；基于 （）算法的量子矩阵乘法 。对于矩阵和矩阵，当采用量子算法实现矩阵乘法时，计算复杂度不仅与矩阵规模有关，而且与矩阵的条件数、计算精度有 关，算 法 的 计 算 复 杂 度 分 别 是（）、（）和（）。通常，认为条件数、计 算 精 度 倒数 具有的复杂度规模为 （），因此相较于计算复杂度
10、为（）的经典矩阵乘法运算，种量子矩阵乘法具有更低的计 算 复 杂 度，分 别 为 （）、（）和 （）。首先，简要介绍基于 的量子矩阵乘法。若矩阵满足，其中代表的奇异值，和分别为奇异值的左奇异向量和右奇异向量，的任意列向量 可以分解为，即奇异值右奇异向量组的线性组合，则在利用各行的模构造出酉矩阵的基础上，输入态 在量子门的作用下能够实现如下转换：a（）（）（）式中：（），为矩阵的特征向量，相应的特征值为 （）。矩阵满足以下运算关系：（）（）（）式中：运算符和满足以下转换关系：a（）a，（）在式（）的量子态转换之后，通过量子相位估计运算 获 得的 特 征 值 信 息，并 存 放 在 量 子 寄 存
11、器中：（）（）a （）（）（）由于和之间存在 （）的等式关系，则利用由一系列相位旋转门（门）、控制非门（门）等受控量子逻辑门构成的控制旋转量子线路，能够根据 的量子信息，在新的量子寄存器中存储的信息，实现将式（）获得的量子态转换为：（）（）（）由于与任意列向量 的乘积只与系数集 、奇异值集合以及左奇异向量 集合有关，同时运算符具有如下的等式关系：空军工程大学学报 年 （）（）（）因此，利用量子相位估计的逆运算消除的量子态信息，利用运算符相应的酉矩阵逆运算，能够将含特征向量信息的量子态 转换为包含左奇异向量信息的量子态，从而将式（）的量子态转换为：?（）而矩阵乘积 的量子态形式为?，则需要借助量
12、子辅助比特，利用 门、门、门等量子受控旋转逻辑门，在存储奇异值信息?的量子位上实现受控旋转操作，从而使式（）的量子态转换为：?（）（）式中：为一个任取的较小常数，也可以取为最大奇异值的倒数。若对量子辅助比特测量的结果为 态，则认为量子线路此时的输出为与中列向量的乘积，从而实现基于 的量子矩阵乘法。因此，结合距离压缩经典算法的主要步骤，距离压缩的量子算法可以通过次量子矩阵乘法实现，乘法的输入为雷达发射信号的时域复共轭（）、傅里叶变换算符 、雷达回波的频域信号（，）以及逆傅里叶变换算符 。因此，距离压缩量子算法的量子线路框架图可以表示为图，其中 表示量子矩阵乘法。图距离压缩量子算法的量子线路框架图
13、稀疏重构算法的量子算法经典稀疏孔径 成像方法在完成距离压缩运算后，利用稀疏重构算法求解式（）的观测模型，能够 实 现 回 波 数 据 不 完 整 条 件 下 的 图 像重构。目前，国内外学者围绕稀疏重构算法已经开展了较为深入的研究，基于不同理论与方法实现了多种能够从降采样观测中重构原始信号的重构算法，现有的稀疏重构算法大致可以分为类：贪婪算法、凸优化算法、非凸优化算法、组合优化算法、基于深度学习的重构算法 。但是，传统稀疏重构方法大都面临迭代处理方式带来的较长数据计算时间，另外基于深度学习网络的算法不能独立使用感知网络，所以不是理想的网络架构，计算速度提升也是有限 的。因 此，针 对 经 典
14、的 稀 疏 重 构 算 法，例 如 算法、算法等，根据经典算法具体迭代步骤，通过将经典稀疏重构算法展开为具备相应稀疏重构能力的量子线路，从而获得能够求解高分辨 稀疏成像中病态反问题的量子算法，达到进一步降低稀疏重构算法计算复杂度的目的。例如，针对式（）所示的观测模型，算法的迭代步骤主要包括：（），（）（）（）（）（）式中：为迭代次数；为感知矩阵；为稀疏孔径回波距离压缩后的信号；为正则化系数；为步长参数；为初值为的参数；为软阈值函数；为迭代结果；为前两次迭代结果的线性组合。根据式（）（）的迭代算法可以看出，迭代过程中计算复杂度较高的矩阵乘法运算能够用三次量子矩阵乘法实现。利用式（）计算得到的迭代
15、结果线性组合可以通过含参数的量子态制备方法，由经典数据转换为能够参与量子矩阵乘法的量子态。因此，根据 算法迭代运算的特点以及量子态制备可以用含参量子线路实现的特点，可以构造图中具备相应稀疏重构能力的变分量子线路框架图。图 稀疏重构的变分量子线路框架图图的量子线路由量子计算部分和经典计算部分构成，属于典型的变分量子线路类型，具有 图像稀疏重构能力。其中，量子计算部分由量子态制备、量子矩阵乘法、量子态测量算法模块构成，代表量子态制备，最右边个量子态操模块为量子态测量，整个量子计算部分主要实现每次迭代新产生结果的量子态制备以及、中涉及的次矩阵乘法运算。经典计算部分主要完成式（）（）中涉及的软阈值函数
16、、加法、系数相乘、终止判断等低复杂度运算。经典计算部分通常也被称为经典优化器，根据本次迭代的计算结果，产第期刘潇文，等：基于量子算法的逆合成孔径雷达稀疏成像方法生进行下一次迭代所需要的系统参数，经典优化器根据经典数据推算出的一组参数，能够作用于量子态制备模块，制备出迭代结果在第次迭代中参与量子矩阵乘法所需要的量子态。当 稀疏重构的变分量子线路经过次迭代获得的迭代结果达到稀疏重构算法收敛条件时，则认为由迭代结果通过所提变分量子线路获得的计算结果为 稀疏重构量子算法的最终迭代结果。可以看出，本节提出的稀疏重构量子算法在迭代收敛过程以及每次迭代的运算过程都与经典稀疏重构算法相一致，完成了将经典稀疏重构算法展开为一个量子线路的过程，实现了经典稀疏重构算法的量子化。同样，从经典矩阵乘法与量子矩阵乘法的计算复杂度角度进行比较，对于每次迭代计算过程，提出的 稀疏重构变分量子算法（如图 所示）在计算 复 杂度 方 面 相较于 经典 算法实现了多项式量级加速。值得注意的是，图的距离压缩量子算法线路的输出态为稀疏孔径条件下一维距离像的信号（?，），而在图的 稀疏重构变分量子线路中，除了利用感知矩阵及其共轭
