1、第 1 期2023 年1 月电子学报ACTA ELECTRONICA SINICAVol.51 No.1Jan.2023基于矩阵偏序关系的形态学算子王娜，王俊平，朱俊辉（西安电子科技大学通信工程学院，陕西西安 710071）摘要：已有形态偏序由于忽略了图像像素的局部相关性导致运算结果产生噪声叠加、拓扑失真等问题，本文在矩阵Frobenius范数的基础上定义了一种新的偏序关系，从理论上证明了该序满足的自反性、传递性和反对称性.在此基础上，本文提出了基于新序的形态学膨胀、腐蚀算子和相关的梯度运算算子.为验证新序和算子的有效性，与已有的算法进行对比实验，结果表明，新序和相应的算子在保证颜色分量相关性
2、的同时，利用矩阵运算保证了像素的局部相关性，在抑制噪声和边缘保持方面均优于现有的算法.同时，通过结果对比和理论分析发现，新的形态算子对结构元素尺寸的包容性强，克服了形态算子在应用时难以选择合适结构元素大小的问题.这种新序是多通道图像处理的基础，可以扩宽形态学理论的应用范围.关键词：数学形态学；矩阵的Frobenius范数；偏序关系；像素局部相关性；噪声抑制；拓扑保持基金项目：国家自然科学基金（No.61872433）中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：0372-2112(2023)01-0213-09电子学报URL:http:/ DOI:10.12263/DZXB.20220
3、007Morphological Operators Based on Matrix Partial Ordering RelationWANG Na,WANG Jun-ping,ZHU Jun-hui(School of Telecommunication,Xidian University,Xi an,Shaanxi 710071,China)Abstract:The existing morphological partial orderings neglect the local correlation of image pixels,which leads to problems s
4、uch as noise superposition and topological distortion in the calculation results.This paper defines a new partial ordering relation based on the matrix Frobenius norm,which theoretically proves the reflexivity,transitivity and antisymmetry of the ordering.On this basis,this paper proposes the morpho
5、logical dilation,erosion operators and the related gradient operators based on the new ordering.In order to verify the effectiveness of the new ordering and operators,those new operators are compared with the existing algorithms.The experimental results show that the new ordering and the correspondi
6、ng operators ensure the correlation of the color components while using matrix operation to ensure the local correlation of the pixels.It outperforms the existing algotirhms in terms of noise suppression and edge preservation.At the same time,through comparison of the results and theoretical analysi
7、s,it is found that the new morphological operators have a strong tolerance for the size of structural element,which overcomes the difficulty of selecting suitable size when the morphological operators are applied.This new ordering is the basis of multi-channel image processing and it can broaden the
8、 application range of morphological.Key words:mathematical morphology;Frobenius norm of matrix;partial ordering relation;pixel local correlation;noise suppression;topology maintenanceFoundation Item(s):National Natural Science Foundation of China(No.61872433)1引言数学形态学（Mathematical Morphology，MM）作为一种非
9、线性图像处理方法，在图像滤波1、边缘提取24、图像增强5以及目标识别6等领域均有应用和发展.MM最初用于二值图像和灰度图像的滤波7，随着彩色图像处理需求的增加，很多学者开始尝试将形态学扩展到彩色图像.由于彩色像素是矢量数据，因此标量序在彩色图像下不再适用.为解决MM处理彩色图像困难的问题，学者们提出了多种矢量排序策略.边缘排序（Marginal ordering，M-ordering）在每个颜色分量上对像素进行排序，并将排序后的分量进行重新组合，但这种算法会产生原图中不存在的“假色”8.除此之外，条件收稿日期：2021-12-29；修回日期：2022-05-04；责任编辑：朱梅玉电子学报202
10、3 年序（Conditional Ordering，C-ordering）作为一种可以对底层像素数据进行完全排序的有效算法，逐渐受到重视.该序基于颜色通道的优先级实现像素排序，其排序结果受通道优先级的影响，优先级越高的颜色通道对排序结果的影响越大.而如何确定合适的优先级，是该算法需要改进的地方.为此，Aptoula等人9，10提出通过模糊数学理论使各通道具有同等重要的作用，从而获得更好的效果.与此同时，学者们逐渐意识到颜色分量相关性对处理结果的影响.Comer等人11提出约简序（Reduced Ordering，R-ordering），该序通过使用秩函数将颜色分量投影到标量空间，基于给定的参考
11、像素，利用像素与参考像素之间的一维距离（例如欧几里得距离）作为排序的标准，从而实现像素排序.虽然取得了更好的效果，但该序严重依赖于给定的参考像素，会在不同的参考像素下得到不同的排序结果12.为此，学者们提出将R-ordering和C-ordering结合13，14，从而避免定义参考像素，同时还打破了空间的局限性将形态学运算扩展到任意颜色空间.近年来，随着形态学偏序理论的发展和提升，学者们甚至结合多种模型来定义效果更好的形态学算子.例如，李亚宁等人 15 提出在图空间上定义彩色矢量形态学算子，而Burgeth等人 16 和Welk等人 17 则通过将像素分解为22的对称矩阵来定义新的矢量序算子.
12、同时，Bouchet等人 18 基于像素间的模糊偏好关系实现像素矢量排序，提出处理效果较好的模糊形态学算子.不难发现，已有算法均忽略了图像像素的局部相关性，导致图像经形态运算后容易产生噪声污染和边缘失真.像素局部相关性作为衡量图像质量的重要指标19，20，是影响图像质量的重要因素.而已有算子却忽略了其在形态处理过程中的重要性，导致运算后图像的质量下降.本文提出了一种基于矩阵Frobenius范数的偏序关系并在此基础上定义了新的形态学算子.该算子在保证颜色分量相关性的同时，利用矩阵运算保证了像素的局部相关性.实验结果表明，该算子在抑制噪声和边缘保持方面均优于现有的算法.同时，该算子对结构元素尺寸
13、的包容性强，在获得更好处理效果的同时拓宽了形态算子的应用范围.2矩阵偏序关系和形态学算子的定义矩阵运算作为数值分析领域的重要理论成果，可以描述元素间的关联特性.在R-ordering中，通常利用欧氏距离|X|=r2+g2+b2来衡量颜色分量间的相关性1114.本文将矢量域推广到矩阵域，Frobenius范数则是最简单、高效的选择，可以用来衡量矩阵到原点的距离，同时保证元素间的关联特性2123.2.1基于矩阵范数的矩阵偏序关系由于图像在计算机中以离散矩阵的形式进行存储，因此利用矩阵运算对图像进行处理有极大的运算便利，无需特殊的预处理操作.由于灰度图像的像素值是一个 0，255 之间的实数，因此无
14、需考虑颜色分量相关性24，灰度值作为像素矩阵中的元素即可.而彩色图像的像素值作为矢量数据，不但需要考虑颜色分量相关性，而且需要满足像素局部相关性.因此，像素矩阵中的元素为像素的欧氏距离则更加合理.定义1 设像素矩阵中以像素x的灰度值（或欧氏距离）为中心的 n 维矩阵 Ax是像素 x 对应的像素方阵（若像素方阵Ax超出像素矩阵的边界，则不足部分用0补足）.aij为像素方阵Ax中的元素，则像素方阵Ax的Frobenius范数定义为AxF=AF=i,j=1na2ij（1）其中，n为像素方阵的尺寸，在数值上等于结构元素的尺寸.定义2 设矩阵A和B分别是像素x和y对应的像素方阵，则基于矩阵范数的矩阵偏序
15、关系定义为(A,B)=AB|AFBForAF=BF and aijbij()i,j=1,2,n（2）其中，(A,B)表示矩阵A和B的矩阵偏序关系.根据定义2可知，首先比较像素的局部相关性，然后再比较其分量相关性.当像素方阵的范数不同时，直接得出矩阵偏序关系，进而得到像素间的顺序关系.当像素方阵的范数相同时，则依据像素方阵中元素aij和bij的大小关系以确定像素间的顺序关系.本文规定分量相关性的比较顺序和元素与中心元素的距离保持一致，即从距离近的元素开始比较.当距离相同时，从中心元素正上方开始顺时针依次进行比较.为了更好地说明该矩阵偏序关系，本文给出以像素方阵Ann和Bnn为例的(A,B)算法伪
16、代码（n为奇数且n3），如算法1所示：其中Ann和Bnn分别表示任意像素x和y对应的像素方阵，即A=()a11a1nan1ann B=()b11b1nbn1bnn式（2）给出了矩阵偏序关系的基本定义，但能否作为定义形态算子的偏序还需要满足自反性、反对称性和传递性12，接下来给出矩阵偏序关系下三个性质的关系式和证明.性质1 设矩阵A为像素x对应的像素方阵，自反性是指像素方阵A满足(A,A)=AA（3）214第 1 期王娜:基于矩阵偏序关系的形态学算子证明 A=AAF=AF and aij=aij(i,j=1,2,n)AA(A,A)证毕性质2 设矩阵A和B分别为像素x和y对应的像素方阵，反对称性是指像素方阵A和B满足|()A,B()B,AA=B（4）证明|()A,B()B,A|()A,B=|AFBF orAF=BF and aijbij()i,j=1,2,n()B,A=|BFAF orBF=AF and bijaij()i,j=1,2,n|AF=BF and aijbij()i,j=1,2,nBF=AF and bijaij()i,j=1,2,nAF=BF and aij=bij(i,j=
