1、第 卷第期 年月 中国管理科学 ，文章编号：（）：价格下界随时间递增的占线采购问题郭贤，代文强，蒋思琪（电子科技大学经济与管理学院，四川 成都 ）摘要：本文研究的是价格不确定且其下界随时间递增的原材料采购问题。在实际的原材料采购问题中，原材料的价格随时间的变动往往是不可预测的。之前的学者在研究价格不确定的占线采购问题时，假设价格在一个统一的常数上下界内，这没有考虑到经过时间的变化，价格的上下界可能也是变化的。本文提出并研究价格下界随时间递增的原材料占线采购问题。构建了相应数学模型，给出了相应的竞争采购策略并证明了竞争比，同时通过证明问题的匹配竞争比下界，说明给出的竞争采购策略是最优的，最后利用
2、数值分析进一步说明竞争策略具有较好的竞争性能。关键词：占线；采购；竞争分析；竞争比中图分类号：文献标识码：收稿日期：；修订日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；国家社会科学基金资助项目（，）通讯作者简介：代文强（），男（汉族），四川彭州人，电子科技大学经济与管理学院，教授，博士生导师，研究 方 向：供 应 链 管 理、占 线 决 策 分 析 等，：引言原材料采购是企业经营活动的重要一环，也非常容易受到市场价格剧烈波动等因素的影响，这给采购决策过程带来了很大的风险。决策者经常需要考虑在一定的时间内采用适当的采购策略以降低采购费用，即需要研究在未来价格不确定环境下确定在什么时间、以什么价格
3、以及采购多少的最优采购决策问题。考虑采购价格不确定条件下的原材料采购问题的研究由来已久，但大多数是在价格服从某个随机分布或随机过程的条件下进行分析的，例如，等研究了价格为一个随机变量下的采购问题；等在假设价格服从马尔科夫过程，投标机会为一个随机过程的情况下，研究了采用最优的采购和投标策略来最大限度地提高预期的总折扣利润；和 考虑了当价格遵循几何布朗运动和 的连续随机过程，且需求服从泊松过程的库存模型，利用单元 跟 踪 法 提 供 了 一 个 最 优 库 存 策 略；研究了当购买价格为连续时间内递减的随机变量的库存模型，建立了短期的最优采购策略。然而，在实际中，价格受到多种因素影响而波动剧烈，决
4、策者常不能假设价格的随机分布或随机过程的存在。现有的研究大多是在假设该价格分布不变的条件下给出最优决策方案，如果采购价格分布假设一旦发生变化，这些方法所给出的最优方案就会失去其最优性。从理论上说，这些优化处理方法对变化因素的某个特例都可能给出离实际最优解相距甚远的解。因此，决策者常常需要的是不需要假设任何价格分布条件下的最优决策方法。在理论界，将传统方法对应的问题称为离线（）问题，把决策者只掌握当前信息，在对未来既无确定性信息也无概率信息的条件下必须立即对当前状态做出决策的一类问题称为占线（）情形。占线问题与竞争策略（）主要针对的是问题具有较强的动态特征，它在变化因素的每一个特例中都能给出一个
5、方案，使得这一方案所得到的解离最优方案给出的解总在一定的比例之内，因此能够避免传统的静态优化方法所得到的结论对初始假设依赖强的弊端，。最近，研究者们已开始关注到价格不确定的占线采购问题模型。例如，和 利用竞争策略分析的方法建立了占线库存模型，在不知道价格任何分布的条件下，给出了占线竞争策略，并 证 明 了 策 略 具 有 的 竞 争 比；等 改进了 和 的部分结果；丁黎黎等 研究了风险补偿框架下的该问题；等 分析了类似的问题。这些研究都是假设价格的波动变化虽然没有分布，但存在一个可能的常数上下界，并且该上下界是随着时间的增加保持不变的。本文将提出并研究下界是关于时间的增函数的占线采购问题。这主
6、要是基于如下的考虑，首先，从理论的角度来说，现有的模型假设价格上下界是固定不变的，这种模型设定本质是一个随着时间的增加，信息量不变的遗忘性策略。但是在实际决策过程中，模型的设定应该是一个随着时间的增加信息将会增加的适应性策略。因此，本文研究的问题可以看作是随着时间的增加，获取的信息将会增加，从而缩小价格可能波动极差的一类问题。其次，从实际应用的角度来说，对于某些产品，可能在一段时间内其价格会存在总体呈增长趋势的情形。例如，在农产品采购市场，李国祥 研究了 年农产品价格问题发现，价格总体呈增长趋势，同时其波动幅度较大。此时，这种价格波动剧烈且在一定时期内具有不可预期性，但随着时间的增加，原材料的
7、最低价具有持续上升趋势的采购问题适用于本文研究的问题。此时，本文考虑的采购策略可用于指导该实践。最后，本文的研究同样适用于现实中决策者在未来的某一段时间内，预期价格的变化可能会上升这一类带有预期情形下的最优决策问题。例如，何小明等 分析了原油在一定时期内，价格具有波动性，但这种波动较频繁，且有螺旋式、波浪式上升的特征。本文的研究给出了相应的最优占线采购策略。本文将在已有研究的基础上，首先将问题进行合理建模，并通过分析问题的结构特征，然后给出竞争采购策略，分析相应的竞争比，最后通过给出问题的竞争比下界证明了本文的策略是最优的，即是不可再改进的，数值分析进一步表明了策略具有较好的竞争性能。因此，本
8、文所得到的结论对实际的原材料采购优化决策具有一定的理论和实际指导意义，并丰富了现有的研究。问题建模考虑如下的原材料采购问题。期初库存量为，决策者在未来的天内需要采购某定量的原材料，以正整数表示时间，未来市场价格在最低价（）和最高价之间波动，即（），本文关注（）为时间单调递增函数条件下的原材料占线采购问题。记该价格（未知）输入序列为（，）。进一步地，不失一般性，经过归一化，可假设待采购的总量为。本文问题的目标是在下一次价格出现之前，不假设未来价格的任意分布，以决定是否要购买，购买多少，以使得天的总购买成本最少。本文将用占线问题与竞争策略的方法来进行研究。具体地，依据 该 方 法 的 思 路，需
9、要 设 计 一 个 策 略 ，该策略仅依赖于当前和过去的价格，及当前的库存水平。同时，在输入价格序列为的情况下，记本文设计的策略产生的费用为 （），离线策略的费用为 （），如果存在与输入序列无关的常数、，使 （）（）成立，则称该占线策略 为具有竞争比为的竞争策略。显然，竞争比越小，该竞争策略越好，同时，若，则称该策略为严格竞争的。本文设计的策略为严格竞争的。策略设计与分析 策略设计为表征策略，首先给出如下符号定义。定义对于任意天数，记为第天购买的原材料数量，为第天后还需要购买的原材料数量，为 第天 购 买 完 后 策 略 的 累 计 总 购 买成本。根据定义知序列是非增序列，序列是非减序列，并
10、有，。本文的策略思想类似于文献 给出的价格保留策略。但是，需要指出的是，文献 考虑的问题中假设汇率价格上下界恒定，而本文假设价格上界恒定，但下界是随时间递增的函数，因此本文的研究本质上是文献 的推广。采购策略 （）如下，给定待确定的参数，该采购策略遵循如下两个原则：）只有当价格创新低时才考虑采购。）如果以当前的价格购买，则采购的数量需满足：若以后价格一直保持最高价，此次购买的原材料的量能使竞争比刚好达到。该策略具有非常好的操作性，原则）给出了何时买的决策，而原则）给出了每次购买量的决策。下面聚焦于原则）中的的求解，该值的求解是基于最优竞争比的分析得到的。首先注意到，原则）说明，只有今天的价格为
11、目前最低时才会发生采购，如果今天的价格大于或等于之前的最低价格，则不会发生采购，由于此时的离线最优策略也是不会发生采购，因此，进一步结合原则），可以仅考虑如下条最坏价格序列，每一条为一个递减的序列长度为，随后跟随天 的价 格均 为的价格序 列，即 价 格 序 列为：.。同时，最低价格发生在第天，即前天的价格满足（），这里的为对应在原始序列中的编号，又根据（）为随时间递增的函数，可得到：（）（），则该价格序列可表示为：（）。又根据竞争策略有：第期郭贤等：价格下界随时间递增的占线采购问题，否则不会发生采购。综上可知，仅需考虑如下最坏情形价格序列：（，），：（），有 由于本文的价格下界是随时间递增的
12、，对于输入价格序列的潜在对手有更多的限制，决策者应从中受益，原来价格上下界不变的竞争比无法适应新的问题。本文将证明占线采购问题的上述策略存在最优竞争比。首先给出如下定理。定理 给定对于，在采购策略 （）下，每 天 的 购 买 数 量 满 足：，（），。证明：由 （）是竞争比为的采购策略知：，式中分母表示 的购买总成本，由于已经过归一化处理，假设待采购的总量为，因此，该最优总成本就是。分子表示 （）的购买总成本，又由定义知：，将和代 入 上 面 不 等 式 有：，又由原则）知，上式可取等号，故有：，将换为，则有：，解之可得：，（），证毕。由前面的分析知，输入价格序列为：.（），则对任意的，有。假
13、设此时占线决策者已知，为了得到最优竞争比，则必须保证当第天后，就不会有剩余资金，故有：，结合定理，经过简单的代数运算，可得下面定理。定理给定，记采购策略 （）的竞争比为（），该值将满足下式：（）（）如上将竞争比写成其倒数的形式是为了后面的分析方便。根据这个定理，如下只需要考虑如何确定最优的竞争比（）的问题。根据竞争比的定义，策略 （）的竞争比为 （），为此，本文将首先考虑如何最小化（）式的左式。接下来的思路是根据式子：（）有（），首先通过引理的证明知上述最大值同有关，因此接 下 来 固 定，考 虑 对 应 的 竞 争 比（）有（），最后分析最大化（）下的最坏竞争比。策略竞争比分析引 理 给 定
14、和 任 意 的（），（）（）（），并且该最大目标函数的值将在（）（）时取得。证明：令，则有：（），根据算术平均值不小于几何平均值有：（）（）（）（），上式不等号当且仅当下式成立时取等号：（）（）。因此，（）（）（）（）（）（）（）。证毕。将引理代入公式（）有：（）（）（）（）（）更进一步地，由于越小，（）越大，但（），因此当（）时，（）取得最大值，故有：（）（）（）（）（）（）定理对于固定的，最大可能竞争比为：（），其中的为满足如下方程的唯一解：（）（）（）（）（）（）证明：为 了 符 号 方 便，在 公 式（）中 令（）（），（）（），且，则公式（）可改写为：（）（）（）（）对公式（）左右两
15、侧求一阶导得：（）（）（）（）中国管理科学 年记右侧式子的分子为（），则将的表达式代入后易知，（）为关于的减函数，因此（）为关于的凹函数，故（）的极大值点在（）或（）处取得。另一方面，根据（）（）（），（）（）（）（）（），则（）有唯一正根，记该唯一根为。根据（）得，（）（），代入（）式并整理即得到需满足的条件（）式，同时代入（）式即得到竞争比，证毕。定理给出了在已知的条件下的竞争比，因此可知，如果设（）为方程（）的唯一解，则本文研究问题的竞争比即为：，（）（）（）有 ，（）有更进一步地，为了更清楚地看出竞争比的结构，记（）（），则有如下的定理。定理采购策略 （）的竞争比为：（），其中（）是关
16、于的方程（）（）的唯一解。证明：根据（）（）知（）（）（），将其代入方程（）的左右两侧并整理知，方程（）等价于：（）（）（）（）（），或（）（）（）（），亦即（）（）（）（）（）整理即得到本定理的结论，该方程组有唯一解在定理中已证，证毕。备注：对于本文研究的问题，其竞争比为定理和定理两种等价的形式。注意到定理中出现了的超越方程的形式。因此，不能进一步得到关于的显性表达式，但可以通过数值的方法得到最优的解。备注：定理同定理相比，从定理更能看出竞争比的结构，下面将主要利用该竞争比的形式。为了讨论方便，记该最优竞争比为，即：，（）（）有同时记相应的的解为。备注：将定理带入定理并化简知，在最优的占线策略下，并根据定理和引理知，对，相等，因此再根据知。因此，最优策略下，每次购买的量相同，均为。备注：可更进一步得到，本文得到竞争比为最优的，将其写到下面的定理中。定理对于下界随时间递增的占线采购问题的竞争比下界为。证明：记为定理中对应的。令 为任意占线策略，考虑如下的对手策略：在第天，对手输入价格为，该价格满足定理中的式（）。如果 为不采购或者采购量 小于，则对手选择从第天开始输入的价格序列均为，此
