1、第 卷第期计算机集成制造系统 年月 ：收稿日期：；修订日期：。；基金项目：国家自然科学基金资助项目（）。：，（）基于相位高度映射的简易条纹投影测量模型和标定方法刘威，张旭，刘少丽，刘检华，樊思哲，黄浩（北京理工大学 机械与车辆学院 数字化制造研究所，北京 ）摘要：针对传统基于几何约束关系的条纹投影测量方法存在标定过程操作复杂、易用性差的问题，提出一种基于相位高度映射的简易条纹投影测量模型与标定方法。测量模型能够直接建立测量对象表面绝对相位值与空间坐标的映射关系，无需考虑相机和投影仪间的几何约束关系，根据该测量模型提出的标定方法操作简单，无需参考平面、量块或高精度位移台等高精度辅助工具，仅需一块
2、棋盘格标定板即可完成系统标定。基于测量模型搭建的测量系统结构简单、效率高、测量精度高、易用性好。通过仿真和实验验证了该测量模型的有效性。关键词：测量；条纹投影；相位高度映射；标定中图分类号：；文献标识码：，（，）：，：；引言条纹投影测量方法是一种结构光三维测量方法，具有测量速度快、精度高、无应力接触、应用范围广、方便快捷等特点，被广泛应用于工业测量、逆向工程、生物医药、文物修复以及日常生活娱乐等方面。该方法需要向测量对象表面投影一系列具有一定相位差的正弦条纹图案，然后采集经测量对象表面调制后变形的条纹图案，解算出包裹相位后根据相位展开算法计算出测量对象表面的绝对相位值，再根据测量系统模型得到测
3、量对象表面的深度信息来实现三维测量。因此，典型的条纹投影测量系统一般包括一台相机、一台投影仪与一台计算机。第期刘威 等：基于相位高度映射的简易条纹投影测量模型和标定方法因为条纹投影测量系统必须在系统标定后才能进行三维测量，所以测量系统的标定与测量结果紧密相关。测量系统标定方法根据测量原理不同主要分为类，分别为基于几何约束关系的传统条纹投影标定方法、基于立体视觉原理的伪相机标定方法和基于相位高度映射关系的条纹投影标定方法。（）基于几何约束关系的传统条纹投影标定方法该方法通过 系 统 间 的 几 何 结 构 参 数 建 立 模型，只需标定系统间的几何参数，即可实现三维测量。然而 该 类 方 法 对
4、 相 机、投 影 仪 以 及 参考平面的空间相对位置关系有严格要求，例如相机和投影仪的光心连 线 应与 参 考平面 满足 平行约束，相机或投影仪的光轴同参考平面应满足垂直约束，相机与投影仪的光轴应满足在参考平面上的相交约束。这些平行、垂直、相交的几何约束关系大大降低了 测 量系 统 标定的 灵活 性和工作效率，而且对系统的安装精度也提出了极高要求。有部分学者提 出 改进 的 条 纹 投 影 测 量模型 来放宽相机、投影仪与参考平面之间的几何约束关系，但仍不能完全消除上述测量系统的限制条件。（）基于立体视觉原理的伪相机标定方法 该方法与立体视觉测量方法类似，测量前需要同时标定相机和投影仪，获得两
5、者的空间位置关系。因为相机标定技术十分成熟，所以该测量方法的关键技术在于投影仪的标定。等 将投影仪作为伪相机，通过投影条纹的相位值建立相机像素平面和投影仪像素平面的关系，将相机采集的棋盘格图像通过所建立的对应关系在投影仪像素平面生成对应的虚拟棋盘格图像，进而用标定相机的方法对投影仪进行标定，从而使用立体视觉方法计算出相机与投影仪的相对位置关系，实现系统标定；等 采用多频外差方法获得圆形标定板圆心处的绝对相位和坐标，通过线性插值方法求出对应投影仪像素平面的特征点坐标，从而实现对投影仪的标定；等 采用格雷码条纹序列构造绝对相位值与棋盘格角点的对应关系，建立相机像素平面与投影仪像素平面的局部单应性矩
6、阵，实现对测量 系 统 的 标 定；等 提 出 一 种 只需投影单向条纹的标定方法，而且采用最小二乘估计方 法，使 投 影 仪 的 标 定 过 程 减 少 一 个 自 由度，有效降低了标定过程投影的图案数量。这一类方法在实际使 用 中不需考虑相机和投 影仪 间的空间关系，操作较简单，然而伪相机方法依赖相位值建立相机和投影的对应关系，投影仪标定结果的准确性取决于相位展开的精度，而实际标定过程中相位误差不可避免，会影响投影仪的标定精度。同时，投影仪镜头的制造精度低于工业相机，在标定过程中采用针孔模型将引入数倍于相机的标定误差。（）基于相位高度映射关系的条纹投影标定方法 该方法通过测量对象表面点的相
7、位值及其高度信息，采用最小二乘方法建立直接数学关系，基于相位高度映射关系进行标定测量。该类系统的标定方法只需标定相位高度映射关系中的相关系数，不考虑相机和投影仪之间平行、垂直、相交的几何约束关系。等 证明了非共面光轴系统中，被测对象的坐标点高度值与对应相位值在光学几何关系上与共面光轴系统一致，建立了被测点高度与相位差的数学关系式；等 和 等 总结了绝对相位在参考平面上的分布规律，推导了参考平面外点的高度值与其绝对相位值之间的控制方程，并将相机与投影仪成像模型与光线追迹法结合，建立了第种参考平面外点高度与其绝对相位的控制方程；等 建立了一种新的模型，通过控制方程表示测量对象表面的绝对相位与三维坐
8、标，只需求出与系统相关的个参数即可完成系统标定。然而，上述方法均未考虑测量过程中相机镜头畸变对测量结果的影响，而且存在参考平面，造成误差积累；等 和 等 在其工作中将相机镜头畸变引入控制方程，在一定程度上提高了测量精度；等 提出分段线性拟合来建立相位高度映射关系，为每个像素点处的高度和相位建立对应关系，并验证了其精度高于三阶多项式拟合。该方法需要对每个像素点进行多项式拟合，虽然能够达到较高的测量精度，但是标定的计算过程极其费时，效率极低，而且需要用相位差建立相位高度映射关系，还需要全程使用参考平面，因此存在误差累积；刘柠溢等 在此基础上提出虚拟参考平面的改进方法，虽然避免了参考平面引入的误差积
9、累，但是仍需至少个平行平面参与标定，并未简化测量流程。基于相位高度映射的条纹投影测量方法的思路为，建立测量系统（即投影仪和相机）的光学几何模型，在该模型中测量对象的三维坐标点高度值和计算机集成制造系统第 卷表面相位满足一定对应关系，求解这种对应关系即为相位高度映射的关键。目前基于相位高度映射的条纹投影测量方法均采用最小二乘方法拟合计算出测量系统的待标定参数 ，该方法使相机和投影仪完全摆脱传统条纹投影测量方法中几何关系的约束，相机和投影仪可以摆放在空间中的任意位置。然而这些方法均存在各自的局限性，首先，大部分测量模型中用于与高度值映射的相位值是测量对象与参考平面间的相位差，需要借助参考平面，将不
10、可避免地产生相位积累误差，并传递到物体的高度计算中，同时参考平面在一定程度上降低了标定和测量的效率；其次，多数条纹投影测量方法的标定过程采用多个已知位置的平行面对待求参数进行最小二乘拟合，在实际标定时需要通过多个精密量块或精密位移台移动参考平面形成多个平行面来辅助标定。等 证明了使用量块进行标定的测量系统中，测量深度受量块高度限制，而且一些场合也不满足量块的使用条件，限制了测量系统的应用范围。综上所述，基于几何约束关系的传统条纹投影标定方法受限于三角测量原理的几何约束，实际标定过程中的相机和投影仪难以满足严苛的约束条件；基于立体视觉原理的伪相机标定方法虽然结构简单，但是投影仪的标定对整个测量系
11、统的标定精度影响较大；基于相位高度映射关系的条纹投影标定方法的标定过程需要参考平面、精密量块或精密位移台辅助标定，以实现相位差与高度的映射关系，使该方法存在标定复杂、易用性差等缺陷。本文针对上述问题，提出一种基于绝对相位和空间深度坐标映射的测量模型与标定方法，通过计算棋盘格特征点处的绝对相位和空间坐标，结合测量模型即可完成对测量系统的标定，该测量模型和标定方法具有以下优点：（）过程简单，测量效率高，无需考虑相机与投影仪的空间位置关系。（）无需参考平面参与测量，而且考虑相机镜头畸变的影响，提高了测量方法的测量精度。（）结构简单，易用性好，鲁棒性高，无需使用精密量块或精密位移台等精密测量用具。测量
12、模型及标定方法测量模型通过构建相机、投影仪与待测物体之间的几何关系，结合相机小孔成像和镜头畸变模型等原理，建立测量对象表面绝对相位值与空间坐标的映射关系，对测量对象表面进行三维测量。本文所提标定方法采集特征点处的绝对相位和空间坐标，并结合测量模型的数学表达式，利用最小二乘方法求解系统参数，实现系统标定。测量模型测量 系 统 模 型 为 单 相 机 条 纹 投 影 测 量 系统，即由一台电荷耦合器件（，）工 业 相 机、一 台 数 字 光 处 理（，）投 影 仪 和 一 台 计 算 机 组成，相机成像 平 面 为 平 面。测 量 系 统 的 三维几何模型如图 所示，相机与投影 仪 摆 放 在空
13、间 的 任 意 位 置，只 需 保 证 测 量 对 象 处 于 相 机的测量域和投影 仪投影域形成的公共区域。该测 量 模 型 中 共 有 个 坐 标 系，分 别 是 与 测 量 对象固 连 的 世 界 坐 标 系、与 相 机 光心固连的相机坐标系和成像面上的像素坐标系。第期刘威 等：基于相位高度映射的简易条纹投影测量模型和标定方法图 中，投影仪光轴为，以为世界坐标系原点建立世界坐标系，点在平面内，即投影的正弦条纹与轴平行。在轴上的投影点为点，与竖直轴的夹角为，轴为相机光轴，在平面上的投影点为。点是测量对象上任意一点，在 平面上的对应点为，的延长线交平面于点，的延长线交平面于点，点在平面上的投
14、影点为，点，分别为点，在上的投影。点，到平面的距离分别记为和，点到平面的距离即点的高度，记为。测量模型的目的是建立被测点的空间坐标与其绝对相位的关系，首先推导出点高度的基本表达式。根据 可得。（）同理，由 可得，（）由式（）和式（）得（）（）（）。（）获得的基本表达式，即式（）后，需要建立与绝对相位的关系。在图 中，（）设处的条纹节距为，处的条纹节距为，与满足关系 。（）由 可知 ，（）点处的相位与点，处的绝对相位相等，设其为，。（）式中为点处的绝对相位。由式（）式（）得 （）（）。（）联立式（）和式（）得。（）式中：（）（）；（）；（）；（）（）；（）；（）；。（）系数，为与和独立的常系数，
15、只与系统的几何结构参数相关。根据式（）得到高度与点在轴上的坐标，以及测量对象上点的绝对相位的关系，下面建立点与点的数学关系。因为点，在经过点的同一条光路上，所以点，在 成像面上的对应点为同一点，点的像素坐标记为（，）。点在相机坐标系下的坐标记为（，），为相机的焦距。点，满足。（）同时，点满足世界坐标系到相机坐标系的旋转平移变换：。（）根据式（）和式（）可得。（）式中：（）；（）；。（）系数，为与和独立的常系数，只与相机标定的内参和外参相关。联立式计算机集成制造系统第 卷（）、式（）和式（）可得。（）式中系数，为系数，与系数，的组合。根据式（）可得测量对象上任意一点高度与相机坐标系下该点对应像素
16、平面坐标间的关系，由于即，为方便计算和表达，将（即）转化到相机坐标系下的，。（）由式（）和式（）可得（）；（）。（）由于实验中直接获得的数据为像素坐标，一般将，用像素平面上对应的点（，）表示，同时为了方便表示，将记为。（，）与（，）满足 。（）式中，为相机标定的内参。联立式（）式（）可得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。（）式中，为与，独立的常系数。因此式（）为测量对象空间深度坐标在不考虑相机镜头畸变下与像素坐标和相位值的映射关系。实际应用过程中需要考虑相机镜头畸变 对测量过程的影响，根据文献，畸变后的像素坐标与原始像素坐标关系表示为 ，；，。（）式中：，为无镜头畸变影响的像素横纵坐标；，为镜头畸变影响下获得的像素横纵坐标，也是直接从图像中获得的数据；，为畸变补偿系数；为拟合阶数。联立式（）和式（），可得存在镜头畸变的像素坐标（，）、绝对相位与的映射关系（，）（，），。（）式（）为测量模型的数学表达式，式中：系数，为与畸变像素坐标（，）、绝对相位值独立的常数，为需要通过标定确定的常系数；为拟合阶数。标定方法式（）中系数，表示与系统结构、相机内参和外参相关的常系数，其在实际操作中
