1、 鞍 山 师 范 学 院 学 报 ，（）：检测带有型右删失的双参数指数分布尺度参数的 控制图刘 双，何 川，张久军（鞍山师范学院 数学与信息科学学院，辽宁 鞍山；东北大学 理学院，辽宁 沈阳；辽宁大学 数学与统计学院，辽宁 沈阳）摘 要 提出一种用于检测带有型右删失的双参数指数分布尺度参数的指数加权移动平均控制图通过蒙特卡罗模拟，运用不同性能指标来衡量控制图的性能表现，并通过实例说明该控制图的实际应用关键词 型右删失；指数加权移动平均；统计过程控制中图分类号 文献标识码 文章编号（）在产品质量检测系统中，统计过程控制是应用统计工具来提高产品质量、降低废品率的一种重要的质量控制方法，控制图是其中
2、的一种重要工具多数控制图建立的前提是假定生产过程的质量特性服从正态分布，而在实际生产过程中数据分布可能是有偏的，比如服从双参数指数分布双参数指数分布可用作产品的寿命分布模型来反映产品寿命的变化，作为一种特殊的分布形式，其应用十分广泛在产品的寿命试验中，由于各种因素的限制，观测到的寿命数据往往是不完整的，即数据出现了删失因此，构建检测删失数据的控制图显得尤其重要近年来，等提出了同时检测刻度参数和尺度参数的综合图，等提出了基于 方法的联合方案，等提出了 种基于最大类型组合与似然比的控制图为了提高对尺度参数的检测效率，本文提出一种基于极大似然估计的指数加权移动平均（，）控制图，运用蒙特卡罗模拟方法，
3、得到控制图的平均运行长度（，）和运行长度标准差（，），以此作为指标来评估、对比所提出的控制图的性能模拟结果表明，本文提出的控制图具有很好的检测能力 控制图简介 假设在 时刻得到样本观测值，当过程处于受控状态，均值和方差分别表示为：（），（）基于历史观测值，提出的 统计量定义如下：（），其中，?为光滑参数由 表达式可知：（）（），收稿日期 基金项目 辽宁省教育厅 年科学研究项目（）；辽宁省自然科学基金项目面上项目（）作者简介 刘双（），男，辽宁沈阳人，鞍山师范学院数学与信息科学学院教授，博士，主要研究方向为质量控制和微分方程数值模拟研究易知，各个样本的权重满足如下关系式：（）（）显然统计量 利用
4、了所有历史样本的信息，第 个样本的权重为 （），并且随着 远离 ，第 个样本的权重呈指数衰减当选取较大的参数 时，当前样本被赋予较大的权重，而历史样本赋予了较小的权重反之，当选取较小的参数 时，当前样本被赋予较小的权重，而历史样本被赋予了较大的权重当 较小时，对检测过程中小漂移更灵敏；当 较大时，对检测过程较大漂移具有更好的检测能力在特殊情况下，当 时，控制图退化到了 控制图，此时只利用了当前样本信息，对较大的漂移更加灵敏当过程处于受控状态时，的期望和方差可分别表示为：（），（）（），因此，其精确上控制线、中心线及下控制线可分别表示为：（），（）随着 的增加，（），其渐进控制线可表示为：，参数
5、 由受控的平均运行长度 决定当统计量 或 时发出警报 控制图的设计方案 本节先介绍双指数分布的尺度参数的极大似然估计，然后给出基于极大似然估计的 控制图设计方案 带有型右删失的双参数指数分布双参数指数分布的概率密度函数和累积分布函数分别表示为：（，）（），（，）（），其中，和 分别表示位置参数和尺度参数，此时分布的均值、方差分别为 ，当过程受控时，；当过程失控时，假设在任意时刻 收集到样本容量为 的样本表示为（，），从而得到其次序统计量为（）?（）?（）假设在试验过程中能观测到确切数据的只有 个，称为可观测数，得到的精确观测值为（）?（）?（），型右删失数据为（）（）（）样本似然函数表示为：鞍
6、山师范学院学报第 卷（，）（）（）（），其中，常数 （）（），其对数似然函数为：（，）（）（）（）从而得到尺度参数 的极大似然估计为：（）（）（）基于极大似然估计的检测双参数指数分布尺度参数的 控制图考虑生产过程中更关注均值减小的情况，为了提高对尺度参数的监测能力，基于极大似然估计，在传统 控制图的基础上，提出如下的带有反射边界 的下单边 控制图，检验统计量为：，（），其中，为光滑参数当统计量 时，控制图发出警报控制图的控制线也可以采取传统 控制图的形式，但由于其形式比较复杂，这里直接通过模拟的方法得到控制线 模拟结果表明，如此构造的带有反射边界的 控制图具有更高的检测效率这里需要指出的是，假
7、定位置参数 是已知的，当位置参数未知时，可以采用极大似然估计（）来进行估计 控制图的性能表现 衡量控制图的性能表现通常使用 或，定义为控制图从检测开始到发出报警信号时所需的平均样本数，定义为控制图检测到过程失控时所需样本数的标准差过程受控时的 用表示，过程失控时的 用 来表示关于 及 的计算按照如下步骤：第一步：确定样本容量 ，可观测数 和光滑参数 ，指定受控参数 和；第二步：设定控制线 ，使控制图在受控状态下的 接近指定的；第三步：从参数为 和 的双参数指数分布总体中随机生成容量为 的样本计算统计量，并与控制线 进行比较若 ，则继续抽取下一个样本此时步长 增加若 ，则发出报警信号，记录下此时
8、抽取的样本数，记为；第四步：重复步骤三 次，得到的步长分别记为，控制图的 及 可分别表示为：，（）；第五步：将从步骤四中得到的 与事先指定的 进行比较，如果这两个数的差值小于事先给定的精度，则记录下此时控制线的值如果 值明显大于（小于），则降低（增加）控制线 至适当值，并重复步骤二至四，直到 与 的差小于事先给定的精度本文选取样本容量 ，光滑参数 ，不失一般性，当过程受控时，假定 ，当过程失控时，假定 ，（）考虑可观测数 ，当 时，样本为完全数据，无删失，模拟结果见表 从模拟结果可以看出，随着漂移幅度的增大，控制图的 与 值在逐渐减小在其他条件相同时，多数情况下 的值要小于 值，体现了控制图的
9、稳定性同时也可以发现，随着 的增大，控制图的检测效率逐渐提高例如，在表 中，当 ，时，其 与 值分别为 与，而第 期刘 双，等：检测带有型右删失的双参数指数分布尺度参数的 控制图当 ，时，其 与 值分别为 与，检测效率大幅提高在完全样本下，其 与 值分别为 和，这与直观是相符的在完全样本下，可以得到更多的信息，检测效率自然也是最高的此外，还对其他参数组合做了相应的模拟研究，得到的结果也是类似的表 ，时控制图的性能比较 实例分析 下面，通过实例来说明本文给出的控制图的实际应用情况采用 给出的例子，数据包含 个滚珠轴承中每个轴承故障前的转数分析表明，此数据符合双指数分布，并受控根据极大似然估计得到
10、参数的估计值分别为 ，使用 程序生成 个样本容量 的样本，其中，前 个为受控样本，后 个为失控样本假设在失控过程时位置参数不变，尺度参数的漂移幅度为 ，通过模拟得到控制线为 ，结果见图 从图 可以看出，控制图在第 个样本发出了报警信号，说明本文提出的方法在实际应用中对检测带有型右删失的双指数分布尺度参数的变化具有很好的检测能力图 基于滚珠轴承数据的 控制图 总结 本文提出了一种基于极大似然估计的用于检测带有型右删失的双指数分布尺度参数的带有反射边界的 控制图模拟及实例表明，文中所提出的控制图具有很好的检测能力本文假设受控参数是已知的，并假设数据是精确测量的，而参数估计及测量误差对双指数分布控制图的性能影响有待进一鞍山师范学院学报第 卷步研究此外，本文只考虑了尺度参数的检测情况，在实际生产当中，位置参数也可能发生变化，也可能两个参数同时发生变化针对同时检测两个参数发生变化的控制图也是将来的研究方向参考文献 ，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（，；，；，）；（责任编辑：张冬冬）第 期刘 双，等：检测带有型右删失的双参数指数分布尺度参数的 控制图
