1、第 卷第期计算机集成制造系统 年月 ：收稿日期：；修订日期：。；基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）；国家重点研发计划资助项目（）；福建省科技计划引导性资助项目（）；中国 博 士 后 科 学 基 金 第 批 面 上 资 助 项 目（）；泉 州 市 科 技 计 划 资 助 项 目（，）。：，（，），（），（），（），（，）基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别王继争，王成，陈建伟，李海波，赖雄鸣，王鑫，何霆（华侨大学 计算机科学与技术学院，福建厦门 ；西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室，陕西西安 ；圣地亚哥州立大学 数学与统计学院，美国 加利福尼亚州圣地亚哥 ；华侨大学 机
2、电及自动化学院，福建厦门 ）摘要：针对基于稀疏成分分析和正交基压缩感知的欠定工作模态参数识别方法准确率低、鲁棒性差的问题，提出一种基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别方法。所提方法在模态振型估计的基础上利用自适应字典压缩感知重构模态坐标响应。在压缩感知框架下，首先，所提方法利用滤波分离的方法构造字典学习的训练样本；然后，使用基于均值奇异值分解的字典学习方法和层次耦合字典训练策略生成自适应字典，实现了无监督的字典学习；最后，利用正交匹配追踪算法得到稀疏系数分量，进而恢复源信号重构模态坐标响应。在压缩感知框架下，所提方法利用均值奇异值分解算法学习得到的自适应字典，对于信号的分解比傅里叶基或
3、离散余弦基等正交基具有更强的稀疏表示能力。在自由度的仿真数据集下的欠定工作模态参数识别的结果表明，所提方法比稀疏成分分析、正交基压缩感知等方法具有更好的识别精度和鲁棒性。关键词：工作模态分析；欠定；压缩感知；自适应字典；滤波分离中图分类号：文献标识码：，（，；，；，；，）：，（）计算机集成制造系统第 卷 ，（），：；引言结构动力学分析的主要问题之一就是工作模态分析，识别如模态振型、阻尼比、固有频率等模态参数，多年来，模态分析被广泛地应用于线性动力系统的特征分析。盲源分离（，）目的是在不了解混合过程和源信号的情况下，将源信号从混合信号中分离出来，技术由于其直观、计算效率高、非参数化等优点被越来越
4、多的结构动力学研究人员关注，并将其引入到仅通过系统响应信号识别模态参数问题当中。基于独立分量分析、二阶盲识别等传统的 工作模态参数识别方法，建立了分离成分和模态参数之间的映射关系，但这些方法基本假设在正定或超定（即观测传感器数等于或大于模态坐标响应个数）情况下，其在实际工程应用中存在较大的局限性，例如成本和安装传感器困难等问题，基于传统的 工作模态参数识别方法无法应用于欠定工作模态参数识别中。因此，对于开发用于结构动态分析 的 欠 定 盲 源 分 离（，）技术，在有限传感器的情况下处理识别高阶模态具有十分重要的研究意义。稀疏 成 分 分 析（，）为解决欠定盲源问题提供了有效的方法，并且近年来
5、在欠定工作模态参数识别中也得到了广泛的应用。的主要假设是源信号在时域或转换域稀疏，由于大多数信号在时域非稀疏，通常通过变换域的稀疏实现，基于短时傅里叶变换（，）、离 散 余 弦 变 换（，）、小波变换（，）等正交基稀疏变换方法已经成功应用于模态参数识别。方法主要由两步法组成：混合矩阵估计和源信号恢复。第一步在源信号的混合方式和数目未知的情况下，利用正交基将时域响应信号转换到频域或时频域，并使用单源点检测和聚类算法对混合矩阵进行估计得到模态振型 ；第二步在第一步的基础上，由已知的混合矩阵利用 范数最小化 以及光滑 范数等方法重构源信号得到模态坐标响应，最后利用单自由度技术从模态坐标响应中提取固有
6、频率和阻尼比。基于 的欠定工作模态参数识别方法主要依赖信号在稀疏变换域的稀疏性进行实现，对稀疏性要求较高，但正交基变换方法往往不能使信号在变化域足够稀疏，使得模态坐标响应的重构精度降低，并且基于 范数最小化等模态坐标响应重构方法对噪声敏感。近 年 来，压 缩 感 知（，）理论已经成为研究的热点，在健康监测 和源信号重构 等方面都得到了广泛的应用。技术将信号采集和数据压缩相结合，可以利用部分采样信号高概率的重构源信号。在 模型中，欠定混合过程类似于压缩采样，根据 与 的等效模型，可以利用 技术来实现欠定盲源分离问题，并且 为信号的稀疏表示提供了强大的框架，促 进 了 的 快 速 发 展。等 建立
7、了 和 之间的联系，并指出搜索信号的稀疏字典是有效分离的关键。基于压缩感知的源信号恢复方法，利用稀疏字典对源信号进行稀疏表示，然后结合 的稀疏系数重构算法可以较好地重构源信号。压缩感知的稀疏表示方法主要分为两种：（）通过 、等来获得稀疏表示字典，为一种固定正交基字典策略。等 首先利用固定正交基字典开发了基于 的框架，利用 和固定正交基字典进行盲源分离，但由于固定正交基字典稀疏表示能力的限制，其源分离的效果较差。等 提出了基于压缩感知的欠定工作模态参数识别方法，通过正交基变换对模态坐标响第期王继争 等：基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别应进行稀疏表示，当信号在正交基稀疏变换较差时，其识
8、别的模态参数效果也较差。（）自适应稀疏字典学习方法 ，通过字典学习得到的字典原子具有不同信号的特征，对信号具有更强的稀疏表示能力。余丰等 将 和字典学习方法相结合用于欠定盲源分离，但该方法需要源信号的先验信息作为字典学习的训练样本，限制了字典学习方法在 上的应用。在文献 中，通 过 使 用 混 合 信 号 构 造 训 练 样 本（，）以及利用 字典进行预分离构造训练样本（，）等方法来实现无监督的字典学习，但这些方法从每个源捕获的特征不那么准确，从而导致源信号重构精度较低。本文将自适应字典引入基于压缩感知的欠定工作模态参数识别中，并利用滤波分离方法构造字典学习的训练样本，提出了一种基于自适应字典
9、压缩感 知（，）的欠定工作模态参数识别方法。基于压缩感知的欠定工作模态参数识别 工作模态参数识别理论在振动学理论中，对于 自由度（，）的线性时不变系统，运动控制方程可以写为：（）?（）（）（）。（）式中：、分别为质量、阻尼和刚度矩阵；（）为外力矢量；（）、?（）、（）分别为位移、速度和加速度矩阵。振动位移响应（）（），（）可以在模态坐标中分解为（）（）（）。（）式中：为模态振型矩阵，每一列向量代表结 构 的 某 一 阶 振 型，即，；（）（），（）为各阶模态坐标响应。结构自由振动时各阶模态坐标响应可以表示为：（）（），。（）式中：和分别是第阶振型的频率和阻尼比；和是初始条件下的常数，工作模态参
10、数识别的目的即从已知的结构响应信号（）中分解得到未知的模态振型和模态坐标响应矩阵（），然后利用单自由度技术从（）中提取得到固有频率和阻尼比。工程中，观测信号（）由个位移传感器测得。此时，需要从理论模态振型矩阵中抽取个振动响应传感器位置对应的行组成工程模态振型矩阵 。传感器个数与系统自由度 之间的关系可以分为种情况：当 ，表示超定情况；当 ，表示正定情况；当 ，表示欠定情况。在实际工程结构中，可离散化的自由度个数 较大，而工程中可布置的位移响应传感器输出个数极为有限，难以为每个自由度布置一个传感器，欠定情况大量存在。因此，本文主要讨论研究的是 的欠定情况，即欠定情况的工作模态参数识别。欠定盲源分
11、离欠定盲源分离的任务是利用观测信号对信源进行恢复，在不考虑噪声的情况下，欠定盲源分离问题的线性瞬时混合模型如式（）和图所示。（）（）（）。（）式中：表示混合矩阵并且未知，（）表示离散时间个观测信号在个时刻带来的采样样本，（）代表个源信号在个时刻点上的采用样本组成的矩阵。在欠定情况下，观测信号个数小于源信号数，即。式（）和式（）在数学表达式上存在相似性，其中模态振型矩阵对应混合矩阵，模态坐标响应矩阵（）对应源信号（）。因此，技术可以较好地应用于欠定工作模态参数识别，对应关系如图所示。计算机集成制造系统第 卷 基于压缩感知的欠定工作模态参数识别模型首先利用短时傅里叶变换将响应信号从时域变换到 时
12、频 域，并 结 合 单 源 点 检 测（，）技术 和模糊均值聚类（，）算法可以估计混合矩阵得到模态振型。在已知混合矩阵的基础上，模型和 模型都是求解欠定线性方程组问题，将 模型式（）展开如下：（）（）（）（）（）（）。（）得到混合矩阵后，可以将 模型重构为 模型，将式（）改写为（）（）（）（）（）（）。（）式中 是以 对角的的对角矩阵，即 。（）式（）可以表示为。（）式（）正是经典的压缩感知模型，为测量矩阵，；为源信号的测量向量，为 的列向量；为的列向量，假设在字典上可以稀疏表示，即。（）其中：为一个稀疏表示字典，为在域的稀疏变换系数。结合式（）和式（）可以得到 。（）根据 理论，若和约束等距
13、性条件（，），且在域中是稀疏的，通过正交匹配追踪（，）算法求解式（）得到稀疏系数。（）其中，可见源信号的稀疏表示对求解式（）至关重要。将求得的稀疏系数代入式（）得到源信号，即可重构得到模态坐标响应，然后利用单自由度技术可以得到固有频率和阻尼比。基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别方法 自适应字典学习传统的稀疏表示方法是利用信号在正交基字典的稀疏性对信号进行稀疏表示，往往不能使信号在变换域足够稀疏，因此寻找信号的更稀疏表示域成为分离源信号的关键，本文使用均值奇异值分解（，）算法和 层 次 耦 合 字 典 训练 策略 训 练 得 到 自 适 应字典。基于 的字典学习 对于给定的一组训练信号
14、，通过求解最优化问题实现源信号的稀疏表示，在稀疏约束条件下训练得到自适应字典，相比正交基固定字典能够自适应地根据训练信号提取其特征，具有较强的稀疏表示能力。字典学习基本思想是基于估计源信号的训练字典和基于当前字典之间更新交替的过程，随着字典自学习过程的不断深入，经过训练的字典对源信号的拟合性越来越好，从而提高源信号的分离精度。的算法模型描述为：。，。（）式中：为由训练信号组成的训练样本矩阵；为训练字典；为稀疏系数矩阵；为的第列；为稀疏度，也是 算法的迭代次数。该算法旨在对字典进行迭代改进，实现信号的稀疏表示。具体步骤如下：步骤字典初始化，从样本中随机挑选列作为初始化字典。步骤稀疏编码，使用算法
15、计算稀疏系数。步骤字典更新，字典进行逐列更新，用表示字典第列的误差，则。（）式中：为字典的第个原子，为的第个行向量。奇异值分解，有，用的第一列更新，重复步骤，对进行逐列更新。第期王继争 等：基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别 层次耦合字典训练策略分别对组训练矩阵进行自适应字典学习，训练策略如图所示。算法训练得到一个规模为的字典，字典以样本重叠的对角形式排列得到规模为的自适应字典矩阵，其他字典，以同样的方式生成，最后的字典矩阵将这个字典以对角线排列的形式组成字典。由于信号分割成小向量，通常会出现边界问题，即两个不相邻块的连接区域不连续性导致出现尾影，为了避免这种情况，将向量乘以一个汉明
16、窗，在边界处光滑信号。因此，式（）中在字典上的稀疏表示可以表示为：。（）式中：表示稀疏系数向量，是的稀疏表示自适应字典。字典学习速度受 大尺度操作训练样本矩阵的影响，因此在上述字典训练策略基础上使用一种层次耦合字典训练方法。层次耦合的基本思想是对每个训练信号（，）进行截断生成个子序列，进而对每个子序列用 算法训练得到字典（为第个训练信号，为第个训练信号的第序列），其次，将层次字典合成统一字典，然后使用 算法恢复得到源信号，最后将个连接起来得到完整的信号。层次耦合字典训练方法在不降低算法性能的前提下，能够大大提高算法的计算效率，层次耦合子典训练策略如图所示。滤波分离构造训练样本使用字典学习方法对信号进行稀疏表示很重要的一步就是构造字典学习的训练样本，但在工作模态参数识别中，只有传感器测得的响应信号，没有任何模态坐标响应的先验知识，即无法已知源信号构造训练样本。等 和 等 使用混合信号以及 字典预分离等方法构造训练样本，但这些方法从每个源捕获的特征不那么准确，导致信号重构精度较低。本文利用滤波分离构造训练样本，实现无监督的字典学习。其步骤为：步骤将时域响应信号（）进行傅里叶变换得到频域响应
