1、第 卷第期 年月系统工程与电子技术 文章编号：（）网址：收稿日期：；修回日期：；网络优先出版日期：。网络优先出版地址：基金项目：国家自然科学基金（）资助课题通讯作者引用格式：赵骞，谭尧，吴波，等冷备系统剩余寿命近似计算方法系统工程与电子技术，（）：，（）：冷备系统剩余寿命近似计算方法赵骞，谭尧，吴波，蒋平，郭波（国防科技大学系统工程学院，湖南 长沙 ；国防科技大学信息通信学院，陕西 西安 ）摘要：冷备系统是提高系统可靠性的重要手段。然而，由于结构复杂，对于中取冷备系统剩余寿命的研究相对较少。为此，提出了一种冷备系统剩余寿命近似计算方法。首先，通过解析法、数值方法以及仿真方法获得冷备系统任意时刻
2、的可靠度。在此基础上，进一步利用组合辛普森公式，得到冷备系统剩余寿命的点估计与区间估计近似值。算例分析部分首先研究了这种计算方式的偏差及影响近似计算精度的因素，在此基础上通过实验验证了所提近似计算方法简单高效，具有较高的准确性。通过与已有方法进行对比，进一步说明了所提方法的适用性。关键词：冷备系统；剩余寿命；组合辛普森公式中图分类号：文献标志码：，（.，；.，）：，：；引言冗余是提高系统可靠性的重要技术，在工业和军事装备上被广泛应用 ，其可被进一步划分为热备、温备与冷备种。热备指的是工作部件与备份部件处于相同的工作状态，冷备则认为备份部件在贮备期间不工作，失效率为零，而温备的部件失效率介于热备
3、和冷备之间。中取冷备系统共由个部件组成，至少需要个部件正常工作才可以保证系统的正常运行。当工作位置部件发生故障，备份部件依次替换失效的工作部件继续工作，直至系统中能够正常工作的部件总数小于时，冷备系统失效。从装备质量特性与管理的角度，常常会关心当前正常工作的装备产品还能继续运行的时间，这就是产品的剩余寿命。准确的剩余寿命预测对于工业系统、装备系统任务完成、维修以及更换而言均意义重大，因而对复杂装备系统的剩余寿命预测具有极大的经济价值和战略意义。然而，系统工程与电子技术第 卷因冷备系统结构复杂，对其剩余寿命估计的研究却相对较少。许双伟等通过分析部件状态之间的关系，并基于最小割集理论提出了一种计算
4、可靠度和平均故障间隔时间的仿真算法。同时，基于不确定性理论，推导了种不可修冷备系统的 可 靠 度 和 平 均 失 效 时 间（，）的解析表达式。利用极大似然原理、估计和经验 估计，部件服从 分布的冷备系统失效率、可靠度以及平均寿命的估计方法可参见文献 。广义近似置信限以及 方法在文献 中进行了研究。但是以上研究只针对中取冷备的特殊情况，并且缺少对剩余寿命估计的讨论。更进一步，通过计算得到了一个冷备部件的表决系统平均剩余寿命，但是当部件寿命分布复杂时，该方法同样面临局限性。应用 函 数 完 成 对 可 靠 度 和 的估计可参见文献 。事实上，这些研究也仅考虑了部件服从指数分布的情况。虽然对于冷备
5、系统剩余寿命的研究较少，但是对其可靠度的估计方法的研究相对较为成熟。周仲夏等 通过推导得到了中取的冷备系统可靠度的闭合表达式，类似研究也可参见文献 。通过运用马尔可夫过程，中取的特殊冷备系统在文献 中进行了研究，类似研究还可参见文献 。这些方法的优势是可以获得闭合表达式，但是以上结论必须基于部件均服从相同指数分布这一假设。由于计算较为复杂，数值计算和 理论等方法得到了进一步应用。等 提出了基于通用生成函数获取中取的冷备系统可靠度函数的方法。这也为本文进行剩余寿命估计奠定了重要基础。事实上，在部件寿命已知的情况下，冷备系统可靠度可以通过卷积进行计算，但是往往由于计算复杂，无法或者难以通过推导得到
6、冷备系统可靠度的解析表达式。等 通过梯形法实现了卷积的近似计算。一些学者尝试运用 理论进行可靠度估计 。等 基于马尔可夫链 蒙特卡罗方法获得可靠度 估计。综上所述，对于中取的冷备系统剩余寿命的估计比较困难，特别是当部件服从复杂分布时，相关研究更为缺乏。基于此，本文首先研究了剩余寿命估计与可靠度函数之间的关系，证明了剩余寿命计算的核心是获得系统可靠度，然后通过研究给出解析方法、数值方法以及仿真方法，获得了冷备系统任意时刻的可靠度，在此基础上基于组合辛普森公式，提出一种基于任意时刻可靠度近似计算剩余寿命的方法，高效、准确地获得了冷备系统剩余寿命的点估计与区间估计。基于可靠度函数的剩余寿命预测方法
7、剩余寿命的概率密度函数假设为产品寿命，（）、（）和（）分别表示产品失效时 间 的 累 积 分 布 函 数（，）、概率密度函数以及可靠度函数。则该产品在工作到当前时刻时，剩余寿命分布函数（）为（）（）（）（）（）（）式（）对求导，可得剩余寿命概率密度函数为（）（）（）（）（）（）（）可靠度函数与剩余寿命时刻，剩余寿命点估计（）为（）（）（）将式（）代入（）可得（）（）（）（）（）其中，（）（）（）（）（）（）将其代入式（）可得剩余寿命点估计为（）（）（）（）假设剩余寿命 （）置信水平下的双侧区间为，则与需满足：（）（）（）也可记为（）（）（）（）（）（）（）从式（）和式（）均不难看出，要得到冷备
8、系统剩余寿命的点估计与区间估计，核心是获得该系统可靠度。本文将在第节，针对冷备系统组成部件寿命分布的不同情况，依次介绍解析方法、数值方法以及仿真方法种可靠度计算方法。可靠度的计算 解析方法计算可靠度对于部件服从相同指数分布的情况，根据已有文献研究，可以通过解析推导得到冷备系统可靠度的闭合表达式。例如中取的冷备系统，假设个部件的寿命为，相互独立且均服从失效率为的指数分布，则冷备系统的可靠度可以表示为（）（）第期赵骞等：冷备系统剩余寿命近似计算方法 由拉普拉斯变换及逆变换 可得（）！（）（）更一般地，对于中取冷备系统，部件仍服从失效率为的指数分布，可靠度 为（）！（）（）文献 推导了该种情况下时刻
9、冷备系统剩余寿命的闭合表达式为，（）式中：！（）。特别地，当时，可以得到该冷备系统寿命的估计为（）式（）与式（）的推导结果将在算例中进行运用，作为该种情况下的理论值与本文第.节所提方法进行对比。数值方法计算可靠度由于指数分布相对简单，可以推导得到对应的冷备系统剩余寿命闭合表达式，对于更为复杂的情况，数值方法提供了新的解决思路。设个工作部件中第个（）工作部件和对应该位置的备份部件寿命分布 分别为（）和（），令，（）表示第个部件所在的位置至少有个部件已经失效。不难得到，（），（）（）（）式中：，（）（）。并且，（）（），（）（），（）（）关于式（）中的卷积，可以将积分区间划分为个子区间，采用梯形法
10、则进行数值计算，计算精度随着的增大而提高。令，（）表示时刻在个部件所在位置上正好发生个失效的概率，因而，（），（），（）（）且，（），（）。令（）表示时刻系统中共有个部件失效，容易看出（）可由所有位置的，（）计算得到。则当系统失效个数小于时，系统正常工作，所以冷备系统的可靠度为（）（）（）值得一提的是，上述数值计算方法要求同一位置上工作的部件需要服从相同分布，因而也面临一定局限性。仿真方法计算可靠度对于更为复杂的情况，可采用仿真抽样从而得到任意时刻的可靠度，抽样算法如算法所示。算法冷备系统可靠度估计抽样方法已知：给定系统个部件寿命分布概率密度函数（）（）和抽样次数，任意工作时刻，令 。步骤由（
11、）（）分别抽样得到部件寿命样本，令工作位置的累计寿命 （），；步骤寻找到所有（）中的最小值，在该 上增加，并令；步骤重复步骤，（）次后，可以得到最终个 值，则系统寿命 （）；步骤 ，；步骤重复步骤步骤 次，时刻的可靠度近似值为（）。需要指出的是，仿真方法适用于分布更为复杂的情况，在实际应用中，仅需要将算法进行对应调整即可，本文在算例中也将进行详细分析。剩余寿命的近似计算 组合辛普森公式第节讨论了不同情况下获得冷备系统任意时刻可靠度的方法。由式（）可知，要对分子中的积分进行计算，相对复杂，很多情况下难以推导得到闭合表达式，即使获得了冷备系统可靠度的解析表达，由于其形式复杂，积分计算工作量也很大，
12、因此本节基于组合辛普森公式引入近似计算方法。近似计算方法简单高效，适用范围广，表现出了更大的优势。利用可靠度函数与剩余寿命的关系，在通过解析、数值、仿真方法获得任意时刻系统可靠度的基础上，可以通过求解得到剩余寿命的点估计与区间估计。对于式（），本文采用组合辛普森公式进行计算。如果（），则存在，使得，上个子区间的组合辛普森公式和截断误差项 满足：（）（）（）（）（）（）（）（）式中：（）；（）（）为（）在的四阶导数。所以式（）中的（）可以近似计算如下：（）（）（）（）（）（）式中：为足够大的正数；为划分的区间个数，且（）。显然，的 取 值 对 结 果 会 产 生 影 响，相 关 分 析 见第.节
13、。系统工程与电子技术第 卷 误差分析上述方法计算剩余寿命的误差主要存在于采用梯形法则近似计算卷积产生的误差，采用辛普森公式求解积分产生的截断误差以及将无限区间的积分转化为有限区间积分所产生的截断误差。一般地，区间划分个数，越大，以及所选有限区间，中的区间上限越大，计算精度越高，误差也越小。剩余寿命方差推导如下：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中，（）（）（）（）（）（）（）所以，随机变量的方差为 （）（）（）（）（）（）（）（）（）接下来会先后通过与真值比较，寻找积分区间，的上限、卷积区间划分个数、积分区间划分个数的一般确定原则，以使得所产生的误差在允许范围内。其中，
14、区间上限的确定就是通过寻找合适的正整数，使得积分区间，（）所产生的误差在接受范围内，其中（）为寿命的期望，为寿命变量的标准差，即 （）。算例分析 部件服从指数分布的冷备系统以中取的冷备系统为研究对象，假设部件完全相同并且相互独立，均服从失效率.的指数分布。.区间的确定由式（）和式（），可得寿命分布的期望为（），方差为 （）。表展示了在积分区间上限的不同设定下，寿命的点估计计算结果。表不同积分区间下的相对误差 积分区间寿命估计相对误差，由表可知，一般情况下，取值区间上限越大，计算所得到的寿命以及剩余寿命点估计值越准确。分析表可知，积分区间上限为（）时，误差已经明显降到 以下，因而可确定剩余寿命积
15、分区间范围为，（）时，能基本满足误差要求，当然在计算时间允许范围内，的取值越大，估计结果越精确。.的确定在确定积分区间上限的基础上，需要研究使用梯形法则时，区间划分个数的确定方法和原则。为了更清晰地进行比较，首先利用式（）和式（）获得当前工作时刻为 时剩余寿命的理论 ，然后通过本文提出的数值方法，分别画出分别取，时，剩余寿命的 图像，如图所示。图不同设定下的 比较 需要说明的是，为了便于对比，图（）和图（）均插入了局部放大图，且放大比例依次增大。通过分析图（）可以看到，在种设定下，误差均比较小。但在继续局部放大得到图（）后可以发现，所对应的 图像与理论 图像存在较明显的偏差，但是 和 所得到的
16、两条曲线仍然没有明显区别。因而一般情况下，值越大，结果越准确，考虑计算成本，令 更好。.的确定给定积分区间和的设定值后，研究使用组合辛普森公式（）的区间划分个数的确定方法。表给出了不同的误差。通过分析表可知，随着区间划分个数的增加，估计误差逐渐减小。区间长度为 ，因而一般情第期赵骞等：冷备系统剩余寿命近似计算方法 况下，当区间划分个数设定大于时，即可保证误差在允许范围内。表不同下的相对误差表 寿命估计相对误差 剩余寿命验证第 至第 节先后研究了影响近似计算方法精度的因素，为了进一步验证在部件服从相同指数分布情况下，中取的冷备系统剩余寿命估计方法的准确性，改变参数值，利用式（）求得冷备系统可靠度函数，进而利用式（）计算出剩余寿命近似值，并将该近似计算结果与由文献 推导的剩余寿命点估计闭合表达式（式（）进行比较，比较结果如表所示。表不同参数下的剩余寿命估计结果 （，）理论值近似值相对误差（，）（，）（，）由表可以看出，在部件寿命服从相同指数分布的情况下，本文提出的数值方法求解冷备系统剩余寿命的方法计算结果准确，误差均在可接受范围内。部件服从相同威布尔分布的冷备系统为进一步验证本文所提方法，
