1、第 卷 第 期 年 月测绘与空间地理信息 ，收稿日期：作者简介：王伟亮（），男，河南焦作人，工程师，本科学历，主要从事测绘与工程测量工作。卡尔曼滤波灰色组合模型及其在变形监测中的应用王伟亮，何 钦，吴 桐（广东省建设工程质量安全检测总站有限公司，广东 广州）摘要：建筑物变形监测数据呈现出典型的时变、非平稳和小样本特征，导致传统单一模型难以获得满意的预测精度。针对该问题，本文提出将卡尔曼滤波与灰色模型结合构建一种组合预测模型。首先利用卡尔曼滤波对原始监测数据进行平滑滤波，对数据中所含随机干扰误差进行动态抑制；之后利用灰色模型拟合数据中隐含的变形趋势信息，从而在小样本情况下获得较长时间的预测能力。
2、基于实际建筑物变形数据开展试验，结果表明：与传统小波分析、灰色模型相比，该方法的预测精度明显提升，并且在小样本情况下具有更高的稳健性。关键词：变形监测；组合模型；卡尔曼滤波；灰色模型中图分类号：；文献标识码：文章编号：（），（，）：，：；引 言建筑物在施工及使用过程中，受自然因素以及人类活动等多方面的综合影响会出现不同程度的结构变形，若变形幅度过大则会导致裂缝的产生，严重时甚至会导致建筑物倒塌等安全事故发生，危害人民群众的生命财产安全。特别是近年来随着国民经济水平的快速发展，各种高层、超高层建筑越来越多，传统基于人工检测的方法已不能满足当前需求，探索一种实时、高精度、自动化的建筑物变形监测方法
3、对工程建设和人们的生产活动具有重要意义。目前，研究较多的建筑物变形监测方法主要有小波变换模型、线性回归模型、支撑向量机模型、灰色模型和人工神经网络模型等，上述模型在数据预测方面都有各自的优势，但同时或多或少存在一些不足：小波变换模型通过多尺度分解能对数据中的非平稳、非线性因素进行精确建模，但是小波基函数的选择和分解层数的确定对模型的预测性能影响较大；线性回归模型具有原理简单、易于实现等优点，但是面对非线性、非平稳问题时性能明显下降；支撑向量机模型特别适合于小样本，非线性条件下的数据预测领域，但是核参数的选择较为困难；灰色模型与支撑向量机类似，只需要较少的样本数即可实现较长时间的预测，但是对数据
4、中的随机噪声较为敏感；人工神经网络模型具有任意非线性函数逼近能力，通常能获得较高的预测精度，但是存在运算复杂、需要较多训练数据的问题。由于建筑物变形过程受环境、人为等多种因素影响，呈现出典型的非线性、非平稳、时变性和随机性特点，并且通常难以获得足够多的训练样本，即小样本特征明显，导致上述采用单一预测模型难以获得满意的预测结果。因此，本文将卡尔曼滤波引入建筑物变形监测领域，将卡尔曼滤波与灰色模型联合构建卡尔曼滤波灰色组合预测模型，利用卡尔曼滤波对原始监测数据进行平滑滤波，消除数据中的随机误差，然后采用灰色模型对数据中变形趋势信息进行提取，从而提升变形预测精度。最后采用工程实例开展验证实验，并与小
5、波模型、灰色模型进行对比分析，对所提方法的性能进行验证。卡尔曼滤波灰色组合模型 自适应卡尔曼滤波由于建筑物变形监测数据时变、非线性和非平稳特征，本文选用方差补偿自适应卡尔曼滤波对其进行平滑滤波，并抑制其中的随机噪声。方差补偿自适应卡尔曼滤波算法利用真实值与预测值之间的参数实现对噪声协方差的动态修正，相对于其他卡尔曼滤波算法能够获得更接近实际情况的状态向量。经典卡尔曼滤波的状态方程和观测方程为：，（）其中，和 分别为第 和 期的状态向量，为第 期到第 期的状态转移矩阵，为第 期动态噪声矩阵，为第 期观测噪声系数矩阵，和 分别为当前第 期的观测向量和观测矩阵，为观测噪声矩阵。第 期预测残差 可以按
6、式（）计算得到：?（）其中，和?分别为第 期观测值和对应的最佳预测，根据式（）可知，?。假设的协方差矩阵为，则根据式（）可以推导出：（）（）其中，为 均值，概率分布服从高斯函数的随机变量，根据文献可以推导出，观测噪声协方差矩阵的最小二乘估计为：（）（）其中，。根据式（）可以计算得到未来任意时间观测噪声协方差矩阵的实时估计值。从式（）式（）可以看出，在给定状态向量和观测噪声协方差矩阵初值的情况下，根据自适应卡尔曼滤波迭代公式进行递推运算能够有效滤除数据中的随机干扰和噪声分量。灰色（，）模型灰色模型（，）是以常微分方程为基础的一种预测模型，通过对少量观测数据内部之间的联系进行分析挖掘从而获得数据未
7、来较长时间的发展趋势。根据模型变量的个数可以分为一阶一元预测模型（，）、一阶多元预测模型（，）以及多阶多元预测模型（，），其中（，）模型简单且直接反映数据随时间的变化关系，因此，常被用于变形监测领域。对于给定监测时间序列 ，其中，利用（，）模型进行建筑物变形监测的建模步骤为：步骤 构建一阶线性灰微分方程：，（）其中 为发展系数，为灰作用量，为白化背景值。步骤 利用最小二乘法计算 和 的估计值，此时式（）白化模型可以表示为：（）（）（）步骤 对式（）求解得到时间相应函数为：?|（）其中?为 的预测值。步骤 根据式（）对?进行一次累减运算得到原始数据的预测序列：?，（）从上述构建灰色模型步骤可以看
8、出，由于（，）模型是基于差分方程实现的，因此，当数据中存在随机误差，波动较大时，会降低模型的预测性能。卡尔曼滤波灰色组合模型建立从上述分析可知，自适应卡尔曼滤波能够有效滤除各种因素给原始变形监测数据带来的随机噪声，而（，）模型只需少量观测样本即可对数据未来较长时间的发展趋势进行拟合，将自适应卡尔曼滤波与（，）模型相结合，能够提升算法稳定性和预测精度。图 给出了卡尔曼滤波灰色组合模型的流程图，首先采用自适应卡尔曼滤波算法对原始监测数据进行平滑滤波，然后利用（，）模型对滤波后的数据进行建模，从而得到数据变化趋势项，并最终实现对建筑物未来变形的合理预测。图 所提算法流程图 测绘与空间地理信息 年 实
9、例分析为了验证本文所提方法的预测性能，利用广州市某高层建筑沉降监测点 年 月至 年 月的监测数据开展验证实验。图 给出了试验中监测点位的布置图，总共包含分布在楼顶各处的 个监测点，每个监测点共获得监测数据 期。试验中首先选取每个监测点前 期数据作为训练样本，利用自适应卡尔曼滤波和（，）进行建模，然后对后 期数据构成的测试样本进行预测，利用残差均值和残差方差 种评价指标对不同方法的预测性能进行定量评估，残差均值越小表明预测准确率越高，残差方差越小表明预测稳定性越好。同时在相同条件下利用传统小波变换模型和灰色模型开展试验以便对比分析。图 监测点布置示意图 自适应卡尔曼滤波噪声抑制首先利用自适应卡尔
10、曼滤波方法对观测数据进行滤波平滑，状态参数初始值设置为（），方差分量设置为（）（）。按 小节介绍的自适应卡尔曼滤波算法流程编写 代码程序，对前 期的监测数据进行处理，表 中以监测点 为例给出了滤波前后的结果。可以看出经卡尔曼滤波后的数据与原始数据之间的残差均在 值附近波动，且最大残差也不大于，表明滤波后数据与原始数据保持了较高的一致性和契合性，同时对其中包含的随机误差进行了抑制，并没有对原始数据趋势项产生影响。表 监测点 监测数据滤波结果 监测数据实测数据（）滤波结果（）残差值（）图 和图 分别给出了监测点 滤波前后数据对比图以及残差曲线变化图，可以看出经过卡尔曼滤波后，数据变化更加平缓，趋势
11、性更明显，同时滤波前后残差变化呈现收敛趋势，表明本文提出的自适应卡尔曼滤波能对原始数据内部的随机误差进行削弱和抑制，使其较原始数据更接近于真值。图 卡尔曼滤波结果 图 残差变化曲线 预测结果及分析根据图 所示算法流程，对经过卡尔曼滤波后的监测数据，利用（，）模型提取趋势项，进而计算得到未来 期测试数据的计算结果（见表），表 中同时给出了采用小波变换模型和（，）模型进行预测得到的结果。图 给出 种方法预测结果残差变化曲线，从表 和图 所示结果可以看出，所提方法得到的预测结果与真实值更加接近，残差波动范围最小，与残差零点参考线的位置最为靠近，相对于小波变换模型和（，）模型获得的预测性能更优。进一步
12、对所提方法获得的每期数据预测残差求平均得到的残差均值为 ，残差方差为，相对于小波变换模型（残差均值，残差方差）提升，相对于（，）模型（残差均值，残差方法）提升，表明经过卡尔曼滤波剔除数据中的随机干扰噪声后，能够明显提升（，）模型的预测精度，也即通过将单一模型进行组合，取长补短构成的组合模型更适合于分析和处理动态变形监测数据。表 不同方法预测结果 监测数据实测数据（）所提方法小波变换模型（，）模型预测值（）残差（）预测值（）残差（）预测值（）残差（）第 期王伟亮等：卡尔曼滤波灰色组合模型及在变形监测中的应用图 残差变化曲线 为了进一步验证所提模型的预测稳定性，本文将对 号监测点的所有测试数据进行
13、预测处理得到结果的平均残差和残差方差，并绘制于图、图，可以看出本文所提模型对所有点位的预测精度均高于小波变换模型和（，）模型，残差均值均在 以内，波动性较小，起伏较为平缓，验证了本文所提方法的预测稳定性。图 号监测点残差均值变化曲线 图 号监测点残差方差变化曲线 实际工程实践中，监测工作耗时较长，如果能够以少量监测数据完成模型训练，从而对后续较长时间的变化趋势进行高精度的预测具有较高的应用价值。表 给出了分别采用 期、期、期、期和 期监测数据作为训练样本，对未来 期、期、期、期和 期数据进行预测得到的预测残差均值和残差方差，可以看出，当采用前 期监测数据作为训练样本时，所提方法获得的预测结果已
14、经接近于采用前 期监测数据，而小波变换模型和（，）模型则分别需要前 期和前 期数据，验证了所提方法在小样本情况下的预测能力。表 训练样本数不同时 种方法的预测结果 训练数据期数所提方法小波变换模型（，模型）残差均值（）残差方差残差均值（）残差方差残差均值（）残差方差 结束语建筑物变形是一种典型的非平稳、非线性随机过程，并且监测数据采集和处理过程较为复杂和耗时，传统单一预测模型难以获得满意的预测精度和稳定度。本文将卡尔曼滤波引入建筑物变形监测领域，将其与灰色模型结合构成卡尔曼滤波灰色组合模型，充分利用卡尔曼滤波的随机干扰噪声抑制能力和灰色模型小样本情况下的预测能力，提升单一模型的预测性能。基于实
15、际变形数据的实验结果表明，本文所提方法相对于传统小波变换模型和灰色模型可以获得更高的预测性能，具有较高的应用价值。参考文献：卫建东现代变形监测技术的发展现状与展望测绘科学，（）：兰孝奇 精密变形监测数据处理方法及其应用研究南京：河海大学，张建奇基于改进 的噪声稳健建筑物变形监测方法北京测绘，（）：袁德宝 变形监测数据的小波分析与应用研究北京：中国矿业大学（北京），谭超基于小波去噪灰色预测混合模型在变形监测中的应用研究西安：西北大学，过静珺，商瑞斌利用 监测高大建筑物动态位移法研究工程勘察，（）：王新洲，樊倩，徐成权，等基于小波变换和支持向量机的大坝变形预测武汉大学学报（信息科学版），（）：杨小虎，朱庆伟，沈宇恒，等改进灰色时序模型在建筑物变形监测中的应用西安科技大学学报，（）：李霞，孙茂军，黄永生 神经网络模型在 变形监测中的应用研究甘肃科学学报，（）：高彩云，高宁改进极限学习机的不同类型滑坡位移预测西安科技大学学报，（）：刘思敏，徐景田，鞠博晓基于 和 神经网络的大坝形变预测测绘通报，（）：段明旭，邱冬炜，李婉，等改进灰色人工神经网络模型的超高层建筑变形预测测绘科学，（）：李奕自适应卡尔曼滤波在变形监测数据处理中的应用研究 以太原万达广场 区基坑监测为例成都：成都理工大学，编辑：刘莉鑫 测绘与空间地理信息 年
