1、南 开 大 学 学 报（自然科学版）Acta Scientiarum Naturalium Universitatis NankaiensisVol.561Feb.2023第56卷第1期2023年2月文章编号:0465-7942(2023)01-0071-05具有可求和二分性非线性离散系统的反周期解孟鑫(吉林师范大学 数学与计算机学院,吉林 四平 136000)摘要：研究了一类具有可求和二分性非线性离散系统的反周期解.应用Leary-Schauder度理论,给出了非线性离散系统存在反周期解的充分条件.最后通过例子说明了主要结论在实际问题中应用.关键词：离散系统;可求和二分性;反周期解;Lear
2、y-Schauder度中图分类号：O175.12文献标识码：A0引言周期性问题是离散系统理论研究中的一个经典问题,离散系统反周期解的研究与周期解的研究是密切相关的.反周期解在一些物理过程的数学模型中,以及偏微分方程和抽象微分方程研究中得到广泛关注.而反周期解的存在性和稳定性在描述离散系统动力学行为中同样起着重要作用.近年来,许多学者对离散系统的反周期解存在性问题进行了深入的研究,获得了一些有趣的结果1-4.指数型二分性与指数型三分性是研究非线性微分方程以及非自治离散系统的重要的工具,关于指数型二分性与指数型三分性在离散动力系统中的应用,已经有了一些基本的结论5-8.可求和二分性是指数型二分性的
3、推广,文献9-10应用可和二分性研究了离散系统解的存在性问题.对于离散动力系统x(n+1)=f(n,x(n),(1)其中,x:Z Rd,f:Z Rd Rd连续.若存在正整数N,对任意n Z,x Rd,f(n+N,x)=-f(n,-x),则称系统(1)为N-反周期系统.若系统(1)的解x(n)满足x(n+N)=-x(n),则称x(n)为系统(1)的N-反周期解.主要研究非线性离散N-反周期系统(1)反周期解的存在性.借助可求和二分性,并利用 Leary-Schauder度理论,给出上述系统N-反周期解存在的充分条件,并通过例子说明该充分条件在实际问题中的应用.1预备知识对于线性系统x(n+1)=
4、A(n)x(n),(2)其中,A:Z Rd d,x:Z Rd.设(n)是系统(2)的基本解矩阵,且满足(0)=I.若存在投影P,以及常数K,0,使得|(n)P-1(m)Ke-(n-m),n m,|(n)(I-P)-1(m)Ke-(m-n),m n,则称系统(2)具有指数型二分性.若存在投影P和常数 0,使得孟 鑫:具有可求和二分性非线性离散系统的反周期解收稿日期：2021-11-17基金项目：国家自然科学基金(10971084)作者简介：孟 鑫(1980-),男,吉林九台人,副教授,研究方向:动力系统E-mail 72 南 开 大 学 学 报（自然科学版）第56卷G(n,m)=(n)P-1(m
5、),n m,-(n)()I-P-1(m),m n满足supn Zm=-+|G(n,m)=,则称系统(2)具有可求和二分性.注若系统(2)关于投影P,以及常数K,0具有指数型二分性,则m=-+|G(n,m)m=-n-1Ke-(n-m)+m=n+Ke-(m-n)=K(e+1)e-1,故系统(2)具有可求和二分性.类似于文献中4的结果,可以得到下面两个命题.命题1设N是正整数,若(n)是系统(2)的基本解矩阵,且A(n+N)=A(n),则(n+N)也是系统(2)的基本解矩阵,且对任意m,n Z有(n+N)P-1(m+N)=(n)P-1(m),(n+N)(I-P)-1(m+N)=(n)(I-P)-1(
6、m).命题2对于系统x(n+1)=A(n)x(n)+e(n),(3)若系统(2)具有可求和二分性,且A(n+N)=A(n),e(n+N)=-e(n),则x(n)=m=-n-1(n)P-1(m+1)e(m)-m=n+(n)()I-P-1(m+1)e(m)是系统(3)的一个有界N-反周期解.2主要结果设N是正整数,当a,b Z且a b时,记 a,b=a,a+1,b.考虑非线性离散系统(1)的N-反周期解的存在性.设AP(Z,Rd)=x:x(n+N)=-x(n),n Z,其中,x:Z Rd,并且定义AP(Z,Rd)上的范数为 x=maxn 0,N-1|x(n),则(AP(Z,Rd),)为Banach
7、空间.对于任意x AP(Z,Rd),定义映射T为Tx(n)=m=-+G(n,m)f(m,x(m)-A(m)x(n),其中,f(n+N,x)=-f(n,-x),A(n+N)=A(n).根据命题1,Tx(n+N)=m=-+G(n+N,m)f(m,x(m)-A(m)x(m)=m=-n+N-1(n+N)P-1(m+1)f(m,x(m)-A(m)x(m)-m=n+N+(n+N)(I-P)-1(m+1)f(m,x(m)-A(m)x(m)=m=-n-1(n+N)P-1(m+N+1)f(m+N,x(m+N)-A(m+N)x(m+N)-m=n+(n+N)(I-P)-1(m+N+1)f(m+N,x(m+N)-A(
8、m+N)x(m+N)=-m=-n-1(n)P-1(m+1)f(m,x(m)-A(m)x(m)+m=n+(n)(I-P)-1(m+1)f(m,x(m)-A(m)x(m)=-Tx(n),第1期孟 鑫:具有可求和二分性非线性离散系统的反周期解 73 故T:AP(Z,Rd)AP(Z,Rd)是良定义的.根据命题2,T的不动点即为系统(1)的N-反周期解.考虑半线性系统x(n+1)=A(n)x(n)+f(n,x(n)-A(n)x(n),(4)其中,x AP(Z,Rd),0,1.定理1设f(n+N,x)=-f(n,-x),A(n+N)=A(n),若半线性系统(4)所有可能N-反周期解满足 x=maxn 0,
9、N-1|x(n)M,其中M是与无关的常数,则系统(1)存在N-反周期解.证明设 AP(Z,Rd),并满足=x AP(Z,Rd):x=maxn 0,N-1|x(n)0具有可求和二分性,且f(n+N,x)=-f(n,-x),A(n+N)=A(n),并存在常数 0和L 0,使得|f(n,p)-A(n)p|p+L,n Z,p Rd.若 0具有指数型二分性,且f(n+N,x)=-f(n,-x),A(n+N)=A(n),并存在常数 0和L 0,使得|f(n,p)-A(n)p|p+L,n Z,p Rd.若K(e+1)e-1 1,则系统(1)存在N-反周期解.3应用实例例1设f(n,p)=|p p()21+|
10、p2sin2n2|p p()11+|p2(1-cos4n2)+73p()2,其中,p=()p()1p()2 R2,则系统(1)存在2-反周期解.74 南 开 大 学 学 报（自然科学版）第56卷证明设A=()13002,P=()1000,则系统x(n+1)=Ax(n)的基本解矩阵(n)=()(13)n002n.于是,=supn Zm=-n|(n)P-1(m)+m=n+1+|(n)(I-P)-1(m)=52,故线性系统x(n+1)=Ax(n)关于投影P=()1000和=52满足可求和二分性.易见对任意n Z,p R2,f(n+2,p)=-f(n,-p),又因为f(n,p)-Ap=|p p()21
11、+|p2sin2n2-13p()1|p p()11+|p2(1-cos4n2)+13p()2,则|f(n,p)-Ap 13|p+1,p Rd,即=13,L=1,故=13 52=56 1.因此,根据定理2,系统(1)存在2-反周期解.例2设f(n,p)=|p()21+|psinn2+p()13p()11+|pcosn+p()23,其中,p=()p()1p()2 R2,则系统(1)存在2-反周期解.证明设A=130013,P=()1001,则系统x()n+1=Ax(n)的基本解矩阵(n)=()13n00()13n.于是,对于K=1,当n m时,|(n)P-1(m)=3m-n em-n=Ke-()n
12、-m,当m n时,|(n)(I-P)-1(m)=0 en-m=Ke-()m-n,故线性系统x(n+1)=Ax(n)关于投影P=()1001和K=1满足指数型二分性.易见对任意n Z,p R2,f(n+2,p)=-f(n,-p),又因为f(n,p)-Ap=|p()21+|psinn2p()11+|pcosn,则|f(n,p)-Ap 1,p R2,即=0,L=1.因此,根据推论1,系统(1)存在2-反周期解.参考文献1Chen X,Song Q.Global exponential stability of antiperiodic solutions for discrete-time neur
13、al networks withmixed delays and impulsesJ.Discrete Dynamics in Nature and Society,2012,2012(6):726-737.2Tian Y,Henderson J.Anti-periodic solutions of higher order nonlinear difference equations:a variational approachJ.Journal of Difference Equations and Applications,2013,19(8):1 380-1 392.3Cabada A
14、.The method of lower and upper solutions for periodic and anti-periodic difference equationsJ.Electronic第1期孟 鑫:具有可求和二分性非线性离散系统的反周期解 75 Transactions on Numerical Analysis,2007,27:13-25.4孟 鑫.具有指数型三分性差分方程的反周期解J.南开大学学报:自然科学版,2019,52(1):76-81.5Berezansky L,Braverman E.On exponential dichotomy,Bohl-Perron
15、 type thorems and stability of differenceequationsJ.J Math Anal Appl,2005,304(2):511-530.6Papaschinopoulos G,Schinas J.Criteria for an exponential dichotomy of difference equationsJ.Czech Math J,1985,35(2):295-299.7Aulbach B,Minh N.The concept of spectral dichotomy for linear difference equationsJ.J
16、 Math Anal Appl,1994,185(2):275-287.8Huy N,Ha V.Exponential dichotomy of difference equations inlp-phase spaces on the half-lineJ.Adv DifferEqu,2016,2016(1):1-14.9Cuevas C,Pinto M.Convergent solutions of linear functional difference equations in phase spaceJ.Journal ofMathematical Analysis and Applications,2003,277(1):324-341.10Campo L D,Pinto M,Vidal C.Bounded and periodic solutions in retarded difference equations using summabledichotomiesJ.Dynamic Systems and Applications,2012,21(1):1-15.Anti
