1、中国科学:数学2023年第53卷第2期:279300SCIENTIA SINICA Mathematica论文英文引用格式:Tang W,Zhou Y.Equivalence and automorphism groups of two families of maximum scattered linear sets(inChinese).Sci Sin Math,2023,53:279300,doi:10.1360/SSM-2022-0073c 2022中国科学 杂志社两类最大散射线性集的等价性与自同构群献给朱烈教授80华诞唐薇,周悦国防科技大学理学院,长沙 410073E-mail:,y
2、ue.zhou.ovguoutlook.de收稿日期:2022-04-28;接受日期:2022-07-21;网络出版日期:2022-09-16;*通信作者湖南省自然科学基金(批准号:2019RS2031)和长沙市杰出创新青年培养计划(批准号:kq2106006)资助项目摘要有限域上射影空间中的线性集在阻碍集、半域和秩度量码等的研究中起着核心作用.具有最大可能的元素个数和最大秩的线性集称为最大散射线性集.经过近20年的研究,目前已知的射影直线上最大散射线性集的个数仍然较少,其中包含Csajb ok等(2018)和Marino等(2020)构造的两类.本文旨在解决这两类最大散射线性集中每一类中元素
3、的等价问题,并确定它们的自同构群.关键词线性集秩距离码有限几何线性多项式MSC(2020)主题分类05B25,51E20,51E221引言线性集的概念由Lunardon12提出,它是有限几何中子几何这一概念的推广.在过去20年对有限几何和编码理论的研究中,线性集被广泛研究并应用于构造和刻画各类对象,包括阻断集(blockingsets)、二相交集(two-intersection sets)、Cayley广义六边形的平移展形(spread)、极空间的平移卵形体(ovoid)、半域和秩度量码.更多内容可参见文献2,8,1618及其中所列的参考文献.本文只讨论射影直线上的线性集.令=PG(V)=P
4、G(1,qn),其中,V是Fqn上的2维向量空间,PG(projective geometry)表示射影几何,那么是一条射影直线.若中的秩为k的点集L是被V中一个Fq-向量子空间U中的非零向量定义,即L=LU:=Fqn:u U 0,那么L称为Fq-线性集,其中U的维数称为L的秩.对于任意秩为k的Fq-线性集LU,易知|L|6qk 1q 1.唐薇等:两类最大散射线性集的等价性与自同构群如果等号成立,那么LU称为散射(scattered)线性集.Blokhuis和Lavrauw3称中一个具有最大秩k=n的散射线性集为最大散射线性集.在射影半线性群(projective semilinear gro
5、up,PL)PL(2,qn)的作用下,总可以假设中秩为n的线性集LU不包含点Fqn.从而U和LU可以表示为Uf=(x,f(x):x Fqn以及Lf=Fqn:x Fqn,其中f是Fqn上的q-多项式,即f=n1i=0aiXqi FqnX.容易证明,Lf是散射的当且仅当对于任意z,y Fqn,等式f(z)z=f(y)y意味着z和y是Fq-线性相关的.因此,Sheekey18称满足此条件的q-多项式为散射多项式.迄今为止,在PG(1,qn)中只有3类最大散射线性集对于无穷多个n成立.为了方便起见,下面列出Fqn上相应的散射多项式:(i)f=Xqs且满足条件gcd(s,n)=1,那么Lf称为伪正则型的
6、线性集(参见文献3);(ii)f=Xqs+Xqns且满足条件n 4,Nqn/q()/0,1及gcd(s,n)=1,由Lunardon和Polverino13提出,后来由Sheekey18推广.(iii)f=Xqs+Xqs(m1)+h1+qsXqs(m+1)+h1q2msXq2ms,其中,q为奇数,n=2m 6,hqm+1=1且满足条件gcd(s,n)=1.这由Longobardi和Zanella11首次引入,后来在文献10,15中推广到一个大类.本文主要研究PG(1,q6)和PG(1,q8)上的几类最大散射线性集.下面列出它们相应的散射多项式:(a)xq+xq3+xq5定义在Fq6上,且2+=
7、1以及q为奇数(参见文献14).(b)xqs+xqs+m定义在Fq2m上,且m 3,4,gcd(s,m)=1以及满足某些条件(参见文献6).为了方便起见,使用F6和F8分别表示m=3和m=4时(b)中给出的线性集类.用f,m代表F6或F8中参数为(,m)的相应散射多项式.当m=3时,文献5已经说明对于q 4和Nq6/q3()=1,总是可以找到 Fq2使得f,3是散射多项式.Bartoli等1完全确定了使得f,3是散射多项式的的个数.当m=4时,文献5也证明了,若q为奇数,Nq8/q4()=1且2=1,那么f,4一定是散射多项式.此外,Timpanella和Zini20证明了,在q为奇素数的方幂
8、和q 1,039,891的条件下,f,4是散射的当且仅当1+q4=1.对于PG(1,qn)上的两个线性集LU和LW,如果存在PL(2,qn)中的元素使得LU=LW,则称LU和LW是PL-等价(或射影等价)的.对于给定的q和n,显然,伪正则型中仅有唯一的最大散射线性集,因为对于任意满足条件gcd(s,n)=1的整数s,有:x Fqn=:x Fqn.Lunardon-Polverino类中不同元素的等价性问题已经被Tang等19解决.Longobardi-Zanella类中的等价性问题也在文献11中部分解决.280中国科学:数学第 53 卷第 2 期本文主要研究(a)和(b)这两类散射多项式所定义
9、的最大散射线性集的等价性问题.首先,第3节证明在PL-等价的意义下,(a)中只包含一个元素,并完全确定其自同构群.其次,第4节分别给出F6和F8这两类最大散射线性集中各自元素之间等价的充分必要条件,并进一步确定其自同构群.相关结果的主要证明思路如下:首先将相关线性集之间的PL-等价性转化为相应多项式映射像集的等价性;通过进一步分析和验证这些多项式系数之间的一些必要条件,同时考虑其伴随多项式的一些性质,来完成等价性的判断与自同构群的计算.本文余下的内容安排如下:第2节介绍关于最大散射线性集等价性的一些预备知识和辅助结果.第3节主要讨论由(a)中给出的散射多项式导出的线性集的等价问题,并确定它们的
10、自同构群.第4节讨论F6和F8中线性集的等价问题.第5节简要总结全文的内容.2预备知识有限域Fqn上的一个q-多项式(或一个线性化多项式)具有如下形式:f=ki=0aiXqi,其中,ai Fqn,k为正整数.用Ln,q表示Fqn上所有次数小于qn的q-多项式的集合.则在Ln,q和Fqn上的Fq-线性映射之间存在一个双射.有关线性化多项式的更多内容,参见文献9,第3章,第4节.在Fq上考虑具有如下形式的Fqn上的非退化对称双线性型:对于任意x,y Fqn=Trqn/q(xy),其中Trqn/q(x)=x+xqn1.对于q-多项式f=n1i=0aiXqi和上述双线性型,定义f的伴随多项式f为满足如
11、下条件的q-多项式:对于任意y,z Fqn,有Trqn/q(yf(z)=Trqn/q(zf(y).容易证明f一定满足f=n1i=0aqniiXqni.(2.1)下面由一个q-多项式的伴随定义的线性集相关的结果,分别在文献2,引理2.6和19,引理2.1中得到了两种不同的证明方法.引理2.1令f为Ln,q中一个q-多项式.那么对于任意b Fqn,有#x Fqn:f(x)x=b=#y Fqn:f(y)y=b.(2.2)此外,Lf=Lf.对于Fqn上的两个q-多项式f和g,令Uf=(x,f(x):x Fqn和Ug=(x,g(x):x Fqn,如果存在 L(2,qn)使得Uf=Ug,那么定义Uf与Ug
12、是一般半线性群(general semilinear group,L)-等价的.根据定义,可以直接得到以下结论.281唐薇等:两类最大散射线性集的等价性与自同构群引理2.2对于Fqn上的两个q-多项式f和g,若Uf和Ug是L-等价的,那么Lf和Lg是PL-等价的.然而,引理2.2的逆命题不一定成立.例如,若f(x)=xq,g(x)=xqs,s=1,且gcd(s,n)=1,那么Uf与Ug不是L(2,qn)-等价的,但是显然Lf=Fqn:x Fqn=Lg.关于等价问题的更多结论,可参见文献5,7.一般而言,Uf和Ug之间的等价问题比Lf和Lg之间的等价问题更容易解决.例如,族(b)中的f和g所定义
13、的Uf和Ug与之间的等价性已经完全确定,参见下面的引理.然而,Lf和Lg之间的等价性问题将在第4节中解决.引理2.3(参见文献5,命题5.1)设U,s1=(x,xqs1+xqs1+m):x Fq2m和U,s2=(x,xqs2+xs2+m):x Fq2m是两个Fq-子空间,且,Fq2m.如果Nq2m/qm()=1,Nq2m/qm()=1,1 6 s1,s2 m且gcd(m,s1)=gcd(m,s2)=1,那么这两个Fq-子空间U,s1和U,s2是L(2,q2m)-等价的当且仅当s1=s2且Nq2m/qm()=Nq2m/qm(),或者s1+s2=m且Nq2m/qm()Nq2m/qm()=1,其中
14、Aut(Fqm).给定Fqn上的两个子集或多重集S和T,若S=T,那么对于任意非负整数d,有xSxd=xTxd.对于两个线性集,可以直接得到以下结果.引理2.4(参见文献4,引理3.4)设f和g是线性多项式.若Lf=Lg,那么对于任意非负整数d,有xFqn(g(x)x)d=xFqn(f(x)x)d.下面这个结论是众所周知的.引理2.5(参见文献4,引理3.5)设q是素数的方幂,d为整数,若(q 1)|d,则有xFqnxd=1,否则xFqnxd=0.根据引理2.4和2.5,可以得到以下关于两个线性集相等的判别准则.引理2.6(参见文献4,引理3.6)设Fqn上q-多项式f(x)=ni=1aixq
15、i,g(x)=ni=1bixqi.若Lf=Lg,则a0=b0.(2.3)对于任意k=1,2,.,n 1,有akaqknk=bkbqknk;(2.4)对于任意k=2,3,.,n 1,有a1aqk1aqknk+akaqn1aqknk+1=b1bqk1bqknk+bkbqn1bqknk+1.(2.5)282中国科学:数学第 53 卷第 2 期一般而言,在引理2.6中对f和g系数的限制条件不足以由f来唯一确定g.第3和4节将为(a)或(b)中的f和g提供一些额外的限制条件.3Marino-Montanucci-Zullo 类本节主要讨论Marino等14所构造的一类最大散射线性集的等价性问题.此类最大
16、散射线性集定义为Fq6:x Fq6,其中,2+=1,q为奇数.由此定义可得,给定q,一类最大散射线性集中最多包含两个线性集.下面的引理3.1主要讨论是属于Fq的素子域Fp还是属于Fp2.引理3.1令q为奇素数的方幂,n为整数.假设x1,x2 Fqn且x21+x1=x22+x2=1,则(i)当q 0,1(mod 5)时,x1,x2 Fq;(ii)当q 2(mod 5)时,x1,x2 Fq2 Fq.特别地,当q 0(mod 5)时,x1=x2=2.此外,x2q11=x2q12成立当且仅当x1=x2.证明令q=pm且p为素数.由二次互反律可得,5是Fp上的平方元当且仅当p 0,1,4(mod 5).假设p=5,那么X2+X 1的两个根x1和x2是相同的且x1=x2=2 Fp Fq.假设q 1(mod 5).当p 1,4(mod 5)时,5是Fp上的平方元,由此可知5也是Fq上的平方元;当p 2,3(mod 5)时,存在k Z使得q=p2k,从而5是Fq上的平方元.假设q 2(mod 5),那么p 2,3(mod 5)且存在k Z使得q=p2k+1,由此可知5不是Fq上的平方元.下面证明x2q
