1、中国科学:数学2023年第53卷第2期:233248SCIENTIA SINICA Mathematica论文英文引用格式:Bao J J,Ji L J,Pan Y Y.Constructions of column-orthogonal strong orthogonal arrays(in Chinese).Sci SinMath,2023,53:233248,doi:10.1360/SSM-2022-0062c 2022中国科学 杂志社列正交强正交阵列的构造献给朱烈教授80华诞包经俊1,季利均2,潘元瑶21.宁波大学数学与统计学院,宁波 315211;2.苏州大学数学科学学院,苏州 21
2、5006E-mail:,收稿日期:2022-04-17;接受日期:2022-06-18;网络出版日期:2022-08-17;*通信作者国家自然科学基金(批准号:11871363)资助项目摘要在计算机试验中,强正交阵列比一般的阵列具有更好的空间填充性质.强度为2+、2、3和3的强正交阵列可以改进低维的空间填充性质,列正交性在计算机试验中起着重要作用.本文利用差矩阵和线性码的生成矩阵构造强度为2+、2、3和3的列正交强正交阵列.与已知的结果相比,本文构造的列正交强正交阵列具有更多的因子数.关键词正交阵列差矩阵空间填充设计MSC(2020)主题分类05B151引言物理现象的确定性计算机模拟在科学和工
3、程中得到了广泛的应用.尤其是空间填充设计,它在计算机试验中起着重要作用,参见文献5,12.受计算机试验中的(t,m,s)-网格(nets)结构的启发,He和Tang7提出了强正交阵列(strongorthogonal array,SOA)的概念.相较于强度为t的正交阵列(orthogonal array,OA),强度为t的强正交阵列在空间维度低于t时具有更好的填充性质,同时还保留t维空间的填充性质.为了实现强正交阵列的更好性质,它的强度应当不小于3.给定因子数,强度为3的强正交阵列通常需要更多的行数.为了更经济且保持强度为3的强正交阵列的二维空间填充性质,He等6提出了强度为2+的强正交阵列.
4、在计算机试验设计中,阵列的列正交性质起着重要作用.列正交性质的优势在于列正交设计往往具有空间填充性质.更具体地,当考虑Gauss过程模型时,列正交性质可以作为基础用于寻找空间填充设计,详细的列正交性的优点参见文献1.包经俊等:列正交强正交阵列的构造2021年,Li等10提出了强度为2的列正交强正交阵列.与Zhou和Tang13所定义的OSOA(N,m,s2,2+)类似,OSOA(N,m,s3,2)也满足任意两列可以塌缩成一个OA(N,2,s2s,2)和一个OA(N,2,ss2,2),且列具有正交性.两者主要的差别在于水平数,前者的水平数是s2,而后者的水平数是s3,这蕴涵着后者在任何一维空间上
5、都实现了更精细的分层,同时后者比前者具有更好的二维平衡性10.从Zhou和Tang13及Li等10获得的结果来看,强度为2+和2的列正交强正交阵列的因子数几乎相同,强度为3和3的列正交强正交阵列的因子数也几乎相同.与强度为3的列正交强正交阵列比较,强度为2+和2的列正交强正交阵列具有更大的因子数.相较于强度为3的列正交强正交阵列,强度为2+、2和3的列正交强正交阵列还有其他好的性质(参见文献10,13).2019年,Zhou和Tang13用一对具有额外性质的正交阵列构造了强度为2+和3的列正交强正交阵列,用正则的2水平饱和设计和Hadamard矩阵构造强度为3的4水平列正交强正交阵列,并且还用
6、饱和设计OA(sk,(sk 1)/(s 1),s,2)来构造OSOA(sk,(sk1 1)/(s 1),s2,2+).Li等10也用一对具有特殊性质的正交阵列构造强度为2和3的列正交强正交阵列,还分别用2水平饱和设计OA(m,m 1,2,2)与饱和设计OA(sk,(sk 1)/(s 1),s,2)来构造OSOA(2m,m 2,8,3)与OSOA(sk,2sk112s2,s3,2).本文用差矩阵和线性码的生成矩阵来构造强度为2+、2、3和3的列正交强正交阵列,所得到的列正交强正交阵列有更多的因子数.本文也证明存在一个强度为2的强正交阵列当且仅当存在一个强度为2+的强正交阵列,存在一个强度为3的强
7、正交阵列当且仅当存在一个强度为3的强正交阵列,一定程度上解释了为何强度为2和3的列正交强正交阵列的因子数分别与强度为2+和3的列正交强正交阵列的因子数几乎相同.本文余下内容安排如下:第2节介绍预备知识以及强度为2、2+、3和3的强正交阵列之间的联系.第3节利用差矩阵给出列正交强正交阵列的3个构造方法.第4节利用线性码的生成矩阵获得列正交强正交阵列的4个构造.第5节总结全文.2预备知识和强正交阵列等价刻画一个强度为t、因子数为m的正交阵列是一个第j列元素取自于集合0,1,.,sj1的Nm阵列,满足:对于它的任意Nt子阵列,所有可能的t元组作为行在该子阵中出现相同的次数.记此阵列为OA(N,m,s
8、1sm,t).当s1=sm=s时,称此阵列是对称的,并记为OA(N,m,s,t);否则,称此阵列是非对称的.一个强度为t、因子数为m、水平数为st的强正交阵列(记为SOA(N,m,st,t)是一个元素取自于集合0,1,.,st1的N m阵列,满足:对于任意满足u1+u2+ug=t和g 6 t的正整数g与u1,u2,.,ug,它的任意N g子阵列可以塌缩成一个OA(N,g,su1sug,g).此处,水平数st塌缩成水平数suj的方式为:对于a=0,1,.,st 1,将a映射成astuj,其中w表示不超过w的最大整数.一个SOA(N,m,s3,3)满足:任意两列可以塌缩成一个OA(N,2,s2 s
9、,2)和一个OA(N,2,s s2,2),且任意三列可以塌缩成一个OA(N,3,s,3).一个强度为2+的强正交阵列,记为SOA(N,m,s2,2+),是一个元素取自于集合0,1,.,s2 1的Nm阵列,满足:任意两列可以塌缩成一个OA(N,2,s2s,2)和一个OA(N,2,ss2,2).强度为2+的强正交阵列不需要满足任意三列可以塌缩成一个OA(N,3,s,3)的要求.若一个SOA(N,m,s2,2+)的任意三列可以塌缩成一个OA(N,3,s,3),则称其是强度为3的强正交阵列,记为SOA(N,m,s2,3).一个强度为2的强正交阵列,记为SOA(N,m,s3,2),是一个元素取自于集合0
10、,1,.,s3 1234中国科学:数学第 53 卷第 2 期的OA(N,m,s3,1)且满足:任意两列可以塌缩成一个OA(N,2,s2 s,2)和一个OA(N,2,s s2,2).Lawrence9于1996年提出了广义正交阵列的概念.He和Tang7于2013年推广了Lawrence的结果,并证明存在一个强正交阵列等价于存在一个广义正交阵列.一个强度为t、水平数为s、限制数为m的广义正交阵列(generalized orthogonal array,GOA),记为GOA(N,m,s,t),是一个元素取自于集合0,1,.,s 1的N (mt)阵列A=(A11,A12,.,A1t;.;Am1,A
11、m2,.,Amt),此mt列分成每个都为t列的m个组A1,A2,.,Am,使得对于任意满足t1+t2+tm=t的非负整数t1,t2,.,tm,从每一个组Ai(1 6 i 6 m)中取出它的前ti(0 6 ti6 t)列所组成的N t子阵列是一个OA(N,t,s,t).引理2.17设A=(A11,A12,.,A1t;.;Am1,Am2,.,Amt)是一个GOA(N,m,s,t).令B=(st1 A11+st2 A12+A1t,.,st1 Am1+st2 Am2+Amt).则B是一个SOA(N,m,st,t).反之,若B是一个SOA(N,m,st,t),将B中的每一行(b1,b2,.,bm)替换成
12、(a11,.,a1t;.;am1,.,amt),则可得一个GOA(N,m,s,t),其中ai1,.,ait是bi在s进制表示下的系数,即bi=ai1 st1+ai2 st2+ait(1 6 i 6 m).对于SOA(N,m,s3,2)中的每一行(x1,x2,.,xm),将每个分量xi用s进制表示xi=is2+is+i(i,i,i 0,1,.,s 1,1 6 i 6 m),可将此行向量写成(1,1,1;2,2,2;.;m,m,m).则可得一个N(3m)阵列M=(a1,b1,c1;.;am,bm,cm).由于SOA(N,m,s3,2)的任意两列组成的子阵列可以塌缩成一个OA(N,2,s2s,2)和
13、一个OA(N,2,ss2,2),所以对于任意i=j,每个N 3子阵列(ai,bi,aj)都是OA(N,3,s,3).因此,从一个SOA(N,m,s3,2)可得一个SOA(N,m,s2,2+)(s a1+b1;.;s am+bm).反之,利用SOA(N,m,st,t)和GOA(N,m,s,t)的等价性可得,存在一个SOA(N,m,s2,2+)当且仅当存在一个GOA(N,m,s,2)M=(a1,b1;a2,b2;.;am,bm),使对于任意i=j,每个N 3子矩阵(ai,bi,aj)都是OA(N,3,s,3).令M=(s2a1+sb1+a2,s2a2+sb2+a3,.,s2 am+s bm+a1)
14、.则M是一个SOA(N,m,s3,2).因此,可得如下结论.引理2.2存在一个SOA(N,m,s3,2)当且仅当存在一个SOA(N,m,s2,2+).因为SOA(N,m,s2,3)是一个SOA(N,m,s2,2+),且满足任意3列可以塌缩成一个OA(N,3,s,3),所以由SOA(N,m,st,t)和GOA(N,m,s,t)的等价性可得,存在一个SOA(N,m,s2,3)当且仅当存在一个GOA(N,m,s,2)M=(a1,b1;.;am,bm),满足:对于任意i=j,每个N 3子阵列(ai,bi,aj)都是OA(N,3,s,3),且对于任意两两不同的i、j和k,每个N 3子阵列(ai,aj,a
15、k)都是OA(N,3,s,3).令M=(a1,b1,a2;a2,b2,a3;.;am1,bm1,am;am,bm,a1).则M是一个GOA(N,m,s,3).反之,若M=(a1,b1,c1;a2,b2,c2;.;am,bm,cm)是一个GOA(N,m,s,3),则(sa1+b1,.,sam+bm)是一个SOA(N,m,s2,3).从而可得如下结论.引理2.3存在一个SOA(N,m,s2,3)当且仅当存在一个SOA(N,m,s3,3).定理2.16存在一个SOA(N,m,s2,2+)D当且仅当存在两个N m阵列A=(a1,.,am)和B=(b1,.,bm)使得D=sA+B,A是一个OA(N,m,
16、s,2),B是一个OA(N,m,s,1)且对于任意i=j,每个(ai,bi,aj)都是OA(N,3,s,3).注2.1对于任意i=j,由于每个N 3子阵列(ai,bi,aj)是OA(N,3,s,3),所以阵列A必定是一个OA(N,m,s,2),且B是一个OA(N,m,s,1).因此,可以省略定理中的两个条件:(i)A是一个OA(N,m,s,2);(ii)B是一个OA(N,m,s,1).根据SOA(N,m,s2,3)与GOA(N,m,s,2)之间的联系,可得如下类似于定理2.1的结论.定理2.2存在一个SOA(N,m,s2,3)D当且仅当存在两个N m阵列A=(a1,.,am)和235包经俊等:列正交强正交阵列的构造B=(b1,.,bm)使得D=sA+B,A是一个OA(N,m,s,3)且对于任意i=j,每个(ai,bi,aj)都是OA(N,3,s,3).一个阵列D称为是列正交的,若中心化后阵列中任意两列的内积都为0.一个水平数为s的中心化是指将每个元素x=0,1,.,s 1转化成x s12,用集合(s)=(s 1)/2,(s 3)/2,.,(s 3)/2,(s 1)/2来标记.一个列正
