1、文章编号：（）满旗流形（）的不变爱因斯坦度量高莹莹，王瑜（四川轻化工大学 数学与统计学院，四川 自贡 ）摘要：研究了迷向表示分为个不可约子空间的满旗流形（）上的不变爱因斯坦度量，计算（）非零结构常数的值，根据其爱因斯坦方程，利用 软件得到 个不变爱因斯坦度量（差常数倍的情况下），在等距的意义下，其中有个凯莱爱因斯坦度量和个非凯莱爱因斯坦度量关键词：广义旗流形；迷向表示；爱因斯坦度量；等距中图分类号：文献标志码：（），（，）：（），（），（）：；设是连通紧半单李群，是中某环面在中的中心化子，即（），则齐性空间称为广义旗流形 如果（），则齐性空间称为满旗流形李群对应满旗流形上的不变爱因斯坦度量已经
2、得到了很多成果 等对例外李群对应的满旗流形上的不变爱因斯坦度量进行了分类；等对（）上的不变爱因斯坦度量进行了研究 其它关于旗流形上不变爱因斯坦度量的更多成果可见文献 众所周知，当计算满旗流形的不变爱因斯坦度量时，其迷向表示的不可约子空间个数越多计算越困难，这是因为爱因斯坦方程组变复杂之后，要得到爱因斯坦方程组的所有正实数解也随之增加了难度 本文通过计算机的 软件得到了满旗流（）对应爱因斯坦方程组的正实数解本文对（）上的不变爱因斯坦度量探收稿日期：基金项目：四川省科技厅项目（）通讯作者：王瑜（），女，河南漯河人，教授 ：讨，在等距的意义下，得到下面的结论：满旗流形（）在等距的意义下有个（）不变爱
3、因斯坦度量，其中凯莱爱因斯坦度量的个数为，非凯莱爱因斯坦度量的个数为广义旗流形设与分别是李群与的李代数，与分别为李代数与的复化，是的 子代数，则是的复化，（，）是李代数的 型 记（）是的对偶空间，（）是李代数的根系，那么为的根子空间分解 记，（）为根系的单根 系，是 正 根 系，为的 子 集，（）设 （）式中：，表示由生成的子集，若满足，称是第 卷第期 年月兰州理工大学学报 的补根子代数（）是的抛物子代数设 是李代数的 基，且有（，），以及，（）式中：，满足，和，那么就可以得到（）（）式中：，槡（）有是 李 群对 应 的 李 代 数（），由式（），容易得到直和分解，其中，因此有（）（）设，为的
4、单根系，为的单根系，其中，考虑分解，定义集合（）（），（）式中：，（）表示子代数的中心 由（）定义的限制映射为：记（）（），中的元素定义为根，并且可知（），（）性质根与的复不可约（）子模之间存在一一对应：（）因此，且作为（）子模两两之间不等价设，a（，）是李代数上的复共轭映射，该映射交换了的根子空间，即与（），（）所以（）就可以分解为实不可约（）子模（）（）（）式中：（）表示复共轭映射在向量空间中的不动点集 简单来讲，设，然后根据式（）可 以 得 到 与 正根对 应 的 不 可 约（）子模（）（），两者的对应关系为（）（）（）上的一个不变黎曼度量与上（）不变内积，等价将其记作，（，）（，），其
5、中：是上一个（）不变的正定对称自同态 由式（）可以得到的表示为 （）其中：中的元素为的特征值根据式（），可以表示为 （）式中：对于任意，均有显然向量，是正定对称自同态对应特征值的特征向量特征值也可以用表 示，其 中满 足（）（），把上的正定对称自同态扩张到上之后仍用来表示，即，则上的内积，也就扩张为上（）不变的对称双线性型向量：是对应特 征 值 的 特 征 向 量 对 偶 空 间（）的基用 来表示，则有 与 是对偶的，即：（）性质复线性空间上任何实（）不变的内积，有下面的形式：，（）（）式中：（），如果，则齐性流形上的不变黎曼度量，（，）构成的空间可由式（）给出（，）（，），（）式中：，齐性流
6、形上的不变黎曼度量的 张量与上（）不变的对称双线性型等价，可以表示为 （，）（，）（）第期高莹莹等：满旗流形（）的不变爱因斯坦度量 式中：，是 张量在每一个的分量性质假设，是由式（）给出的不变度量，是由上不变的序诱导出来的一个不变复结构，则是与复结构对应的凯莱度量，当且仅当对任意，（），正实数，满足 或者等价的，是凯莱度 量当且 仅当，其 中，使得（）且（）定义如果根中一个 （，）（，）满足，则称为中一个对称 引理设（，）是一个对称 ，则存在根，满足（），（），（），设 是与分解对应的（，）正交基，且满足，且时，根据文献 ，设，：（，），因此，考虑（，）（）式中：等号右边为取遍所有满足，（，）
7、的，引理设是广义旗流形，其中是紧连通的单李群，是的根 假设的一个（，）正交分解为，其把分解为不可约的（）子模，并且这些子模之间互不等价设，是分别与的子模，对应的根，则 当且仅当（，）是一个对称 ，即引理设是满旗流形，则其非零结构常数 为（，），（）式中：，（），（），（）引理 设是一个约化齐性空间，其中是紧连通的李群 设的一个（，）正交分解为，其把分解为不可约的（）子模，并且这些子模之间互不等价则上与不变度量（）对应的 张量分量为，（）式中：（），为度量在上的分量不变爱因斯坦度量设为满旗流形，且是的一个（，）正交分解，那么集合槡槡，槡槡槡，（）（）是的（，）正交基定义设（），图为满旗流形（）的
8、 图图（）的 图 （）下面考虑（）上的不变爱因斯坦度量设（），（）和（），则（），因此迷向和分解为，且 （）（）通过引理，可以得到其非零结构常数，引理满旗流形（）的非零结构常数的值 ，证明根 据 李 代 数 的 知 识，得 到，（）（，），（，）（，），其中，是使 且成立的非负整数通过引理，计算满旗流形（）上的非零结构常数如下所示：，（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）兰州理工大学学报 第 卷 ，（，）因为（，）（，）（，），代入后可得 引理满旗流形（）上对应黎曼度量的 张量的分量（，）为 烅烄烆证明将 （）（）与非零结构常数代入式（）即可得到上述结果对于满旗
9、流形（）来说，其不变黎曼度量是爱因斯坦度量的充要条件是存在正常数使得，或者等价于：（）通过引理和式（），可以得到如下的等价方程组：烅烄烆第期高莹莹等：满旗流形（）的不变爱因斯坦度量 烅烄烆解上述方程组后得到的所有正解，确定了满旗流形（）上所有（）不变爱因斯坦度量（，），利用 软件，可以得到在（）上的 个不变爱因斯坦度量，结果由下面的定理给出：定理在差常数倍的意义下，满旗流形（）上（）不变爱因斯坦度量的个数为，结果如下：（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（
10、）（），（）（），（）（），（）（），（）兰州理工大学学报 第 卷（），（）（），（）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）第期高莹莹等：满旗流形（）的不变爱因斯坦度量 其中（）（）是凯莱爱因斯坦度量注定理中非凯莱爱因斯坦度量的计算结果保
11、留小数点后五位度量的等距问题设为广义旗流形，其迷向分解为，并且 ，对上任意不变爱因斯坦度量（，），确定一个不变量，其中是的数量曲率，且有，其中，是（，）诱导出的正规度量的体积 通常规定，因此得 根据文献，数量曲率由式（）给出：，（）式中：为 张量的分量数量曲率是关于变量（，）的次数为的齐次多项式体积是次数为的单项式，因此是一个次数为的齐次多项式，在度量差常数倍的情况下，是不变的如果两个度量与等距，则一定有，因此，如果不变量与不相等，则度量与一 定 不 等 距 但 是，如 果 不 变 量，不能判定与是否等距，如果要判定两个度量与等距，必须找到李代数的 群中元素，且满足（）根据式（），计算度量（）
12、到（）的的近似值如下：（）（）（）（）（）（）因为满旗流形只有一个不变复结构，所以（）的所有凯莱爱因斯坦度量是等距的 又因得到非凯莱爱因斯坦度量中两个不相等的不变量，所以（）中至少有两个不等距的非凯莱爱因斯坦度量事实上（）有三个不等距的非凯莱爱因斯坦度量，下面就来证明这一结论令，是（）对应李代数的单根系，那么（）的 群由，生成，满足：（）（，）（，），（，）（，）其中，是使，成立的非负整数令，是（）对应李代数的正根，然后就可以得到（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）设由，生成，由，生成，若存在，使得（）或者（），此时的作用
13、为，这会引起与对应的变换为所以（）的 群对李代数（）根系的作用引起对（）不变度量（，）（，）的分量的作用下面就以为例说明对的分量如何作用设（，）（，），根据对根系的作用，那么就可以得到：，：兰州理工大学学报 第 卷，：，：，并且它将迷向表示，映为它们自身 这时与交换，与交换，那么就记（）（，）同理，其它 群中的元素也通过这样的方式作用到上所以如果是（）爱因斯坦方程组的正数解，那么（）（，）（）（，）（）（，）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（
14、）（，）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（，）烅烄烆（）也是（）爱因斯坦方程组的正数解，且由式（）得到的度量都是等距的，他们均等距于（，），所以，如果（，）是不变爱因斯坦度量，那么对于任意的（除了恒等映射 外），由式（）得到的 个度量一定包含度量（）根据求得的非凯莱爱因斯坦度量的两个不变量，下面分情况证明在等距意义下（）不变非凯莱爱因斯坦度量的个数为当（）（）时令（）（，）（，），根据（）的 群中元素的作用，可以通过式（）得到 个正解，其中除了它本身之外有个
15、是不相等的，因而就能得到度量（）到（），并且这些度量都与（）等距当（）（）时虽然（）（），但 是 对 于 度 量（）和（）来说，不存在，使得（），所以（）到（）在等距意义下至少有两个非等距的爱因斯坦度量首先说明度量（）到（）是等距的：令（）（，）（，），根据（）的 群中元素的作用，可以通过式（）得到 个正解，其中除了它本身之外有 个是不相等的，因此就能得到度量（）到（），并且这些度量都与（）等距其次说明度量（）到（）是等距的：令（）（，）（，）第期高莹莹等：满旗流形（）的不变爱因斯坦度量 根据（）的 群中元素的作用，可以通过式（）得到 个正解，这些解是互不相等的，因而就能得到度量（）到（），并且这些度量都与（）等距定理满旗流形（）在等距的意义下有四个（）不变爱因斯坦度量，在差常数倍的情况下分别为），（）（，）（，）（，）其中是）唯一的凯莱爱因斯坦度量，）是非凯莱爱因斯坦度量致谢：本文得到四川轻化工大学留学归国项目（）的资助，在此表示感谢参考文献：，（）：，（），（）：，：，（），（）：，：，（）：，（）：，：，：，：，（）：，：，兰州理工大学学报 第 卷
