1、第 39 卷第 1 期2 0 2 3 年1 月自 然 辩 证 法 研 究Studies in Dialectics of NatureVol 39，No 1Jan，2023文章编号:1000 8934(2023)1 0116 07庞加莱定性思想的决定论意涵李娟，高洋(西北大学 科学史高等研究院，西安 710127)收稿日期:2022 1 27基金项目:国家自然科学基金面上项目“全球背景下的近代东亚数学知识交流图谱的构建”(11971380);陕西省自然科学基础研究计划项目“线性积分方程理论历史研究”(12019JQ 870)。作者简介:李娟(1997)，女，陕西安康人，西北大学科学史高等研究院
2、博士研究生，主要研究方向:近现代数学史;高洋(1989)，山西太原人，西北大学科学史高等研究院讲师，主要研究方向:西方科学思想史。摘要:常微分方程理论与决定论之间存在历史关联，二者相互影响。在经典数学物理中，决定论与微分方程的存在唯一性定理一致，随着微分方程理论和决定论不断取得发展，庞加莱的定性理论及其相关哲学思考开启了二者之间新的关系模式。在庞加莱之前，决定论或者采取线性的、形而上学的观点，或者并未受到同时代数学科学研究的实质性影响;而在庞加莱之后，微分方程理论成为讨论决定论问题不可或缺的思想资源，并为决定论的哲学讨论打开了新的视野。庞加莱的定性思想可被视为现代非完全决定论的起源。关键词:庞
3、加莱;定性思想;决定论中图分类号:BO1文献标识码:A纵观科学发展史，决定论与微分方程理论总是以物理学问题为线索并行发展。在多数现有的科学文献中，关于微分方程理论与决定论关系的讨论，还停留在于 20 世纪产生的对拉普拉斯决定论与微分方程的存在唯一性定理相对应的认识。例如，法国数学家皮卡尔(mile Picard，18561941)于1907 年第一个认识并提出这种对应关系，他认为“常微分方程的存在唯一性定理是决定论原理的转化”1;意大利数学史家以色瑞(Giorgio Israel，19452015)则从史学的角度上重新论述了这一关系2;我国的刘华杰也曾在混沌理论的背景下分析过此种联系3。然而，
4、这些学者倾向于对微分方程理论和决定论的进一步联系不置可否，而一致地被混沌理论所吸引，从而在一定程度上使这两种理论之间联系的历史未得到充分的讨论。而事实上，不论是微分方程理论还是决定论，都在物理学或动力学问题的促进下不断发展。因此，一系列重要的历史问题出现了:继微分方程的存在唯一性定理以后，决定论与微分方程理论的再次联系是什么时候?是谁建立的?这种新的关联又是什么?4 本文通过考查微分方程的存在唯一性定理与决定论之间历史关系的构建与发展，试图分析庞加莱(Jules Henri Poincar，18541912)在这一历史中所扮演的角色，并论证他的定性理论就是微分方程理论与决定论以太阳系稳定性问题
5、为纽带而重新构成的新的关系模式的开端，具体体现在他的定性思想及其相关哲学论述中。应该特别指出的是，这种定性思想在现代非线性动力学中仍然适用。一、庞加莱之前微分方程理论与决定论的关联17 世纪中后期，牛顿(Isaac Newton，16431727)和莱布尼兹(G W Leibniz，16461716)发明了微积分，常微分方程的研究也就此开始，而最初将微积分应用于解决行星运动和月球运动的则是牛顿。5 例如，牛顿在解决二体问题时，先使用微分方程表达式揭示行星运动的原因，再通过定量求解微分方程得到结果。此时，自然规律的内在原因及其定量表达都已揭秘，所形成的决定论与因果律几乎等同。也就是说，每一个事件
6、都是由先天事件和条件以及自然规律所决定的。611DOI:10.19484/ki.1000-8934.2023.01.018庞加莱定性思想的决定论意涵牛顿对此非常认同，他认为“一切自然现象都希望从力学原理中得以推导，它的行为完全可以预测，都由因果关系决定”6。这里，“一切”，“完全”等全称量词的使用表明了牛顿对于微分系统可确定性的描述自然现象的信念，而有关自然现象的基于因果性与可预测性的决定论观念也随之产生。因此，一方面，决定论在微积分等概念形成以后就开始从以往的抽象化概念中脱离出来，并在微分方程产生之初就与之产生联系，即微分方程表达式是自然现象因果关系的数学表示。另一方面，牛顿的决定论体现了一
7、种形而上学的信念，并在当时形成了一种形而上学的决定论热潮。拉普拉斯(Pierre Simon Laplace，17491827)在结合了牛顿力学和这种形而上学的信念之后，运用牛顿范式在科学研究中取得了一系列的丰硕成果，而他对决定论的著名描述也被认为是将因果关系阐述得最清晰的表达。“我们应该把宇宙目前的状态看作是它先前状态的结果，也是未来状态的原因没有任何事物是不确定的，未来也一如过去一样，全都呈现在它的眼中。”7 拉普拉斯虽然并未使用“决定论”这个词，但他的基本观点实质上是牛顿决定论的进一步表述。他不仅承认因果律与决定论的关系，并将决定论与可预测性混为一谈，即就是说，如果以可预测性定义决定论，
8、则它的前提是具有确定性的因果关系，这种因果关系的表达往往借助于微分方程式。从根本上说，拉普拉斯式的决定论仍然是形而上学的，且是以力学来认识和把握的，他对宇宙中物体运动状态的可预测性深信不疑。在物理规律的引导下，要想了解不同时间点物体的运动状态，就需要求解微分方程的通解，这也是 17 世纪末和整个 18 世纪数学家关于常微分方程研究的核心。然而，能求得通解的方程是极为有限的。在线性微分方程中，对于低阶的方程来说，通常都是可求通解的，而对于高阶方程而言，也可使用叠加原理等方法进行求解;但在非线性微分方程中，大多数低阶和高阶方程均为不可解或很难求解。为了改善这种困境，柯西(Augustin Loui
9、s Cau-thy，17891857)提出必须改变先求通解后求特解的次序，将问题转化为求幂级数形式的特定解，通常称为初值问题或柯西问题。在此基础上，他于 19世纪 20 年代建立了微分方程的存在唯一性定理。但是，这一定理的建立仍然属于牛顿决定论观点的范畴。按照现代的表述，如俄国数学家阿诺德(VI Arnold，19372010)所认为的那样，“根据牛顿的决定论(或因果关系)原则，系统的整个运动是由其初始位置(x(t0)n)以及初始速度(x?(t0)n)唯一决定的，其加速度 x?=F(x，x?，t)是在牛顿力学基础上建立的由微分方程的存在唯一性定理可 知，函 数 F 与 初 始 条 件 唯 一
10、决 定 这 个运动。”8，基于此，决定论与微分方程理论建立了更加清晰的对应关系。这里想要补充和说明的是，拉普拉斯决定论与微分方程的存在唯一性定理之间只能说明一定的对应关系，而不能被认为是等同的。原因在于:一方面，拉普拉斯的决定论要求物体的运动是确定的且是全局可预测的，但存在唯一性定理只表明一定条件下局部的确定性，对于能否预测或是说能否对微分方程进行定量计算是不确定的。另一方面，在物理科学中，只有在解向量足够稳定的情况下，这个解才是存在且有意义的，然而存在唯一性定理并不蕴含这些物理特性。如果要求拉普拉斯决定论与微分方程的存在唯一性定理实现完全一致，则需要强调确定性系统的“线性”或“可线性化”。但
11、这种想法仍是形而上学的，它与自然科学的方法还未能形成完全的统一，从而导致微分方程与决定论的“裂痕”逐渐变大。从微分方程理论的角度来看，求解问题作为理论的核心问题，在从求通解转向证明解的存在性与唯一性的同时，不可避免地导致了数学家们过于追求解析解而形成单一的定量求解趋势，或者说是研究模式。而实际上，在存在性与唯一性被证明了的前提下，能够进行解析求解的方程在很大程度上局限于线性微分方程;对于非线性微分方程，数学家们往往想要做一种“线性化”的努力，即在分析的基础上，将非线性微分方程转化为线性微分方程去求解。但这种想象终究破灭了，法国数学家刘维尔(Joseph Liouville，18091882)于
12、 1841 年发表并证明了一类最简单的非线性微分方程 黎卡提方程无解析解，从理论上阻断了这种研究模式的继续进行。从天体力学的角度来看，三体问题作为二体问711阿诺德的表述很好地总结了牛顿范式的一般数学形式，但对于他是否认同拉普拉斯形而上学的决定论，在这里不做详细讨论。自然辩证法研究第 39 卷第 1 期题的延伸，往往被天文学家统一性地转换为一个二体运动外加一个扰动效应的问题。这类似于微分方程的“线性化”过程，但同样是困难的。三体问题是一个复杂的非线性问题，并不存在类似于二体问题的解析解，即不能用基本函数找到封闭解。于是数学家们转而求近似解和特解，但所取得的实质性进展却寥寥无几。从决定论的角度来
13、看，在考虑到可预测性的有效性时，拉普拉斯决定论所对应的是线性微分方程的存在唯一性定理。即对于线性动力系统来说，因果关系、可预测性以及线性微分理论求解都已把握。承认了拉普拉斯决定论也就是承认了非线性的可线性化，而事实上，不论是在物理学还是数学中，这都是不可行的。由于“线性”的局限性等因素的影响，在经典物理数学、决定论和微分方程中产生了不可逆转的危机。直到奇点的出现，这种局势才得以缓和。以布里奥(Charlese Briot，18171882)和 布 凯(JeanClaude Bouquet，18191885)为起始的奇点定性研究在以奇点邻域内解函数性质的分析的基础上，为定量与定性研究的区分提供了
14、方向。与此同时，在科学哲学的领域中，以孔德为代表的反形而上学的实证主义思潮开始发挥影响，马赫、迪昂等科学家对物理学理论及概念性质的反思进一步冲击了人们看待知识与实在之间关系的方式。庞加莱本人的工作应被看作这样一种知识氛围的产物，他本人在科学与哲学方面的工作也证明他充分参与了同时代的思想纷争。二、庞加莱的非线性微分方程理论与定性思想19 世纪末，为了解决“线性化”所带来的一系列问题，庞加莱以非线性微分方程为研究对象，延续并发展了柯西、布里奥和布凯等人的工作，将解的定性研究从奇点邻域内拓展至全局上，并在结合了几何与分析的方法的基础上，提出了一种分析非线性微分方程解的定性方法，由此打开了常微分方程定
15、性理论的篇章。1 庞加莱的定性思想几乎从学术生涯的开端起，庞加莱就一直关注天体力学的基本问题。他在19 世纪80 年代发表的许多论文都与他对这个学科的兴趣有关，其中就包括在 1881 1886 年间发表的四篇同名文章关于由微分方程确定的曲线的报告，这也成为微分方程定性理论的开创性工作，其基本理论思想则主要集中在第一篇。9 1878 年，希 尔(George William Hill，18381914)关于月球理论周期解的研究引起了庞加莱的注意，在希尔工作的刺激下，庞加莱为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径10，并针对“稳定性”在数学上开发出来一个新的
16、概念 “定性”。当然，他是在求解微分方程的背景下提出的。庞加莱尤其关注函数理论，他认为“由微分方程所定义的函数的完整理论对纯数学和力学中的许多问题都是有用的”9 376。这包含了函数理论对微分方程本身及其应用的双重作用，在考虑到这样两层作用的前提下，庞加莱针对于微分方程的解函数提出“对一个函数的完整研究应包括两个部分:(1)定性部分，或者说该函数所定义的曲线的几何研究。(2)定量部分，或者说该函数值的数值计算”9 376。这种“定性”的定义，突出了几何方法的必要性，而“定量”的提出，则强调了前人广泛使用的分析手段。对于这样两部分的实施，“通过定性部分的研究，自然就可得到对每一个函数的分析这步定性研究，一旦完成，将有利于函数的数值计算”9 377。虽然定性研究是其研究的主体部分，但庞加莱并没有忽略定量计算，而是在传统的定量求解框架下，于定量之前添加定性分析这一关键步骤，使得对函数值的定量计算成为可能。这种“先定性，后定量”的思想完全顺应了法国数学家傅里叶(Joseph Fourier，17681830)的观点，即求数值解是最终目标。从实用主义的角度来看，这种顺序上的巧妙安排保证了解函数理
