1、H J S F X Y X B1群中元素阶互素的性质及推广姜 琴1,汪 程2,袁 力1(1.汉江师范学院 数学与计算机科学学院,湖北 十堰 4 4 2 0 0 0;2.十堰市郧阳中学,湖北 十堰 4 4 2 0 0 0)摘 要 群中元素的阶对群的性质具有重要影响.通过对群中两个元素的阶互素并且可交换的性质进行梳理,分别将元素可交换的条件和元素阶互素的条件去掉,对原问题做进一步讨论,最后给出一个原问题的逆命题.关键词 群;阶;互素;可交换 d o i1 0.1 9 5 7 5/j.c n k i.c n 4 2-1 8 9 2/g 4.2 0 2 2.0 6.0 0 1 中图分类号O 1 5 2
2、.1 文献标识码A 文章编号2 0 9 63 7 3 4(2 0 2 2)0 60 0 0 10 3引 言 若群中两个元素的阶互素且可交换,则有下列结论:引理1 若群G中元素a的阶是m,b的阶是n,则当(m,n)=1.且a b=b a时,有a b=m n=ab.12 7-2 8定理中条件m,n()=1和a b=b a为结论成立所必需,缺一不可.2同样的条件,还可得到下面的结论:引理2 设群G中元素a的阶是m,b的阶是n,则当m,n()=1.且a b=b a时,有a b=m n.35 6-5 7证明:因a b=b a,且a与b的阶互素,故由引理1可知a b的阶为m n,所以以a b为生成元的循环
3、群 a b 的阶是m n.引理3 若群G中元素a的阶是m,b的阶是n,则当m,n()=1且a b=b a时,有a,b=a b.4,5证明:因为a,ba,b,则a ba,b,故a ba,b.又因a=m,b=n,且m,n()=1,所以存在整数s,t使m s+n t=1.又因a b=b a,则a b()n t=an tbn t=an t=a1-m s=aam()-s=a但是a b()n ta b,所以aa b,故a-1a b 则a-1(a b)=ba b.故a,ba b.综上可知 a,b=a b.1 主要结论 上面的结论均要求群中元素a与b的阶互素且可交换,若将条件减弱,去掉元素可交换,则可有下面的
4、结论:定理1 若 群G中 元 素a的 阶 为m n,且m,n()=1,则存在元素b,cG,使a=b c=c b,其中b=m,c=n,且这样的b,c是唯一的.证明:(存在性)由于m,n()=1,故存在整数s,t使m s+n t=1.设b=an t,c=am s,则显然a=b c=c b.又bm=an t()m=am n()t=e;若又有br=2 0 2 2年1 2月汉江师范学院学报D e c.2 0 2 2第4 2卷第6期J o u r n a l o fH a n j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t yV o l.4 2 N o.6 收稿日期2 0 2
5、2-0 6-2 7 基金项目2 0 2 2年湖北省高等学校优秀中青年科技创新团队计划项目“超网络的动力学及控制研究”(项目编号:T 2 0 2 2 0 3 5)阶段性成果.作者简介 姜 琴(1 9 7 8-),女,湖北十堰人,汉江师范学院数学与计算机科学学院副教授,主要从事计算数学的研究.H J S F X Y X B2e,则br=ar n t=e,但是a=m n,故m nr n t,mr t.又因m s+n t=1,故m,t()=1,所以mr,故b=m.同理可证c=n.(唯一性)设另有b1,c1使a=b1c1=c1b1,b1=m,c1=n,则an t=b1n tc1n t=b1n t.又因n
6、 t=1-m s,故b1n t=b11-m s=b1b1m s()-1=b1,所以有b1=an t=b.由b1=b又可得c1=b1-1a=a-n ta=a1-n t=am s=c.也即b1=b,c1=c.在定理1的条件下,还可以进一步得到下面的结论.推 论1 若 群G中 元 素a的 阶 为m n,且m,n()=1,则存在元素b,cG,使a=b c=c b,且b,c为a的方幂,其中b=m,c=n.证明:因m,n()=1,存在s,t使得m s+n t=1,则m,t()=1=n,s(),令b=an t,c=am s,则a=b c=an tam s.即b,c均为a的方幂.定理1的 结 论 还 可 推
7、广 到 一 般 的情形.推论2 若a=n=n1n2ns,其中正整数n1,n2,ns两两互素,则a可唯一地表示成a=a1a2as,其中aiaj=ajai,ai是a的方幂且ai=ni.在定理1的基础上,推论2运用数学归纳法即可证明.定理2 设群G中元素a的阶是m,与正整数n互素,则在 a 中方程xn=a有唯一解.证明:由m,n()=1知,存在整数s、t,使得m s+n t=1,则a=at n,故x=ata 是方程xn=a的解.设x=ak,at0tkm-1()均是xn=a的解,则由ak n=a知k n=1,t n=1m o d m().从而a k-t()n,ak-t,故k=t,即在 a 中方程xn=
8、a有唯一解.以上结论是将可交换条件去掉所得到的,下面将引理中条件,元素a与b的阶互素去掉,又可得到下面的结论:定理3 若a,b为 群G中 元 素,且a=s,b=t,a b=b a,则有a bs,t,并且对s,t的任一正因数h,G中有阶是h的元素.证明:设s,t的标准分解式为s=ps11pskkqt11qtmmrl11rlnn,t=ps11pskkqt11qtmmrl 11rl nn,(1)其中p1,pk,q1,qm,r1,rn为互异的素数,且titi,ljlj,i=1,m;j=1,n.则s,t=ps11pskkqt11qtmmrl 11rl nn,(2)由于a b=b a,则由(1)(2)两式
9、可知,a b()s,t=(a b)ps11pskkqt11qtmmrl 11rl nn=e,所以a b|s,t.另外,由于a=ps11pskkqt11qtmmrl11rlnn,则arl11rlnn=ps11pskkqt11qtmm(3)同理可有bps11pskkqt 11qt mm=rl 11rl nn(4)设c=arl11rlnnbps11pskkqt 11qt mm,因为a与b可交 换,且(3)和(4)中 两 数 互 素,所 以c=ps11pskkqt11qtmmrl 11rl nn=s,t.姜 琴,汪 程,袁 力:群中元素阶互素的性质及推广H J S F X Y X B3又因为h|s,t
10、,设s,t=hh,则ch=h.运用数学归纳法定理3的结论还可以推广到更一般的情形.推论3 设aiG,ai=mi,i=1,2,n,且m1,m2,mn两两互素,又a1,a2,an中任两个元素相乘可以交换,则(1)a1a2an|m1,m2,mn;(2)对m1,m2,mn的任一正因数h,G中有阶为h的元素.下面 对 引 理 的 逆 命 题 做 进 一 步 的讨论.定理4 设群G中两个元 素g,h可交 换,g=m,h=n,记m,n()和m,n分别是m,n的最大公因子和最小公倍数,则有下述结论成立:(1)gnhm=m,nm,n();(2)G中存在阶为m,n()的元素;(3)G中存在阶为m,n的元素.证 明
11、:(1)因gn=mm,n(),hm=nm,n(),gnhm=hmgn,mm,n(),nm,n()=1,所以可知gnhm=mm,n()nm,n()=m,nm,n().(2)设m=Pm11Pmtt,n=Pn11Pntt,其中P1,Pt是互不相同的素数,mi,ni均为非负整数,设mini,1il;mini,l+1it.令a=Pm11Pmll,b=Pnl+1l+1Pntt.则ga的阶为Pml+1l+1Pmtt,hb的阶为Pn11Pnll,这两个阶显然是互素的,且ga与hb可交换,所以gahb的阶为m,n()=Pn11PnllPml+1l+1Pmtt.(3)用(2)的方法同理可证.文章在已有结论的基础上
12、,对群中两个元素的阶互素并且可交换的性质进行了讨论,并分别将元素可交换的条件和元素阶互素的条件去掉,对问题做了进一步讨论,最后还给出了一个原结论的逆命题,是对已有结论的补充和完善.参考文献1 杨子胥.近世代数(第四版)M.北京:高等教育出版社,2 0 2 0.2 石生明.近世代数初步(第三版)M.北京:高等教育出版社,2 0 2 2.3 黄学军.关于群中元素的阶的几个结论J.成都教育学院学报,2 0 0 6,1 2(0 6).4 杨 冰.关 于 群 中 乘 积 元 素 的 阶 J.大 学 数 学,2 0 0 5,1 0(0 5).5 范兴亚.关于群中两可交换元素乘积的阶J 首都师范大学学报(自
13、然科学版),2 0 0 6,(0 4).【编校:胡军福】O nt h eN a t u r ea n dP r o m o t i o no fR e l a t i v e lyP r i m e i nG r o upO r d e rJ I ANG-Q i n1,WANG-C h e n g2,YUAN-L i1(1.S c h o o l o fM a t h sa n dC o m p u t e rS c i e n c e,H a n j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t y,S h i y a n4 4 2 0 0 0,C h i n a;
14、2.Y u n y a n gM i d d l eS c h o o l,S h i y a n4 4 2 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:T h es t e p so f e l e m e n t si ng r o u pa r ev e r yi m p o r t a n t t ot h en a t u r eo f t h eg r o u p.As t u d yo ft h er e l a t i v e l yp r i m eo f t h e t w oe l e m e n t si nag r o u pa n dt h e
15、i re x c h a n g e a b l en a t u r ei sd o n e,a n dt h e nt h ec o n d i t i o n sf o re x c h a n g ea n dr e l a t i v e l yp r i m ea r er e m o v e da n d t h eo r i g i n a l q u e s t i o n i s f u r t h e rd i s c u s s e d,s o m e c o n c l u s i o n s a r eo b t a i n e d,a n da n i n v e r s ep r o p o s i t i o n i sp r o p o s e d.K eyw o r d s:g r o u p;o r d e r;r e l a t i v e l yp r i m e;e x c h a n g e a b l e姜 琴,汪 程,袁 力:群中元素阶互素的性质及推广
