1、第 卷 第 期运筹与 管理，年 月 收稿日期：基金项目：国家社科基金一般项目（）作者简介：胡晓辉（），男，浙江温州人，副教授，博士，研究方向：数理经济，产业经济与政策评估。弱外生性条件下双固定效应模型估计方法的优化胡晓辉（嘉兴学院 经济学院，浙江 嘉兴）摘 要：固定效应模型是排除其他干扰因素以确定因果机制的有效工具，在企业面板数据分析等领域得到广泛应用。由于企业个体异质性等原因，普通固定效应方法无法解决估计的冗余参数问题。本文沿着折刀法的思路逐步修正低阶偏差和高阶偏差，在弱外生性条件下构建 方法，并将适用范围拓展到短面板线性模型，弥补了现有方法的不足。最后，采用企业并购重组和政府补助影响企业创
2、新的两个实例，研究发现，对半面板折刀法在双固定效应模型中能较好地控制企业数据的抽样特征与个体异质性。关键词：半面板折刀法；固定效应；优化；弱外生性中图分类号：；文章标识码：文章编号：（）：（，）：，：；引言面板数据的发展为因果推断提供了基础条件，有助于理解事物关系背后蕴藏的真实机制。但 等因果检验经常受到抽样周期、变量选择和弱外生性的影响。其中，处理弱外生性的 方法适用于 固定和 较大的情况，而 方法适用于有滞后因变量的模型。随着万得和国泰安等数据库的应用，企业面板数据分析达到了前所未有的高峰。大多数研究倾向使用固定效应模型以保证估计结果的精确性，却往往忽略上市公司样本数据的实际抽样特征，在未
3、知企业总体分布情况下，将其作为完全随机处理，以及忽略不同企业跨时间观测存在的非时变个体异质性。固定效应方法将企业的个体特定效应作为待估参数，并以初始观测为条件进行推断。因为冗余参数问题（），面板数据模型的固定效应估计量可能存在严重偏差。折刀法不需要对冗余参数偏差进行明确的描述，因此很容易适用于估计系数和平均边际效应，以及具有多重个体效应的模型。折刀法的实际应用包括删除一个随机组的面板折刀法、矩形阵列渐近下的最大似然法、有限总体校正的线性化 方差估计、经验似然法、双系统估计量的方差估计、分割面板折刀法，各种方法之间的主要区别是如何界定和估计偏差。上述研究大多证实 方法具有低阶偏差纠正功能，但是很
4、少进一步研究固定效应高阶偏差的修正问题。等考虑 方法，但在分析中要求 ，其中 ，同时满足，却没有明确样本企业面板数据普遍遇到的 相比 较大的情形。本研究结合 方法估计企业个体和时间双固定效应，解决上市企业数据的抽样特征与控制企业的非时变个体异质性。主要贡献在于：（）针对 固定而 较大的特殊情况，解释分割面板折刀法未充分说明的变量弱外生性问题，仅需要满足误差项与弱外生性解释变量未来值之间的相关性呈指数衰减，从而在建模时放宽了假设条件，提高了本方法的通用性。（）假设弱外生变量可按个体和时间维度进行分解，从而将异质的非线性模型简化为线性模型。文章其余部分安排如下：首先是折刀法高低阶纠偏差原理的推导和
5、介绍，其次是企业数据实例的分析和讨论，最后是结论与展望。面板数据固定效应 偏差修正的证明 固定效应估计及冗余参数问题假设给定数据，其中 表示个体，表示时间，且 在 和 之间可独立。同时，具有密度函数（；），参数 和，其中，表示个体固定效应。采用极大似然法，可得到固定效应估计量。（，（），（）（，）（）其中，的固定效应估计量 （），而（）是归一化的剖面对数似然函数，则：（）（；，（），（）（；，）（）式（）在 和 不变的条件下，即出现冗余参数问题，产生不一致性项 ，原因在于极大似然法无法校正自由度，从而用估计的 代替 （）。固定效应估计低阶偏差修正针对上节中需要修正的估计偏差 ，等假设数据在组成
6、和时间上可分离，从未知分布的总体中抽取容量为 的样本，以统计量来估计总体参数 仍会产生一定误差。（）（）为了解决该问题，折刀法利用抽样样本大小的变化来获得偏差 的非参数估计。将原样本切割去掉第 期后得到的统计量记为 ：（）（）（）设 是刀切子样本的固定效应估计量，将与（）之差定义为切去第 期后的虚拟值，则：（）（）（）（）（）如式（）所示，虚拟值 等于总体参数估计值 减去一个无穷小量，表明 对总体参数 的估计相比 更精确。这种样本分割方法消除了（）阶的偏差，但在更一般情况下，仅仅是将偏差从（）降到（）阶而已。固定效应估计高阶偏差修正假设 存在 与，当，时，表示刀切面板子集（）（）（）假设 当
7、时，（），其中 是个常数。等，分别提供了静态和动态模型中满足这两个假设的基础条件。结合假设 与假设，当，如果 ，对于某些（，），得到：（）（）（）定义刀切面板子集，使得 的元素是连续整数，且 的基数 ，其中 是 的最小 值。则与 所对应的极大似然估计表示为：（）（）（；，（）（）运 筹 与 管 理 年第 卷其中，（）（；，）。根据子面板的定义，意味着 ，以及时，可以根据假设 进行扩展，用代替，可得：（）（）（）（）就是 的一致性估计。每个子面板 都有相关联的估计量，该估计量可由 组合来获得主要偏差的估计量。假设 是整数，使得。将面板数据拆分为子面板集合，则序列 将随着 的增长而以零有界。，是
8、的等价类，其中，用 基于子面板集合 的一致性估计量（），能消除子面板基数特定分区所产生的任意性。在 中减去该一致性估计值，就获得分割面板折刀法的估计量，如式（）所示：（）（）其中，。等的定理 已证实假设 与 成立，则当满足条件，和 时，得到 （），且（）（，）。以上分析过程表明，分割面板折刀法估计量消除了系数 中的主要偏差，但未能完全消除高阶偏差。如将 的不一致性扩展到高阶，可写成：（）（）其中，为整数。对于所有的 和给定的，存在 适用于任意，则二阶偏差项等于 。固定效应偏差修正在二阶偏差项 上对 取最小化，进一步得到对半面板折刀法的双固定效应（）估计量。（）（）其中，是 期全样本的 估计值，
9、是 和 的平均值。当 取偶数时，则，全样本面板数据被均分成两个对半的子面板。而 和 分别对应前 期和后 期观测的 估计值。考虑线性面板数据模型：（）其中，是跨截面单位 和时间 的因变量，和 分别代表个体固定效应和时间固定效应，表示弱外生变量，是对应的估计系数，是误差项。假设 外生变量 可进行如下维度分解：，（）其中，和 分别代表与弱外生变量 相关的个体固定效应和时间固定效应，随机向量 遵循一般线性过程，是系数矩阵，是特定回归变量的创新项，是子面板集合。假设（弱外生性条件）对所有 和，且 ，满足，（），即误差项 与回归变量未来值 的相关性呈指数衰减：（，），（）（）假设（子面板回归条件）对所有
10、和，且 ，满足 ，使得非奇异矩阵（）对于任何整数，可表示为 的自协方差矩阵函数。（）（，），（）（）（）（）假设（存在全样本）对所有 和，存在，条件下的正定矩阵，可逆矩阵 （），且 ，则：（）（）（）（）（）假设（存在）对于所有 和（是偶数正整数），存在，条件下的正定矩阵 与，可逆矩阵 （），与第 期 胡晓辉：弱外生性条件下双固定效应模型估计方法的优化 （），结论（）（）（）（）（）由此证明，面板数据模型（）在弱外生变量情况下，对于任意固定的偶数，对半面板折刀 估计系数的偏差为（）阶，且偏差小于 等获得的 估计量。实例分析为验证 方法估计固定效应模型的适用性和性能，本文以中国工业经济杂志 年和
11、 年各一篇文章，利用附件中公开的面板数据及其程序代码，比较分析本研究方法对数据抽样特性以及企业异质性的优化作用。回归系数估计偏差可能存在向上或向下两种情况，采用实例 显示对半面板折刀法纠正系数被高估的情况，实例 显示纠正系数被低估的情况。鉴于对半面板折刀法需要的数据结构为平衡面板，且时间年份为偶数，故对两个实例的数据集进行了部分处理。其 中，对 半 面 板 折 刀 法 的 程 序 代 码 根 据 等分析案例所改编。另外，利用 软件中 命令提供的弱工具变量标准，检验结果表明，解释变量满足弱外生性假设，并且能在有关政策冲击下保持相对稳定性。因此，满足对半面板折刀法高阶偏差修正所需的重要假设 （弱外
12、生性条件）。并购重组与企业创新陈爱贞等关于“并购模式与企业创新”的研究，其主要变量和企业面板数据可用于本文分析。他们利用 年中国 股制造业上市公司数据，采用 固定效应和多重差分方法分析境内并购与跨境并购对企业创新的促进作用。文中原数据样本量为，其中并购事件 起，本研究剔除 年的数据，获得 年样本量，其中并购事件 起。企业个体数（）远大于时期数（），且两者均为大于 的偶数，符合对半面板折刀法纠正估计偏差的前置条件及相关假设。鉴于短面板中的冗余参数问题最为严重，相比原样本（，），本研究使得企业个体数（）相比时期数（）变得更大，进行 模型估计的结果相当于一次稳健性检验。主要变量定义如表 所示，采用企
13、业每年的专利流量反映企业当年的创新活动，并购重组属于二元变量。表 主要变量说明变量类型变量名称变量说明被解释变量专利申请数（取对数）发明专利申请数（取对数）解释变量企业是否发生并购企业是否发生跨境并购控制变量利润率（营业利润 营业收入）资本性支出 资产总额员工数量（取对数）企业年龄 注：本表引自陈爱贞等。由于附件数据中没有提供企业是否发生跨境并购（），故本研究仅以企业是否发生并购（）为解释变量，以专利申请数（）为因变量进行回归分析，估计结果如表 所示。其中，第 列表示按非平衡面板数据采取 固定效应估计系数，第 列表示非平衡面板处理后的 固定效应估计系数，第 列表示对半面板折刀法估计系数。本研究
14、估计方法基本上支持陈爱贞等的研究结果，证实并购重组对上市公司创新具有积极正面的影响。首先，非平衡面板与平衡面板的固定效应估计系数相差不大，正负号未发生变化，主要变量 的系数值在 水平上显著为正。但得到控制变量的不同估计，固定效应（）模型有一个变量（）不显著，而平衡面板显示了结果的稳定性。其次，将 与对半面板折刀法估计结果进行比较可发现，后者 略有增大，而各系数的标准误均有缩小，显著性水平则有提高。从变量 的估计系数值（）来看，采用普通固定效应估计，会略微高估并购重组对企业创新的作用。最后，引入变量 衡量企业不可观测异质性的方差占总误差方差的比例，非平衡面板估计相比平衡面板 估计的 值较大，可能
15、是因为企业数较多，且有部分企业中间年份的数据缺失，导致差异性增大。而对半面板折刀法估计的 值（）比 估计的 值都要小，表明 固定效应模型有必要控制不可观测的异质性。通过 值和标准误两方面的比较分析显示，当 时，估计仍存在较大程度的偏差，而 估计偏差相对较小。运 筹 与 管 理 年第 卷表 并购对创新的积极影响方法变量 固定效应（）固定效应（）系数标准误系数标准误系数标准误 注：其中，、分别表示、和 显著性水平。表 主要变量描述及计算公式变量类型符号名称说明被解释变量研发强度（研发支出 总资产）研发强度（研发支出 营业收入）申请专利发明、实用新型和外观设计申请总数申请发明专利 发明专利申请数 申
16、请非发明专利非发明专利申请数解释变量创新补助（政府创新补助额 总资产）非创新补助（政府非创新补助额 总资产）控制变量公司规模总资产的自然对数公司年龄公司自成立年份起的年数财务杠杠资产负债率 总负债 总资产固定资产占比固定资产比例 固定资产净额 总资产成长能力营业收入增长率股权集中度第一大股东持股比例薪酬激励董事、监事及高管年薪总额取对数市场势力企业营业收入与营业成本之比，取对数 注：本表引自郭玥。政府补助与企业创新本研究采用郭玥有关“政府创新补助的信号传递机制与企业创新”一文同样的数据集。该文选取 年沪深 股上市公司非平衡面板数据，运用双向固定效应、等方法评估政府补助对企业创新投入和创新产出的政策效应。原数据样本量 ，本研究剔除部分年份不全的企业个体，获得 年平衡面板数据的样本量 ，基本保留原数据容量和结构。主要变量说明如表 所示，其中，因变量包括两种类型：研发投入（与）和研发产出（、与）。解释变量为两类政府补助，控制变量为一些企业特征。如表 所示，同郭玥的文献保持一致，本研究也仅给出基于研发投入和研发产出的回归模型中政府补助两个解释变量的系数估计。其中，双向固定效应（）就是文献非平衡
