1、文章编号：1000-4750(2023)03-0238-07三棱直线桁架的连续体等效及承载特性研究胡文华1,2，高家旺1,2，冯晶晶1,2，朱东方3,4，曹东兴5，吴瑞琴1,2(1.天津理工大学天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室，天津300384；2.机电工程国家级实验教学示范中心(天津理工大学)，天津300384；3.上海市空间智能控制技术重点实验室，上海201109；4.上海航天控制技术研究所，上海201109；5.北京工业大学机电学院，北京100124)摘要：随着大型装备制造及航天工程的发展，桁架在结构轻量化设计中的作用越来越显著。针对桁架结构各方向上不同的承载需求，利用连续体等
2、效方法研究了三棱直线桁架的承载特性。考虑桁架截面特征，基于能量等效原则将离散桁架等效为连续介质梁模型，获得连续介质梁模型的等效刚度和等效质量，对比验证了桁架结构的数值计算频率和等效梁模型的理论推导结果，研究了在改变桁架横截面边长比例时其横向弯曲刚度和频率的变化趋势，分析了单胞形式对桁架横向弯曲刚度及频率的影响。研究结论对桁架结构在工程中的应用有一定的指导意义。关键词：三棱直线桁架；等效；连续体；频率；承载特性中图分类号：V214.2文献标志码：Adoi:10.6052/j.issn.1000-4750.2021.09.0715CONTINUUMEQUIVALENCEANDBEARINGCHAR
3、ACTERISTICSOFATRI-PRISMSTRAIGHTTRUSSHUWen-hua1,2,GAOJia-wang1,2,FENGJing-jing1,2,ZHUDong-fang3,4,CAODong-xing5,WURui-qin1,2(1.TianjinKeyLaboratoryforAdvancedMechatronicSystemDesignandIntelligentControl,TianjinUniversityofTechnology,Tianjin300384,China;2.NationalDemonstrationCenterforExperimentalMech
4、anicalandElectricalEngineeringEducation(TianjinUniversityofTechnology),Tianjin300384,China;3.ShanghaiKeyLaboratoryofAerospaceIntelligentControlTechnology,Shanghai201109,China;4.ShanghaiAerospaceControlTechnologyInstitute,Shanghai201109,China;5.SchoolofMechanicalEngineering,BeijingUniversityofTechnol
5、ogy,Beijing100124,China)Abstract:Withthedevelopmentoflargeequipmentmanufacturingandaerospaceengineering,trussesplaymoreandmoresignificantrolesinstructurallightweightdesign.Fordifferentbearingrequirementsineachdirectionoftrussstructures,bearingcharacteristicsofatri-prismstraighttrussarestudiedwiththe
6、continuumequivalentmethod.Basedontheprincipleofenergyequivalence,theconfigurationofthecrosssectionisconsidered,thediscretetrussisequivalenttoabeamofacontinuummodel,theequivalentstiffnessandmassofthebeammodelareobtained,andthenumericalfrequenciesarecomparedwiththetheoreticalresultstoverifytheequivale
7、ntcalculations.Thechangesoftransversebendingstiffnessandfrequencyareinvestigatedwithdifferentsideratiosinthecrosssectionofatri-prismtruss.Theinfluenceontransversebendingstiffnessandfrequencyofthetri-prism truss is studied by changing the configuration of the truss units.The research has certain guid
8、ance收稿日期：2021-09-13；修改日期：2022-01-20基金项目：国家自然科学基金项目(12002236，11872274，12072233)；天津市自然科学基金项目(20JCYBJC00510)；上海航天科技创新基金项目(SAST2018-094)通讯作者：吴瑞琴(1990)，女，甘肃白银人，讲师，博士，主要从事动力学与控制研究(E-mail:).作者简介：胡文华(1982)，男，湖北黄冈人，副教授，博士，主要从事机械结构振动控制研究(E-mail:);高家旺(1996)，男，天津人，硕士生，主要从事结构力学研究(E-mail:);冯晶晶(1986)，女，陕西西安人，副教授，博
9、士，主要从事非线性力学研究(E-mail:);朱东方(1985)，男，河南漯河人，高工，博士，主要从事航天器运动控制研究(E-mail:);曹东兴(1978)，男，山西运城人，教授，博士，主要从事非线性动力学研究(E-mail:).第40卷第3期Vol.40No.3工程力学2023 年3月Mar.2023ENGINEERINGMECHANICS238significanceforapplyingtrussstructureinengineeringfields.Keywords:tri-prismstraighttruss;equivalence;continuum;frequency;bea
10、ringcharacteristics桁架常被用作设计轻量化结构1。在结构设计分析中，有限元方法应用广泛2。但桁架结构的元件众多、质量和刚度分布不均匀，利用等效动力学模型分析其本质动力学特性比利用有限元法更具优势3。国内外许多学者对其连续体等效建模与固有特性分析进行了研究45。直接用有限元法可以获取桁架的等效刚度等参数6，利用谱元法和均匀化方法也可以构建周期性桁架的等效模型78。NOOR 等910提出了基于能量互等原理的连续体建模方法，并对多种等效方法进行对比。STEPHEN和 GHOSH11建立了铰接非对称周期桁架结构的等效梁模型，并对拉伸-扭转耦合振动问题进行了分析。SALEHIAN 和
11、INMAN12建立了铰接平面桁架结构的等效梁模型，利用哈密顿原理推导出等效梁模型的动力学偏微分方程，并通过实验验证了理论结果。蔡坤和史姣13将具有周期性微结构的平面网格结构比拟成均匀的连续体。李东旭等14研究了空间智能桁架的振动控制问题。关富玲和戴璐15对比了单环桁架与双环桁架的结构刚度，并研究了桁架口径尺寸对其动力学特性的影响。刘福寿和金栋平16将平面周期单胞等效为空间梁模型，并对比了原模型与等效模型的振动特性。GUO 等17将双层铰接环形桁架结构等效为连续体模型，结合实验与有限元结果验证了等效方法的准确性。柳剑波等18建立双胞元平面桁架结构的等效梁模型后，分析了单胞数量及弹性模量对固有特性
12、的影响。张伟等19将含间隙运动副的环形桁架结构等效为环形薄壁模型。GUZMAN 等20研究了竖直放置的三棱柱塔架结构，将其等效为直梁模型并分析了其频率和屈曲特性。刘梅等21利用能量等效法研究了直线式正三棱柱桁架结构，基于数值结果对比分析了等效模型的振型。桁架用作承载结构时，其各方向的承载要求通常不同，如图 1 所示，桁架式吊臂主要是在垂向上克服重力，空间直线式天线的反射面板只安装于其支撑桁架的一侧，主要载荷发生在导致横向弯曲的一个侧面上。为了满足承载要求，同时实现轻量化或低成本设计等目标，对于静态承载，需要在结构不同方向上进行刚度设计，而对于动态载荷，应该考虑不同方向上的频率设计。许多学者研究
13、了桁架的连续体等效问题，但针对桁架在各方向上不同的承载需求而开展的研究较少。重物(a)塔吊天线卫星太阳帆(b)空间天线zyx图1支撑桁架Fig.1Supporttruss三棱直线桁架是具有代表性的空间梁式承载结构，通常是在某一个方向上有较高的承载要求。针对桁架结构各向承载异性问题，本文以三棱直线桁架为例，考虑非正三角形截面特征，利用能量等效方法推导桁架的等效参数的解析表达式，给定参数并利用有限元方法对理论推导进行验证，最后基于理论推导结果分析截面特征和单胞形式对三棱直线桁架承载特性的影响。1等效参数bsL如图 2 所示，三棱直线桁架是由多个桁架单胞沿直线排列而成的周期结构，桁架单胞由多个杆件组
14、成。其中：竖杆长，底杆长，横杆长。123456789101112131415xyz(a)桁架单胞yzxzxysLb(b)单胞投影图图2三棱桁架Fig.2Tri-prismtrussx直线桁架的连续体等效实质是将节点较多的桁架单胞简化为节点较少的梁单元，使得原结构与等效模型处于同样位移场和速度场时具有相等的应变能和动能。如图 2(a)所示，在桁架结构中截取桁架单胞，设定坐标原点并建立坐标系，将单胞中任意点的位移表示成 轴线上变量，有：r(x,y,z)=r|z=0y=0+ryz=0y=0y+rzz=0y=0z=工程力学239u0,v0,w0T+z,0y,x+120yzTy+y,x+120yz,0z
15、Tz(1)u0、v0、w0、x、y、z、0y、0z、0yzx式 中，都 是的函数。x基于小变形假设，将式(1)在坐标原点处对进行一阶泰勒展开，有：r(x,y,z)=r|x=0+rxx=0 xz=0y=0+yryx=0+2rxyx=0 xz=0y=0+zrzx=0+2rxzx=0 xz=0y=0(2)单胞中各杆件的轴向正应变为：(k)=(k)xl(k)2+(k)ym(k)2+(k)zn(k)2+(k)yzm(k)n(k)+(k)xzl(k)n(k)+(k)xyl(k)m(k)，(3)x=uxy=vyz=wzxy=vx+uyxz=wx+uzyz=wy+vz(k)klmn式中：；上标表示单胞中第 个
16、杆件；、和 分别表示杆件轴线与单胞坐标系各轴的夹角的余弦。k假定单胞中各杆件相互铰接，只考虑杆件的轴向正应变，第 个杆件的应变能计为：U(k)=E(k)A(k)L(k)(k)2/2(4)不考虑杆件局部变形，其动能计为：T(k)=16(k)A(k)L(k)(u(k)2L+v(k)2L+w(k)2L+u(k)2R+v(k)2R+w(k)2R+u(k)Lu(k)R+v(k)Lv(k)R+w(k)Lw(k)R)(5)LRk式中，下标 和 表示第 个杆件的首尾端点。利用式(2)式(5)可将桁架单胞的应变能和动能表示为：Ue=U(k)=(C12x0+C22xy0+C32xz0)/2+(C42x0+C52y0+C62z0)/2(6a)Te=T(k)=(B1 u20+B2 v20+B3 w20)/2+(B42x0+B52y0+B62z0)/2(6b)u0=u0(0)v0=v0(0)w0=w0(0)x0=x(0)y0=y(0)z0=z(0)x0=xxx=0y0=zxx=0z0=yxx=0 x0=u0 xx=0 xy0=式 中：；(v0 xz)x=0 xz0=(w0 x+y)x=0BiCi；系 数和详见附
