1、02130031第 52 卷第 2 期2023 年 2 月Vol.52 No.2February 2023光子学报ACTA PHOTONICA SINICA石墨烯表面涡旋光束的局域动力学特性分析马万琦，崔志伟（西安电子科技大学 物理学院，西安 710071）摘要：结合角谱展开方法和矢量势方法，推导了拉盖尔高斯涡旋光束在石墨烯表面反射后的电磁场分量显式表达式。分析了光束的入射角和拓扑荷数，以及石墨烯-衬底系统的费米能量和磁场对涡旋光束在石墨烯表面反射后局域动力学特性的影响。数值结果表明，石墨烯表面反射涡旋光束的能量、动量、自旋/轨道角动量密度分布随着光束入射角和拓扑荷数的变化发生显著变化。同时，
2、改变石墨烯-衬底系统的费米能量和磁场可以有效调节反射涡旋光束的局域动力学特性。为基于涡旋光束局域动力学特性对石墨烯的表征以及基于石墨烯对涡旋光束的调控奠定了理论基础。关键词：涡旋光束；石墨烯；能量；动量；自旋角动量；轨道角动量中图分类号：O436 文献标识码：A doi：10.3788/gzxb20235202.02130030 引言近年来，石墨烯因具有优异的光学、电学和力学特性而受到了国内外研究学者的广泛关注1-3。石墨烯是由单层碳原子紧密堆积成二维蜂窝状晶格结构的一种碳质新材料，其电导率由费米能量决定，而电导率通过施加偏置电压或外部电场在较宽范围内进行调谐4。石墨烯一个独特的性质是其反射特
3、性由精细结构常数和本征参数决定5-6，这些参数通过静电掺杂改变费米能级来进行调制7-9。石墨烯的这种电光调制效应作为增强光与物质相互作用的新手段10，对于理解电磁波和光在石墨烯表面的反射特性有着非常重要的作用11-12。MERANO M 推导得到了石墨烯的菲涅尔系数13，并基于该系数研究了石墨烯表面反射高斯光束的 Goos-Hnchen（GH）位移和 Imbert-Fedorov（IF）位移14。随后，ZHUO Linqing等研究了石墨烯表面反射涡旋光束的 IF位移15，结果表明，通过调节石墨烯的费米能量，可有效控制涡旋光束的 IF位移。另一方面，涡旋光束由于其独特的物理性质和新颖的物理效应
4、及其极具潜力的应用前景也受到越来越广泛的关注，已成为光学和光电子学领域的研究热点之一16。作为一种特殊形式存在的电磁波，具有特定振幅、相位和偏振态分布的涡旋光束不仅具有能量，而且具有动量和角动量。角动量包括由偏振螺旋决定的自旋角动量和由相位螺旋决定的轨道角动量。能量、动量和角动量作为描述涡旋光束与物质相互作用过程中局域动力学特性的几个重要物理量，有助于揭示物质新的物理效应和特性。国内外众多学者已对自由空间中以及聚焦情况下涡旋光束的能量、动量和角动量进行了深入研究17-22。CUI Zhiwei等研究了涡旋光束反射和折射情况下的局域动力学特性23。本文对石墨烯中涡旋光束局域动力学特性进行了研究。
5、1 理论模型如图 1所示，考虑涡旋光束从空气入射到石墨烯-衬底系统表面的反射，设空气中的折射率为n0，石墨烯衬底的折射率为n1。石墨烯-衬底分界面位于全局坐标系(x，y，z)中，z轴垂直于分界面并指向石墨烯衬底，位于衬底顶部的单层石墨烯在z=0的位置，沿z轴方向施加静磁场B。(xi，yi，zi)和(xr，yr，zr)分别表示入射引 用 格 式：MA Wanqi，CUI Zhiwei.Local Dynamical Characteristics of Vortex Beams on the Graphene SurfaceJ.Acta Photonica Sinica，2023，52（2）：0
6、213003马万琦，崔志伟.石墨烯表面涡旋光束的局域动力学特性分析 J.光子学报，2023，52（2）：0213003基金项目：广东省自然科学基金（No.2022A1515011138），中央高校基本科研业务费（No.QTZX22042）第一作者：马万琦，通讯作者：崔志伟，收稿日期：2022 07 25；录用日期：2022 08 26http:/光子学报02130032光束坐标系和反射光束坐标系，i和r分别表示中心波矢量的入射角和反射角。1.1石墨烯界面的菲涅尔反射系数对于如图 1所示的石墨烯-衬底系统，根据边界条件，可得到石墨烯界面的菲涅尔反射系数为24rpp=T+L-+T+L+rss=-T
7、-L+T+L+rps=rsp=-200kizktzHT+L+（1）式中，L=(kiz ktz0+kizktzL/)/0，T=ktz kiz+0T，=0kizktz2H/0，kiz=kicos i，ktz=ktcos t，0和0分别为真空中的介电常数和磁导率，为基底系统的介电常数，H、L和T分别表示霍尔电导率、纵向电导率和横向电导率。当所施加的磁场强度足够大时，霍尔电导率可以表示为24H=2(2nc+1)sgnBe22（2）式中，nc=Int2F/2e|B|v2F为朗道能级数，vF和F分别为费米速度和费米能量。1.2石墨烯表面反射涡旋光束的矢量分析众所周知，满足傍轴近似方程的拉盖尔-高斯（Lag
8、uerre-Gaussian，LG）光束是一种典型的涡旋光束。当径向模数p=0时，在坐标系(xi，yi，zi)中，zi=0处拉盖尔高斯涡旋光束的标量角谱表达式为23ui(kix，kiy)=w0()-ikix+kiy2 lw204exp-w20()k2ix+k2iy4（3）式中，l为 LG 涡旋光束的角向模数，也称为拓扑荷数，w0为光束初始平面处的束腰半径，kix和kiy分别表示波矢ki在x和y方向的分量，ki=k0=2/0为光束在自由空间中的波数，0为入射光束的波长。利用坐标系之间的变换，得到反射涡旋光束在坐标系(xr，yr，zr)中的角谱表述25 uHruVr=rpp-kry()rps-rs
9、pcot ik0rps+kry()rpp+rsscot ik0rsp-kry()rpp+rsscot ik0rss-kry()rps-rspcot ik0 uHiuVi（4）式中，uHi=ur和uVi=ur分别为光束水平偏振分量和垂直偏振分量对应的角谱，和为极化系数，ur为反射光束的标量角谱，可通过对入射涡旋光束的标量角谱施加边界条件krx=-kix和kry=kiy得到，即图 1涡旋光束从空气入射到石墨烯-衬底系统表面反射示意图Fig.1Illustration of the reflection a vortex beam illuminating from air onto the sur
10、face of a graphene-substrate system马万琦，等：石墨烯表面涡旋光束的局域动力学特性分析02130033ur=ui(-krx，kry)=w0()ikrx+kry2 lw204exp-w20()k2rx+k2ry4（5）为了在布儒斯特角附近获得较为准确的结果，将菲涅尔反射系数rmn(m=p，s；n=p，s)在kix=0处作泰勒级数展开并取一阶近似，施加边界条件kix=-krx，得到26rmn=rmn 1-krxk0 ln rmni（6）将式（6）代入式（4），忽略二阶项，便可以得到修正后的反射涡旋光束角谱表达式。然后，根据式（7）进行傅里叶变换 uHr()xr，y
11、r，zruVr()xr，yr，zr=uHr()krx，kryuVr()krx，kryexp i(krxxr+kryyr-k2rx+k2ry2krzr)dkrxdkry（7）得到uHr=AHruruVr=AVrur（8）其中AHr=rpp+rps-(rpp ln rppi+rps ln rpsi)1k0-l()ixr-yrx2r+y2r+ikrxrzR，r+izr+(rsp-rps)+(rpp+rss)cot ik0-l()iyr+xrx2r+y2r+ikryrzR，r+izr（9）AVr=rsp+rss-(rsp ln rspi+rss ln rssi)1k0-l()ixr-yrx2r+y2r
12、+ikrxrzR，r+izr-()rpp+rss+()rps-rspcot ik0-l()iyr+xrx2r+y2r+ikryrzR，r+izr（10）ur=2w0(-xr+iyr1+iz/zR，r)l11+izr/zR，rexp-()x2r+y2r/w201+izr/zR，r（11）式中，kr=k0为反射光束在自由空间中的波数，zR，r=krw20/2为反射光束的瑞利距离。在傍轴近似条件下，采用基于洛伦兹规范的矢量势方法，反射涡旋光束的电场和磁场可写为27Er=ikrZruHrxr+uVryr+ikr(uHrxr+uVryr)zr exp(ikrzr)（12）Hr=ikr-uVrxr+uHr
13、yr-ikr(uVrxr-uHryr)zr exp(ikrzr)（13）式中，Zr=0/0。将uHr和uVr分别对xr和yr求导，得到uHrxr=AHrxrur+AHr urxruHryr=AHryrur+AHr uryr（14）uVrxr=AVrxrur+AVr urxruVryr=AVryrur+AVr uryr（15）光子学报02130034式中，AHrxr=-(rpp ln rppi+rps ln rpsi)1k0il()xr-iyr2+ikrzR，r+izr+()rsp-rps+()rpp+rsscot ik0-l()yr+ixr2（16）AHryr=-(rpp ln rppi+rp
14、s ln rpsi)1k0l()xr-iyr2+()rsp-rps+()rpp+rsscot ik0il()yr+ixr2+ikrzR，r+izr（17）AVrxr=-(rsp ln rspi+rss ln rssi)1k0il()xr-iyr2+ikrzR，r+izr-()rpp+rss+()rps-rspcot ik0-l()yr+ixr2（18）AVryr=-(rsp ln rspi+rss ln rssi)1k0l()xr-iyr2-()rpp+rss+()rps-rspcot ik0il()yr+ixr2+ikrzR，r+izr（19）urxr=l()xr+iyrx2r+y2r-kr
15、xrzR，r+izr ur（20）uryr=l()yr-ixrx2r+y2r-kryrzR，r+izr ur（21）1.3结构光场动力学参量的描述能量、动量、自旋角动量（Spin Angular Momentum，SAM）和轨道角动量（Orbital Angular Momentum，OAM）作为结构光场几个重要的动力学参量，有助于揭示结构光场和物质新的物理效应和特性。但是对于结构光场动力学参量的描述，基于经典力学和电磁理论建立的机械动力学理论存在着一定的局限性。采用经典的机械动量描述结构光场的动力学特性时缺乏清晰的物理意义，无法对自旋角动量和轨道角动量进行独立描述，不能解释结构光场与物质相互
16、作用时局部动量的传递和光对物质施加的辐射压力28。理论研究表明，在量子力学和相对论场论范畴内，采用正则方法建立的光场动力学理论可以很好的解决上述问题。对于均匀各向同性媒质中的结构光场，电磁场对偶形式的能量、正则动量、自旋角动量和轨道角动量密度的定义分别为28W=14(|E|2+|H|2)（22）P=14ImE()E+H()H（23）S=14ImE E+H H（24）L=r P（25）式中，E和H为光场的电场和磁场，表示光束的角频率，和分别为光场所在空间中介质的介电常数和磁导率，Im表示虚部，上标“”代表复共轭，符号A()B定义为A()B=AxBx+AyBy+AzBz。上述定义的正则动量和角动量具有清晰的物理解释，即动量密度与场相位的局部梯度成正比；自旋角动量密度是光场的内禀属性，与光场的偏振态有关；轨道角动量与光场的传输路径和空间相位结构有关。2 结果分析将式（12）和（13）代入式（22）（25），编写程序进行数值模拟，分析石墨烯表面涡旋光束的局域动力学特性。本文着重分析光束的入射角和拓扑荷数，以及石墨烯-衬底系统的费米能量和磁场对涡旋光束在石墨烯表面反射后局域动力学特性的影响。若无
