1、常熟理工学院学报（自然科学）Journal of Changshu Institute of Technology（Natural Sciences）第 37 卷第 2 期2023 年 3 月Vol.37 No.2Mar.,2023次分数跳-扩散 Vasicek 随机利率下的重置期权定价 孙明明（南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210046）摘要：研究了标的资产价格过程满足次分数布朗运动与跳-扩散过程共同驱动的随机微分方程 根据次分数布朗运动随机分析理论，建立利率满足次分数 Vasicek 模型，利用保险精算法，研究此环境下重置期权定价问题，得到相应的重置期权定价公式 推广了已有的关于
2、重置期权定价的相关结论关键词：重置期权；随机利率；次分数布朗运动；保险精算法中图分类号：F830.9 文献标志码：A 文章编号：1008-2794（2023）02-0096-06收稿日期：2022-05-04通信作者：孙明明，硕士研究生，研究方向：金融数学，E-mail：0 引言随着金融市场的迅猛发展，众多新型期权如雨后春笋般出现，并得到广泛应用 重置期权便是其中一种弱路径依赖性的奇异期权，它要求：当股票价格达到某一预设水平时，根据合约规定，须重新设定执行价格 期权持有方拥有更大可能性的获利机会，因此，对重置期权定价模型的研究具有重要意义 Cheng 和 Zhang 1、Gray 和 Whal
3、ey 2 等学者在标的资产遵循几何布朗运动、无风险利率下，研究了重置期权的定价 李松芹等 3 研究了跳-扩散模型下的重置期权定价 王莉君等 4 借助多元正态分布函数，研究了 Vasicek 型短期利率模型下重置期权的定价问题 秦进等 5 研究了随机利率下分数跳-扩散模型的重置期权的定价 薛红等 6-7 将重置期权的定价问题置于双分数布朗运动环境下研究次分数布朗运动与分数布朗运动相比，延续了自相似性、长相依性等特性，还具有非平稳增量性，因此被广泛运用于期权定价理论中 8-10 本文主要考虑资产价格和利率的随机性和均值回复性，建立了次分数跳-扩散 Vasicek 随机利率模型，并研究该模型下重置期
4、权的定价问题，运用保险精算法推导出了相应的定价公式，是对跳-扩散模型的一个补充1 金融市场数学模型定义1 当 BH(t),t0，H(0,1)是一个高斯过程，且满足（1）EBH(t)=0，（2），则为次分数布朗运动DOI:10.16101/32-1749/z.2023.02.015第 2 期97建立如下模型：利率 rt和股票价格 St满足如下随机微分方程：其中c表示利率的波动率，表示次分数布朗运动，且相互独立；N(t)服从强度为的泊松过程，i表示第 i 次跳跃的相对高度，独立同分布于 的随机变量，且 v 为 的数学期望假设 是完备概率空间(,F,P)上的次分数布朗运动，相关系数为 则令 模型变为
5、：（1）引理 1 利率满足的随机微分方程的解为证明 由次分数 公式知 故 ，得证引理 2 股票价格满足的随机微分方程的解为证明 当在 0，t 中没有发生跳，由次分数 伊藤公式知则假设 t10，t 中发生一次跳，则在 0，t1）中，在(t1，t 中，由股价满足的随机微分方程，有当 有 即引理得证2 重置期权的定价不失一般性，接下来讨论只有一个重置时间的重置期权定义 2 假定期权敲定价格为 Y，到期日为 T，重置时间为 T1（0T1T），那么重置执行价格可表示为定义 3 重置期权在 t 时刻的损益函数为定理 1 在次分数 Vasicek 随机利率模型下，t0,T 时刻标准欧式看涨期权价格为 1d(
6、)dd()Httrabrtc Bt=+?2d()dd()d().HttSSuvtBtN t=+?1d()dd(),Httrabrtc Bt=+212d()dd()1d()d().HHttSSuvtBtBtN t=+()010(1)d().tbtbtb s tHtarr eeceBsb=+1d()dd(),btbtbtHtItoreaetceBt=+由次分数公式知1d()dd(),btbtbtHtItoreaetceBt=+由次分数公式知010(1)d().tbtbtbsHtarereceBsb=+故得证。()2212201201exp(22)()1()ln(1).2N tHHHHtiiSSut
7、vttBtBt=+22221211211dlndd,2()dd()1d()(22)d,ttttttHHHHSSS SSSuvtBtBtHtt=+22221211211dlndd,2()dd()1d()(22)d,ttttttHHHHSSS SSSuvtBtBtHtt=+221220121exp(22)()1().2HHHHtSSutvttBtBt=+122122011111211exp(22)()1(),2HHHHtSSutvttBtBt=+2212201111122211exp()()(22)()()()21()(),HHHHHtHHSSuv ttttBtBtBtBt=+2212201111
8、122211exp()()(22)()()()21()(),HHHHHtHHSSuv ttttBtBtBtBt=+111111111111121121()dd()1d()d(),tttttnnnttHHtxxxtnixtnSSuvSxSBxSBxSN x=+111111111111121121()dd()1d()d(),tttttnnnttHHtxxxtnixtnSSuvSxSBxSBxSN x=+1111111,(1)tttttttnSSSSS=+当有1122122011111211exp(22)()1()ln(1).2HHHHttSSutvttBtBt=+|=.,111YSSYSYYTTT
9、，()22122100221()(2 2)()ln(1)221121212()()()21221212()2().2N tHHHiibTbtv T tTttraaeeT tbbbdPS edKe =+=+()22122100221()(2 2)()ln(1)221121212()()()21221212()2().2N tHHHiibTbtv T tTttraaeeT tbbbdPS edKe =+=+孙明明：次分数跳-扩散 Vasicek 随机利率下的重置期权定价常熟理工学院学报（自然科学）2023 年98证明 由定义得令故 ，其中 ，则综上，定理得证定义 4 重置看涨期权在 t（t=+=故
10、，其中，()11221212(0,1),(0,1)Cov(,)Tstr dsu T tTeSeKXXdXNXNXX=+=故，其中，()0120112202221122022()()()d()d2()()()()()()21222112()().2T xbTbtb s xHtbTbtbTbtraaeeT tceBsxbbbXXdraaeeT tXbbbXXdraaeeT tbbbIE KeIKeE eIdKe +=+=+()221222112201122()221220d()()11()(2 2)()()()1()()ln(1)21()(2 2)()ln(1)2TstN tHHHHHHHiiN
11、tHHHiir su T tu T tTTv T tTtBTBtBTBttXXmv T tTttIE eS I eSeKS eIS eE e=+=111122()22122101()(2 2)()ln(1)221121212().2N tHHHiiXXXdv T tTttIdS e =+=+()()(),1111YSTYSRSTTISTtFIYTtFTTtF=+11()111111()exp()exp,exp()exp()exp()exp,exp()exp()TstTTTsTsttu TtTTsTTtr dsu T tRSTu TtSr ds Yu T tSr ds Yu T tTTu TtS
12、r ds Yu T tSu TtSFEeSeY IEeSeSI=+dddd+第 2 期99孙明明：次分数跳-扩散 Vasicek 随机利率下的重置期权定价证明 （1）根据前面定理 1 得证（2）当 0 t T1时，若股票价格在时间段 T1-t 内进行 n 次跳跃，在时间段 T-T1内进行 m 次跳跃由定义 4 有由引理可知，112222*1111121211112222*221122222()()*31313()()1()(),(),()()1()(),(),d()d,(d()d),HHHHHHHHHHHHTTxxb s xHb s xHt tt tBTBtBTBtTtBTBtBTBtTtce
13、BsxVar ceBsx=+=+=33()()*4414144,d()d,(d()d),T xT xb s xHb s xHt tt tceBsxVar ceBsx=111exp(d)exp(d),TTuTsttAu Sr s Y=记111exp(d)exp(d),TTuTsttBu Sr s Y=11exp(d)exp(d).TTuTuTttDu Su S=11111d()2()1112121()2212211120()()1()()d()1ln()1()()(22)()ln(1).2Tstr su TtTTxHHHHb s xHt tnb TtHHHtiiteSeYBTBtBTBtceBs
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15、TtTTxHHHHb s xHt tnb TtHHHtiiteSeYBTBtBTBtceBs dxrYaaeTtv TtTtSbbb=+11111d()2()1112121()2212211120()()1()()d()1ln()1()()(22)()ln(1).2Tstr su TtTTxHHHHb s xHt tnb TtHHHtiiteSeYBTBtBTBtceBs dxrYaaeTtv TtTtSbbb=+11111d()2()1112121()2212211120()()1()()d()1ln()1()()(22)()ln(1).2Tstr su TtTTxHHHHb s xHt t
16、nb TtHHHtiiteSeYBTBtBTBtceBs dxrYaaeTtv TtTtSbbb=+11111d()2()1112121()2212211120()()1()()d()1ln()1()()(22)()ln(1).2Tstr su TtTTxHHHHb s xHt tnb TtHHHtiiteSeYBTBtBTBtceBs dxrYaaeTtv TtTtSbbb=+()2()11221()2221220()()1()()d()ln()1()()1(22)()ln(1).2Tstr dsu T tTT xHHHHb s xHt tb T tttn mHHHiieSeYBTBtBTBtceBs dxrYaaeTtv TtSbbbTt+=+()2()11221()2221220()()1()()d()ln()1()()1(22)()ln(1).2Tstr dsu T tTT xHHHHb s xHt tb T tttn mHHHiieSeYBTBtBTBtceBs dxrYaaeTtv TtSbbbTt+=+11111d()2()1112121()2212211120()()1
