1、张宇数学教育系刘丛书 一上启航教育同烝！O主编张宇【概率论与数理统计分册】北京理工大学出朕匙张宇数学教育系列丛书 一O主编张宇【概率论与数理统计分册】张宇数学教育系列丛书编委(按姓氏拼音排序)蔡燧林 陈静静 方春贤 高昆轮 胡金德 贾建厂 李志龙 刘硕 柳叶子吕倩 秦艳鱼 沈利英 史明洁 石臻东 王慧珍 王燕星 吴金金徐兵严守权亦-(笔色曾凡會色张乐张青云张婷婷 张宇郑利娜朱杰型北京理工大学出廣社版权专有侵权必究图书在版编目(CIP)数据张宇考研数学基础30讲.概率论与数理统计分册/张宇主编一北京:北京理工大学出版社,2021.8ISBN 978-7-5763-0096-3I 张U张 皿高等数
2、学-研究生-入学考试-自学参考资料IV.013中国版本图书馆CIP数据核字(2021)第166521号出版发行/北京理工大学出版社有限责任公司社址/北京市海淀区中关村南大街5号邮编/100081电话/(010)68914775(总编室)(010)82562903(教材售后服务热线)(010)68944723(其他图书服务热线)网址/http:/www.bitpress,经销/全国各地新华书店印刷/河北鹏润印刷有限公司幵本/787毫米X1092毫米 1/16印张/7.5责任编辑/多海鹏字数/187千字文案编辑/多海鹏版次/2021年8月第1版2021年8月第1次印刷责任校对/周瑞红定价/49.8
3、0元责任印制/李志强图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线,本社负责调换彳做3怨久啊较辭傅顷、-、史剩致72况弦代也毓敏取如坯力剂我打电;二、曲收b 砂总 亍3的次、於冰润乜;三、乍箴K齐时即為彳敷孚综M、残悴知略舷次取A同吃坯沙衣力佬咗理洛传不冷仏冰初阳如乩为 久汰孙！如，力二-申八R孑巧臣I 2022版前言TV 警这本书是专门供学生考研数学基础复习之用的。之所以叫张宇考研数学基础30讲,是因为将考研 数学中的全部基础知识系统化和科学化地分成了 30个部分,希望考生一讲一讲地学,一关一关地过，最终 建立起考研数学的基础知识结构，实现真正意义上的夯实基础。一、这是真正意义上的考研数学基础教材
4、考研数学命题并没有指定教材，学生可以自行选择市面上的各种教材进行复习，但有一个专业问题：市面上的数学教材大多是为大学数学教学而编写的，依据的是本科教学基本要求,鲜见真正意义上按照 全国硕士研究生招生考试数学考试大纲（简称考试大纲）编写的数学教材，尤其是基础教材，本书就是 在多年一线考研辅导基础上做出的最新成果。二、这是真正意义上的全程视频讲解我全程讲解了这本书，并且将讲解视频做了两种系统。一种是整讲观看系统:扫描书中每一讲开篇的 二维码，可以观看这一讲全部的视频讲解，使得知识具有完整性和连贯性，适合第一遍起步复习。另一种 是逐点观看系统:扫描书中知识点旁的二维码，可以有针对性地观看对应这一知识
5、点的视频讲解,适合第 二遍查漏补缺，巩固知识。三、这是基础课笔记这是我在基础课上讲岀来的笔记,学生可以听着课跟我一页一页地学，我把笔记写好了，你可以集中 精力认真听，不需再记大量笔记,我几乎把要说的话一句一句都写出来了，请务必搞懂吃透。四、这是课后作业每讲后面的习题与附录基础300题作为课后作业，所有题目均有详细解答,课后务必及时落实。五、这是答疑解惑起步阶段的复习，很多学生会遇到各种问题和疑惑:知识理解上的问题，思路方法上的疑惑。本书集 中回答并希望能够切实解决学生的各种问题和疑惑。六、这是减负不是增负不论你在读哪本数学教材，本书都可以作为思考总结的笔记，放在手边随时翻阅，基础阶段的知识、思
6、 路、题型和方法，皆会以清晰的结构呈现在你面前，把握在你手中。你若能再添砖加瓦，画龙点睛,将其内 化为你自己的，那将是极妙的。七、看到什么程度一遍当然不够。反复修炼直至字字搞懂、句句通透并熟稔于心。1考研数学基础30讲概率论与数理统计分册感谢命题专家们给予的支持、帮助与指导，感谢编辑老师们的辛勤工作和无私奉献，感谢学生们的努 力和信任。本书是我多年基础阶段教学经验的总结，愿助潜心研读者打好地基、夯实基础,勇攀考研数学高峰。2第1讲 随机事件与概率.1第2讲 一维随机变量及其分布.22第3讲 多维随机变量及其分布.45第4讲 随机变量的数字特征.73第5讲 大数定律与中心极限定理.88第6讲 数
7、理统计.93第7讲基础知识结构考研数学基础30讲概率论与数理统计分册%基础内容精讲、基本概念1.随机试验称一个试验为随机试验,如果它满足以下三个条件：（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个；（3）每一次试验会出现哪一个结果，事先并不能确定.我们是通过研究随机试验来研究随机现象的，为方便起见，将随机试验简称为试验，并用字母E或 Ei，E?，表不.s【注】在不少情况下，不能确切知道某一随机试验的全部可能结果，但可以知道它不超出某个i|范围这时，也可以用这个范围来作为该试验的全部可能结果的集合.例如，需要记录某个城市一天I 的交通事故数量，则试验结果
8、将是非负整数工无法确定乂的可能取值的确切范围，但可以把这个范|围取为0,+兀），它总能包含一切可能的试验结果，尽管明知某些结果，如-10 000是不会出现I:的甚至把这个范围取为（一x,+x）也无妨.这里体现了一定的数学抽象，它可以带来很大的方便.纟2.随机事件在一次试验中可能出现,也可能不出现的结果称为随机事件，简称事件,并用大写字母A,B,C等表 示因讨论需要，将每次试验中一定发生的事件称为必然事件，记为O.每次试验中一定不发生的事件称为 不可能事件，记为0.2第7讲随机事件与概率i i【注】随【注】随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它f|的发生呈现
9、出一定的规律性，这门课程正是要研究这种规律性，读者应在学习这门课程后，对此有|较为深刻的认识.j3.样本空间随机试验的每一个可能结果称为样本点，记为3.样本点的全体组成的集合称为样本空间（或基本事 件空间），记为。，即O=.由一个样本点构成的事件称为基本事件随机事件A总是由若干个基本事件 组成，即A是0的子集.二、事件的关系与运算1.定义（关系:包含、相等、相容、互斥、对立;运算:和（并）、差、积（交）（1）如果事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A（或A被B包含），记为ACB.（2）如果AUB且EUA,则称事件A与B相等，记为A=B.A与E相等，事实上也就是说,A与占由 一些完全相
10、同的试验结果构成,它不过是同一事件表面上看起来不同的两个说法而已.（3）称“事件A与B同时发生”的事件为事件A与B的积事件（或交事件），记为AQB或AB【注】称“有限个（或可列个）事件人，人2,，A”（）同时发生的事件为事件人，4,，I a”（）的积事件（或交事件），记为n a（或n人）.I 1=1 i=（4）若ABH0,则称事件A和E相容;若AB=0,则称事件A与B互不相容，也叫互斥.如果一些事 件中任意两个事件都互斥,则称这些事件是两两互斥的，或简称互斥的.（5）称“事件A与3至少有一个发生”的事件为事件A与占的和事件（或并事件），记为AUB.i i【注】【注】称“有限个（或可列个）事件A
11、，A，,人（）至少有一个发生”的事件为事件A，A,，I AC-）的和事件（或并事件），记为J A;（或J A,）.?=1 h（6）称“事件A发生而事件B不发生”的事件为事件A与B的差事件，记为A-B；称“事件A不发生”的事件为事件A的逆事件或对立事件，记为A.由定义易知A-B=A-AB=AB,B=AoAB=0MAUB=an oo（7）称有限个（或可列个）事件Ai，A，,A”（）构成一个完备事件组，如果U A（或U A）=。i=l ilAiAj=0（对一切Hj；d,j=1,2,（）.（8）事件的关系与运算可以用文氏图形象地表示出来（见图11）,图中的矩形表示必然事件0.3考研数学基础30讲概率论
12、与数理统计分册A-BBCA A图1-1M=02.运算法则(1)吸收律 若 AUB,则交换律 AUB=BUA,AnB=BAA.(3)结合律(AUB)UC=AU(BUC),(AnB)nC=An(BnO.(4)分配律 An(BUC)=(AnB)U(AnC),AU(BnC)=(AUB)n(AUC),An(B-C)=(AnB)-(AAC).(5)对偶律(德摩根律)AOT=AnB,AnB=AUB.【注注】（1）事件运算顺序约定为先进行逆运算，然后进行交运算，最后进行并或差运算.（2）事件的关系、运算与集合的关系、运算相当，且具有相同的运算法则，所以我们可以对比着|:理解记忆，并要学会用集合关系去考虑事件关
13、系.j三、概率的定义1.描述性定义通常将随机事件A发生的可能性大小的度量（非负值）称为事件A发生的概率，记为P（A）.2.统计性定义在相同条件下做重复试验，事件A岀现的次数&和总的试验次数九之比电称为事件A在这九次试验 n中出现的频率当试验次数充分大时，频率将“稳定”于某常数p.越大，频率偏离这个常数P的可能性 越小这个常数P就称为事件A的概率.【注注】（1）概率的统计性定义实质上是说，用频率寻作为事件A的概率P（A）的估计.其直观理I；解为某事件出现的可能性大小，可由其在多次重复试验中出现的频率去刻画.（2）从上述（1）可以看出，频率只是概率的估计，而非概率本身.也就是说，概率的统计性定义是
14、:|无法准确给出某事件的概率的，其重要性主要基于以下两点.|它提供了估计概率的方法比如在一批产品中抽取样品，来估计该批产品的合格率（合格率I是客观的数据，抽取样品计算出来的合格率只是一种估计）.I 它提供了一种检验某结论是否正确的准则比如，你说某批产品的合格率是95%,我们做试:|验，抽取样品进行计算，得出的结果是合格率为20%,远远低于你所说的95%,于是毫不犹豫地拒绝 你的结论.j4第7讲随机事件与概率3.公理化定义设随机试验的样本空间为如果对每一个事件A都有一个确定的实数P(A),且事件函数P()满足：(1)非负性:P(A)O；(2)规范性:P(Q)=1；(3)可列可加性:对任意可列个两
15、两互不相容事件A】,人，,A.,(即A4=0,zHj；诂=1,2,有p(U A)=p(A),i=l i=l则称P()为概率,P(A)为事件A的概率.【注】【注】(1)数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而承认的前提，上述公理化定义只是界定j I 了概率这个概念所必须满足的一些一般性质，它不解决具体场合下的概率计算.(2)概率P()是事件的函数.(3)虽然它不解决具体场合下的概率计算，但是我们却常常用它来判断某事件函数P(-)是否|是概率，这种题型在考研试题中也是经常遇到的.四、古典概型和几何概型下面研究两种非常重要的概率类型:古典概型和几何概型.(1)称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概
16、型，如果其样本空间(基本事件空间)满足：只有有限个样本点(基本事件)；每个样本点(基本事件)发生的可能性都一样.如果古典概型的基本事件总数为”，事件A包含怡个基本事件,也叫作有利于A的基本事件为怡个,则A的概率为P(A)=k_事件A所含基本事件的个数 n 基本事件总数 由上式计算得出的概率称为A的古典概率.(2)称随机试验(随机现象)的概率模型为几何概型，如果：样本空间(基本事件空间)0是一个可度量的有界区域；每个样本点(基本事件)发生的可能性都一样，即样本点落入Q的某一可度量的子区域S的可能性 大小与S的几何度量成正比，而与S的位置及形状无关.在几何概型随机试验中，如果Sa是样本空间。的一个可度量的子区域,则事件A=样本点落入区域由上式计算得出的概率称为A的几何概率.Sa的概率为”八Sa的几何度量O的几何度量【注】古典概型与几何概型的区别：基本事件有限、等可能发生的随机试验为古典概型；基本I I事件无限且具有几何度量、等可能发生的随机试验为几何概型.i0考研数学基础30讲概率论与数理统计分册五、概率的基本性质与公式1.性质(1)有界性:对于任一事件A,有0P(A)0,我们称在已知事件
