1、绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题
2、，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合，则 AB=A(1，+)B(，2)C(1，2)D 2设 z=i(2+i)，则=A1+2i B1+2i C12i D12i 3已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|ab|=A B2=|1Ax x|2Bx xz2C5 D50 4生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A B C D 5在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成
3、绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙 6设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)=，则当 x0)两个相邻的极值点，则=A2 B C1 D 9若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆的一个焦点，则 p=A2 B3 C4 D8 10曲线 y=2sinx+cosx 在点(，1)处的切线方程为 A B C D 11已知 a（0，），2sin2=cos2+1，则 sin=A B C D 12设F 为双曲线 C：（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2交于 P
4、、Q 两点若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 A B C2 D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 44sinx32122213xypp10 xy 2210 xy 2210 xy 10 xy 21555332 5522221xyab23513若变量 x，y 满足约束条件则 z=3xy 的最大值是_.14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.15的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b
5、，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=_.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1 则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，
6、考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.23603020 xyxyy，ABC（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积 18（12 分）已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前 n 项和.19（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.的分组 企业数 2 24 53 14 7（1）分别估计这类
7、企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到 0.01）附：.11EBBC Cna1322,216aaana2lognnbanby0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)748.60220（12 分）已知是椭圆的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点（1）若为等边三角形，求 C 的离心率；（2)如果存在点 P，使得，且的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.21.（12 分）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值
8、点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线 l 过点且与垂直，垂足为 P.（1）当时，求及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，求的取值范围.12,F F2222:1(0)xyCabab2POF12PFPF12FPF()(1)ln1f xxxx()f x
9、()=0f x000(,)(0)M:4sinC(4,0)AOM0=30()|2|().f xxa xxxa1a()0f x(,1)x()0f x a 1C 2D 3A 4B 5A 6D 7B 8A 9D 10C 11B 12A 139 140.98 15 16 17解：（1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故.又，所以 BE平面.（2）由（1）知BEB1=90.由题设知 RtABERtA1B1E，所以，故AE=AB=3，.作，垂足为 F，则 EF平面，且.所以，四棱锥的体积.18解：（1）设的公比为q，由题设得，即.解得（舍去）或q=4.342111BCBE1BE
10、EC11EBC1145AEBAEB 126AAAE1EFBB11BBC C3EFAB11EBBC C13 6 3183V na22416qq2280qq2q 因此的通项公式为.（2）由（1）得，因此数列的前n项和为.19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为.产值负增长的企业频率为.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.（2），所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.20.解：（1）连结，由为等边三角形可知在中，于是，故的离心率是.（2）
11、由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，即，na1212 42nnna2(21)log 221nbnn nb1 321nn 1470.2110020.021001(0.10 20.10 240.30 530.50 140.70 7)0.30100y 52211100iiisnyy222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100 =0.02960.02960.02740.17s 1PF2POF12FPF1290FPF2PFc13PFc122(31)aPFPFcC31cea(,)P x y1|2162yc1yyxc xc 22221xyab|16cy 222xyc，由及得
12、，又由知，故.由得，所以，从而故.当，时，存在满足条件的点P.所以，的取值范围为.21.解：（1）的定义域为（0，+）.因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，故存在唯一，使得.又当时，单调递减；当时，单调递增.因此，存在唯一的极值点.（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.22221xyab222abc422byc22216yc4b 22222axcbc22cb2222232,abcb4 2a 4b 4 2a 4b a4 2,)()f x11()ln1lnxfxxxxx lnyx1yx()fx(1)10f 1ln4 1
13、(2)ln2022f0(1,2)x 00fx0 xx()0fx()f x0 xx()0fx()f x()f x0(1)2f xf 22ee30f()0f x 0,x x01x011x 1111()1 ln10ff 1()0f x 00,x()0f x 22解：（1）因为在C上，当时，.由已知得.设为l上除P的任意一点.在中，经检验，点在曲线上.所以，l的极坐标方程为.（2）设，在中，即.因为P在线段OM上，且，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为.23解：（1）当 a=1 时，.当时，；当时，.所以，不等式的解集为.（2）因为，所以.当，时，.所以，的取值范围是.00,M 0304sin2 33|cos23OPOA(,)Q RtOPQcos|23OP(2,)3Pcos23cos23(,)P RtOAP|cos4cos,OPOA 4cosAPOM,4 2 4cos,4 2()=|1|+|2|(1)f xxxxx1x 2()2(1)0f xx 1x()0f x()0f x(,1)()=0f a1a 1a(,1)x()=()+(2)()=2()(1)0f xax xx xaax xa1,)
