1、2 0 2 3年4月第3 8卷第4期内江师范学院学报J o u r n a l o fN e i j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t yA p r.2 0 2 3V o l.3 8N o.4(2+1)维变系数非线性手性S c h r od i n g e r方程的新精确解赵 宇,孙峪怀*(四川师范大学 数学科学学院,四川 成都 6 1 0 0 6 6)摘 要:在一些实际问题中,变系数非线性演化方程比其反常系数方程更能反映介质的非均匀性和边界的非均匀性,因此研究变系数非线性演化方程具有重要意义.对(2+1)维变系数非线性手性S c h r od i n g
2、 e r方程进行分数阶复变换转化为常微分方程,分离实部和虚部后再分别令其为零,接着利用G/G2()-展开法,求得了一系列带参数的精确行波通解,其中包括有理函数解、三角函数解和双曲函数解.最后当参数取特殊值时进一步得到扭结波、周期波、孤立波解等一系列新的精确解.关键词:G/G2()-展开法;变系数非线性手性S c h r od i n g e r方程;精确解D O I:1 0.1 3 6 0 3/j.c n k i.5 1-1 6 2 1/z.2 0 2 3.0 4.0 0 7中图分类号:O 1 7 5.2 9文献标志码:A文章编号:1 6 7 1-1 7 8 5(2 0 2 3)0 4-0 0
3、 3 4-0 50 引言(2+1)维非线性薛定谔方程是研究脉冲在克尔介质中传播的基本模型.通过自相位调制和反常色散,即使达到克尔效应,也能获得啁啾频率.分散和非线性影响有助于自由啁啾脉冲输出1-4.N L S E是研究皮秒系统中脉冲分布的基本模型.在超短脉冲中,由于入射功率的增加,非克尔非线性和高阶色散变得非常重要5-6.在过去的几年里,B i s w a s7借助孤子摄动理论研究了手性非线性薛定谔方程对孤子的摄动;B i s w a s8获得了具有时间相关系数的手性非线性薛定谔方程的精确孤子解;B i s w a s等9利用H e的半逆变分原理对具有B o h m势的手性非线性薛定谔方程进行
4、积分;J o h n p i l l a i等1 0通过从李对称的角度分析非线性偏微分方程的等效系统来研究具有B o h m势的手性非线性薛定谔方程.值得注意的是,大多数当前的方法1 1-1 5都遵循常系数,很少有方法处理变系数,而在一些实际问题中,变系数非线性演化方程比其反常系数方程更能反映介质的非均匀性和边界的非均匀性,这说明了研究变系数方程具有重要的意义.这启发我们研究和分析(2+1)维变系数非线性手性S c h r od i n g e r方程1 6:iqt+a(t)(qx x+qy y)+ib1(t)(q q*x-q*qx)+b2(t)(q q*y-q*qy)q=0,(1)其中,q是
5、x,y,t的复函数,关于t的函数a(t)表示色散项系数,关于t的函数b1(t),b2(t)表示非线性耦合常数,而q*是未知复函数q(x,y,t)的复共轭.为了得到方程(1)的精确解,首先对方程进行分数阶复变换将其转化为常微分方程,再分别令实部和虚部为零.最后再利用G/G2()-展开法1 7对方程进行求解.1 变系数非线性手性S c h r od i n g e r方程的精确解对方程(1)作分数阶复变换q=e x p(i)U(),q*=e x p(-i)U(),*收稿日期:2 0 2 2-0 7-0 5 基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 1 3 7 1 2 6 7);四川省教育厅自然科学基
6、金重点项目(2 0 1 2 Z A 1 3 5)作者简介:赵宇(1 9 9 7-),女,四川绵阳人,四川师范大学硕士研究生,研究方向:偏微分方程*通信作者:孙峪怀(1 9 6 3-),男,四川成都人,四川师范大学教授,博士,研究方向:数学物理第4期赵 宇,等:(2+1)维变系数非线性手性S c h r od i n g e r方程的新精确解=x+y-v(t),=p x+q y+w(t),(2)其中,p,q是未知常数,U()是关于的实值函数,v(t),w(t)是关于t的未知函数.将式(2)代入式(1),分离实部虚部,并分别令其为0,得(p2a(t)+q2a(t)+w(t)U-a(t)(2+2)U
7、-2(p b1(t)+q b2(t)U3=0,(3)(v(t)-2 p a(t)-2q a(t)U=0.(4)由(4)式得v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,(5)其中C是积分常数.由齐次平衡原理(3n=n+2,n=1),假设方程(3)的解为:U()=a-1g g2-1+a0+a1g g2,(6)其中,a-1,a0,a1均为待定常数,方程(6)满足:g g2=+g g22.(7)将方程(6)代入方程(3),合并g g2相同幂次项,并令各幂次系数为0,得到如下代数方程组:g g2-3:-2(p b1(t)+q b2(t)a-13+2a(t)(2+2)2a-1=0,g g2-2:6(p b
8、1(t)+q b2(t)a-12a0=0,g g2-1:-6(p b1(t)+q b2(t)(a-1a02+a-12a1)+2a(t)(2+2)a-1+(p2a(t)+q2a(t)+w(t)a-1=0,g g20:-2(p b1(t)+q b2(t)(a03+6a-1a0a1)+(p2a(t)+q2a(t)+w(t)a0=0,g g21:-6(p b1(t)+q b2(t)(a02a1+a-1a12)+2a(t)(2+2)a1+(p2a(t)+q2a(t)+w(t)a1=0,g g22:6(p b1(t)+q b2(t)a0a12=0,g g23:-(p b1(t)+q b2(t)a13+a(
9、t)(2+2)2a1=0.解上式代数方程组得:a-1=0,a0=(p2a(t)+q2a(t)+w(t)2(p b1(t)+q b2(t),a1=0,v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt;a-1=2a(t)(2+2)(p b1(t)+q b2(t),a0=0,a1=0,v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,w(t)=-2(2+2)+p2+q2a(t);a-1=0,a0=0,a1=2a(t)(2+2)(p b1(t)+q b2(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,w(t)=-2(2+2)+p2+q2a(t);a-1=2a(t)(2+2)(p b1(t)+q b2(t),a
10、0=0,a1=2a(t)(2+2)(p b1(t)+q b2(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,w(t)=6a-1a1(p b1(t)+q b2(t)-2(2+2)+p2+q2a(t).由a-1,a0,a1均为常数得:a-1=0,a0=C1,a1=0,v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt;a-1=C2,a0=0,a1=0,v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,w(t)=-2(2+2)+p2+q2a(t);a-1=0,a0=0,a1=C3,v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,w(t)=-2(2+2)+p2+q2a(t);a-1=C2,a0=0,a1=C3,其中
11、C1,C2,C3均为常数.情形1:U1=C1,q1=C1e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,p2a(t)+q2a(t)+w(t)=2C1(p b1(t)+q b2(t).情形2:当0时,得三角函数解:53内江师范学院学报第3 8卷U2.1=C2Ds i n()-Ec o s()Dc o s()+Es i n(),q2.1=C2Ds i n()-Ec o s()Dc o s()+Es i n()e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,a(t)(2+2)=C2(p b1(t)+q b2(t),w(t)=-2
12、(2+2)+p2+q2a(t).(8)特别地,当t a n=DE时,q2.1.1=C2t a n(+)e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,a(t)(2+2)=C2(p b1(t)+q b2(t),w(t)=-2(2+2)+p2+q2a(t),(9)其中,D,E为常数.当0时,得三角函数解:U3.1=C3Dc o s()+Es i n()Ds i n()-Ec o s(),q3.1=C3Dc o s()+Es i n()Ds i n()-Ec o s()e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,w(t)=-
13、2(2+2)+p2+q2a(t),a(t)(2+2)=C3(p b1(t)+q b2(t).(1 3)特别地,当t a n=DE时,q3.1.1=C3c o t(+)e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,a(t)(2+2)=C3(p b1(t)+q b2(t),w(t)=-2(2+2)+p2+q2a(t).(1 4)当0时,得三角函数解:U4.1=C4Ds i n()-Ec o s()Dc o s()+Es i n()C4Dc o s()+Es i n()Ds i n()-Ec o s(),q4.1=(C4Ds i n()-Ec o s()Dc o
14、 s()+Es i n()C4Dc o s()+Es i n()Ds i n()-Ec o s()e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,a(t)(2+2)=C4(p b1(t)+q b2(t),w(t)=6a-1a1(p b1(t)+q b2(t)-2(2+2)+p2+q2a(t).(1 8)特别地,当t a n=DE时,q4.1.1=(C4t a n(+)C4c o t(+)e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,a(t)(2+2)=C4(p b1(t)+q b2(t),w(t)=6a-1a1(p b1
15、(t)+q b2(t)-2(2+2)+p2+q2a(t).(1 9)当0时,得曲函数解:U4.2=C4Dc o s h()+Es i n h()Ds i n h()+Ec o s h()C4Ds i n h()+Ec o s h()Dc o s h()+Es i n h(),q3.2=(C4Dc o s h()+Es i n h()Ds i n h()+Ec o s h()C4Ds i n h()+Ec o s h()Dc o s h()+Es i n h()e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,a(t)(2+2)=C4(p b1(t)+q b2(
16、t),w(t)=6a-1a1(p b1(t)+q b2(t)-2(2+2)+p2+q2a(t).(2 0)特别地,当t a n=DE时,q4.2.1=(C4t a n h(+)C4c o t h(+)e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,a(t)(2+2)=C4(p b1(t)+q b2(t),w(t)=6a-1a1(p b1(t)+q b2(t)-2(2+2)+p2+q2a(t).(2 1)当=0,=0时,得有理函数解:U4.3=C3D(D+E),q4.3=(C4(D+E)DC4D(D+E)e x pi(p x+q y+w(t),v(t)=C+2(p a+q)a(t)dt,a(t)(2+2)=C4(p b1(t)+q b2(t),w(t)=-2(2+2)+p2+q2a(t).(2 2)2 结论本文研究了变系数非线性手性S c h r od i n g e r方程,先对方程进行分数阶复变换转化为常微分方程,再 分 离 实 部 和 虚 部 并 分 别 令 为 零,利 用G/G2()-展开法,求得了一系列带参数的精确行波通解,其中包括有理函数解
