1、 普通高等教育“十一五”国家级规划教材辅导教材 普通高等院校大学数学“十三五”规划教材 高等院校精品教材系列 高等数学（同济第七版 下册）习题辅导书 主 编 常桂娟 副主编 曹秀梅 王述香 吴 伟 孙春薇 姜兆英 参 编 姜德民 孙宝山 赵 静 吴春妹 内 容 简 介 高等数学（同济第七版 下册）包括五章内容，因此高等数学（同济第七版 下册）习题辅导书相应地包含五章的习题及其解答，每章内容包括基本内容、基本要求和习题解答。此外，书中还提供历年考研部分试题及解答、高等数学（下册）期末考试试卷选编及参考答案。全书习题丰富，解答详细完整，图表清晰，是学好高等数学课程的首选练习册和优秀的考研指导书。本
2、书可作为大学工科学生高等数学课程的复习指导和练习册，也可作为考研人员的参考书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 高等数学（同济第七版）习题辅导书.下册/常桂娟主编.北京：电子工业出版社，2015.7 ISBN 978-7-121-26305-7 I高 II常 III高等数学高等学校题解 IVO13-44 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2015)第 127824 号 策划编辑：王羽佳 责任编辑：王羽佳 特约编辑：王 崧 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：
3、7871092 1/16 印张：16.75 字数：435 千字 版 次：2015 年 7 月第 1 版 印 次：2015 年 7 月第 1 次印刷 定 价：35.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。服务热线：(010)88258888。前 言 3前 言 本书是与同济大学数学系编写的教材高等数学（第七版）相配套的辅导教材.同济大学数学系编写的高等数学是本科生学习高等数学的经典之作。因此，本书也力求成为更适合大学生学习高等数学的指导书,可作为报考
4、硕士研究生入学考试的复习参考书,还可为高等数学教师批改作业或备课提供参考.为方便读者使用,本书在内容上严格按照同济大学 高等数学（第七版）的各章顺序对应编写,其内容包括三篇.第一篇是高等数学（下册）习题解答,内容包括:基本内容,列出各章节的基本理论知识;基本要求,提出学生对各章节知识点需要掌握的程度;习题解答,给出高等数学（下册）教材各章节习题、总习题的解答.第二篇是历年考研部分试题及解答,内容涵盖向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数,给出了每道试题的年份及类别,学生可以根据自己的具体情况进行选做.第三篇是高等数学（下册）期末考试试卷选编及参考答案.本书由青岛农业大
5、学理学与信息科学学院数学教师编写.其中,第一篇内容的第 8 章由曹秀梅编写,第 9 章由姜兆英、赵静编写,第 10 章由王述香、孙春薇编写,第 11 章由吴春妹编写,第 12 章由吴伟、孙宝山编写.第二篇历年考研部分试题及解答由姜德民编写;第三篇及最终的统稿、定稿由常桂娟完成.由于时间仓促,在编写上难免会有错误,敬请同行、专家、读者批评指正.编 者 2015 年 4 月 目 录 5目 录 第一篇 高等数学（下册）习题解答 第 8 章 空间解析几何与向量代数 2 一、基本内容 2 二、基本要求 2 三、习题解答 3 总习题八 19 第 9 章 多元函数微分法及其应用 26 一、基本内容 26 二
6、、基本要求 27 三、习题解答 27 总习题九 61 第 10 章 重积分 69 一、基本内容 69 二、基本要求 69 三、习题解答 69 总习题十 104 第 11 章 曲线积分与曲面积分 114 一、基本内容 114 二、基本要求 115 三、习题解答 115 总习题十一 154 第 12 章 无穷级数 163 一、基本内容 163 二、基本要求 164 三、习题解答 165 总习题十二 207 6 高等数学（同济第七版 下册）习题辅导书 第二篇 历年考研部分试题及解答 第一部分 向量代数与空间解析几何 222 第二部分 多元函数微分学 225 第三部分 多元函数积分学 233 第四部分
7、 无穷级数 243 第三篇 高等数学（下册）期末考试试卷选编及参考答案 高等数学（下）期末考试试卷（一）255 高等数学（下）期末考试试卷（二）259 参考文献 262 第 一 篇 高等数学（下册）习题解答 2 高等数学（同济第七版 下册）习题辅导书 第 8 章 空间解析几何与向量代数 一、基 本 内 容 1.向量及其线性运算 (1)向量的相关概念:向量、自由向量、向量相等、单位向量、零向量、向量的夹角、向量共线、向量共面、向量的模、向量的方向角、向量的方向余弦和向量在轴上的投影;(2)空间直角坐标系的相关概念:坐标轴、坐标面、卦限、向量的坐标、点的坐标和向径;(3)向量的线性运算:向量的加减
8、法、向量与数的乘法及运算规律.2.数量积、向量积和*混合积 (1)数量积的定义、性质、运算规律、坐标表示式;(2)向量积的定义、性质、运算规律、坐标表示式、几何意义;(3)混合积的定义、性质、运算规律、坐标表示式、几何意义.3.平面及其方程 (1)曲面与空间曲线的概念;(2)平面的点法式方程、一般方程和截距式方程;(3)两平面的夹角和点到平面的距离的计算公式.4.空间直线及其方程 (1)空间直线的一般方程、对称式方程（即点向式方程）和参数方程;(2)两直线的夹角和直线与平面的夹角的计算公式.5.曲面及其方程 (1)旋转曲面、母线和轴的概念;(2)柱面、准线和母线的概念;(3)九类特殊二次曲面：
9、椭圆锥面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面、椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面的标准方程与图形.6.空间曲线及其方程 (1)空间曲线的一般方程;(2)空间曲线的参数方程和*曲面的参数方程;(3)空间曲线在坐标面上的投影.二、基 本 要 求 1.掌握向量的相关概念和空间直角坐标系的相关概念;能够熟练利用坐标计算向量的模、方向角、方向余弦、向量在轴上的投影及向量的线性运算.第 8章 空间解析几何与向量代数 32.掌握数量积和向量积的概念与性质;能够熟练利用坐标计算数量积和向量积;了解混合积的计算公式.3.熟练掌握平面的点法式方程和一般式方程的表示形式与求法;牢记两平面的夹角和点到平
10、面的距离的计算公式.4.熟练掌握空间直线的一般方程、对称式方程（即点向式方程）和参数方程的表示形式、相互转化方法及求法;牢记两直线的夹角和直线与平面的夹角的计算公式.5.掌握九类特殊二次曲面的方程与图形;会求坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转后所得到的旋转曲面的方程.6.了解空间曲线的一般方程与参数方程的表示形式;会求空间曲线在坐标面上的投影.三、习 题 解 答 习题 8-1 1.设2=+uabc,3=+vabc.试用a、b、c表示23uv.解 232(2)3(3)=+uvabcabc5117=+abc.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平行四边形.证明 作四边形ABCD如图
11、 8-1 所示,假设已知,AMMC=?DMMB=?,则有ABAMMBMCDMDC=+=+=?,即AB?与DC?平行且相等,从而四边形ABCD为平行四边形.3.把ABC的BC边五等分,设分点依次为1234DDDD、,再把各分点与点A连接.试以AB=c?、BC=a?表示向量1D A?、2D A?、3D A?和4D A?.解 111155D AD BBABCAB=+=ac?;222255D AD BBABCAB=+=ac?;333355D AD BBABCAB=+=ac?;444455D AD BBABCAB=+=ac?.4.已知两点1(0,1,2)M和2(1,1,0)M.试用坐标表示式表示向量12
12、M M?和122M M?.解 12(1 0,1 1,02)(1,2,2)M M=?;1222(1,2,2)(2,4,4)M M=?.5.求平行于向量(6,7,6)=a的单位向量.解 22267(6)11=+=a.图 8-1 4 高等数学（同济第七版 下册）习题辅导书 平行于向量(6,7,6)=a的单位向量为676,11 11 11=aa.6.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限.(1,2,3);(2,3,4);(2,3,4);(2,3,1)ABCD.解 A在第四卦限;B在第五卦限;C在第八卦限;D在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置.(3,4,
13、0);(0,4,3);(3,0,0);(0,1,0)ABCD.解 在xOy面上点的竖坐标为零;在yOz面上点的横坐标为零;在zOx面上点的纵坐标为零;在x轴上点的纵、竖坐标均为零;在y轴上点的横、竖坐标均为零;在z轴上点的横、纵坐标均为零.A在xOy面上;B在yOz面上;C在x轴上;D在y轴上.8.求点(,)a b c关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)关于xOy面、yOz面、zOx面的对称点分别为(,)a bc、(,)a b c、(,)ab c;(2)关于x轴y、轴z、轴的对称点分别为(,)abc、(,)a bc、(,)ab c;(3)关于坐标原点的对
14、称点为(,)abc.9.自点0000(,)P xyz分别作各坐标面和各坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标.解 0P在xOy面、yOz面、zOx面的垂足坐标分别为000000(,0)(0,)(,0,)xyyzxz、;0P在x 轴y、轴z、轴上的垂足坐标分别为000(,0,0)(0,0)(0,0,)xyz、.10.过点0000(,)P xyz分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面,问在它们上面的点的坐标各有什么特点?解 过点0000(,)P xyz且平行于z轴的直线上的所有点的横坐标均为0 x,纵坐标均为0y;过点0000(,)P xyz且平行于xOy面的平面上的所有点的竖坐标均为0z.11.一
15、边长为a的立方体放置在xOy面上,其底面的中心在坐标原点,底面的顶点在x轴和y轴上,求它各顶点的坐标.解 根据题意作图8-2,则各顶点坐标分别为 2,0,02Aa,20,02Ba,2,0,02Ca,20,02Da,2,0,2Eaa,20,2Fa a,2,0,2Gaa,20,2Ha a.12.求点(4,3,5)M到各坐标轴的距离.图 8-2 第 8章 空间解析几何与向量代数 5解 点(4,3,5)M到x轴的距离为22(3)534xd=+=;到y轴的距离为224541yd=+=;到z轴的距离为224(3)5zd=+=.13.在yOz面上,求与三点(3,1,2)(4,2,2)AB、和(0,5,1)C
16、等距离的点.解 根据题意设所求点为(0,)Py z,由PAPBPC=得 222222222223(1)(2)4(2)(2)3(1)(2)(5)(1)yzyzyzyz+=+=+解得1,2yz=.故所求点为(0,1,2).14.试证明以三点(4,1,9)(10,1,6)(2,4,3)ABC、为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明 因为 222(104)(1 1)(69)7AB=+=222(24)(4 1)(39)7AC=+=222(2 10)(41)(36)7 2BC=+=所以ABAC=且222ABACBC+=,故ABC为等腰直角三角形.15.设已知两点1(4,2,1)M和2(3,0,2)M.计算向量12M M?的模、方向余弦和方向角.解 因为12(34,02,2 1)(1,2,1)M M=?,所以模为22212(1)(2)12M M=+=?;方向余弦分别为121cos,cos,cos222=;方向角分别为231,343=.16.设向量的方向余弦分别满足(1)cos0=;(2)cos1=;(3)coscos0=,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何?解 (1)当cos0=时,即2=,此时向量
