1、第 40 卷第 1 期2023 年 1 月控 制 理 论 与 应 用Control Theory&ApplicationsVol.40 No.1Jan.2023不不不确确确定定定非非非方方方广广广义义义分分分数数数阶阶阶TS模模模糊糊糊系系系统统统的的的鲁鲁鲁棒棒棒镇镇镇定定定张雪峰1,艾洁1,赵泽丽2(1.东北大学 理学院,辽宁 沈阳 110819;2.东北大学 信息科学与工程学院,辽宁 沈阳 110819)摘要:针对不确定非方广义分数阶TS模糊系统阶数为0 1的鲁棒镇定问题,提出了一个有效的判据.首先,利用一个新的TS模糊动态补偿器,将不确定非方广义分数阶TS模糊系统转化为一个增广的不确定
2、方形广义分数阶TS模糊系统.由于增广变量的引入,动态补偿器的设计问题可以等价为静态输出反馈控制器的设计问题.其次,设计一个分数阶导数反馈控制器对得到的增广系统进行正常化处理.然后,对正常化得到的不确定分数阶TS模糊系统进行研究,得到一个系统渐近稳定的充分条件.该条件保守性小并且形式简洁.最后,通过一个数值算例和一个实际例子验证了本文所提出结论的正确性和有效性.关键词:非方广义分数阶系统;TS模糊模型;动态补偿器;鲁棒镇定;线性矩阵不等式引用格式:张雪峰,艾洁,赵泽丽.不确定非方广义分数阶TS模糊系统的鲁棒镇定.控制理论与应用,2023,40(1):47 54DOI:10.7641/CTA.20
3、21.10486Robust stabilization for uncertain rectangular descriptor fractionalorder TS fuzzy systemsZHANG Xue-feng1,AI Jie1,ZHAO Ze-li2(1.College of Sciences,Northeastern University,Shenyang Liaoning 110819,China;2.College of Information Science and Engineering,Northeastern University,Shenyang Liaonin
4、g 110819,China)Abstract:An effective criterion is proposed for the robust stabilization for uncertain rectangular descriptor fractionalorder Takagi-Sugeno(TS)fuzzy systems with 0 1.Firstly,by using a new TS fuzzy dynamic compensator,theuncertain rectangular descriptor fractional order TS fuzzy syste
5、ms are transformed into the augmented uncertain squaredescriptor fractional order TS fuzzy systems.Due to the introduction of the augmented plant,the gain matrices of thedynamic compensator can be solved by an equivalent static output feedback.Secondly,a fractional order derivative s-tate feedback c
6、ontroller is constructed to normalize the augmented uncertain square descriptor fractional order TS fuzzysystems.Thirdly,a sufficient condition of asymptotical stability is proposed for normalized systems,which have less con-servatism and more concise form.Finally,a numerical example and a practical
7、 example are given to verify the effectivenessof the main result in this paper.Key words:rectangular descriptor fractional order systems;TS fuzzy model;dynamic compensator;robust stabiliza-tion;linear matrix inequalitiesCitation:ZHANG Xuefeng,AI Jie,ZHAO Zeli.Robust stabilization for uncertain recta
8、ngular descriptor fractionalorder TS fuzzy systems.Control Theory&Applications,2023,40(1):47 541引引引言言言分数阶微积分是整数阶微积分到任意阶次微积分的推广,它已经有300多年的历史了.由于早期计算机水平相对落后,分数阶微积分一直作为一个纯数学问题被研究.随着计算机技术的发展,许多研究者发现分数阶微积分具有全局性、记忆功能和遗传功能等特性.并且分数阶微积分模型可以比整数阶微积分模型更准确地描述一些实际系统中的动态行为.因此,分数阶微积分在电路1、神经网络2、系统控制3以及粘弹性材料4等各个领域被广泛
9、应用.分数阶系统逐渐成为控制工程领域的一个热点话题.Matignon最早研究了分数阶系统的能控性、能观性和稳定性5.Podlubny在文献6中提出了分数阶PID控制器.PID控制器的提出对于推动分数阶控制系统的应收稿日期:20210605;录用日期:20210923.通信作者.E-mail:;Tel.:+86 18804024117.本文责任编委:邹云.国家重点研发计划项目(2020YFB1710003),国家自然科学基金项目(U20A20189),辽宁省振兴人才计划项目(XLYC1907049)资助.Supported by the National Key Research and Dev
10、elopment Project(2020YFB1710003),the National Natural Science Foundation of China(U20A20189)and the Liaoning Revitalization Talents Program(XLYC1907049).48控 制 理 论 与 应 用第 40 卷用具有重大的意义.近几年,分数阶系统的研究已经取得了丰硕的成果79.广义系统又称为奇异系统,它被应用于电路系统、捕食系统以及航空航天等许多实际系统中.然而,在实际建模中,当系统建模不完全,部分未知或产生部分故障时,其模型通常被构建为一个非方广义系统.所
11、以,研究非方广义分数阶系统有着重要的实际意义.非方广义分数阶系统在电路10和安全通信11等领域被广泛应用.对于方形广义分数阶系统,一个成熟的分析和控制综合理论框架已经建立.文献1213研究了广义分数阶系统阶次分别为0 1和1 2的容许性问题.文献1415解决了广义分数阶系统的正常化和镇定问题.相对于方形广义分数阶系统来说,非方广义分数阶系统更为复杂并且研究结果较少.大部分关于非方广义系统的研究成果都局限于整数阶系统1619.由于非方广义系统是非正则系统,所以任何静态反馈控制器都不能满足非方广义系统的正则化要求.为了解决这个问题,张国山在文献16中首次提出用动态补偿器使非方广义系统镇定.基于动态
12、补偿器方法,文献2021研究了非方广义分数阶系统的镇定问题.TS模糊模型是一种能有效表达复杂系统动态特性的非线性模型.它可以将一个非线性系统表示为若干个线性定常模型,然后通过非线性模糊隶属度函数将这些线性模型平滑地连接起来.到目前为止,TS模糊系统的研究已经成为了一个热点话题.文献2223研究了分数阶TS模糊系统的镇定问题.由于非方系统比方形系统更不规则,所以关于矩形广义TS模糊系统的研究结果还比较少.林崇在文献24中通过使用比例导数型动态补偿器讨论了非方广义TS模糊系统的正常化和镇定问题.基于文献24,文献25研究了非方广义分数阶TS模糊系统的正常化和镇定问题.然而,值得注意的是,文献25中
13、的结论由一组双线性矩阵不等式表示,它不能用LMI工具箱直接处理,而需要通过迭代LMI算法求解.复杂的求解方法和过程可能在数值求解时造成误差.基于以上讨论,本文研究了不确定非方广义分数阶TS模糊系统阶次为0 1的正常化和鲁棒镇定问题.由于非方广义系统是不正则的,并且分数阶系统阶次为0 1的稳定域是非凸的.所以这个问题比研究广义整数阶系统更为复杂.与现有的相关文献2021,25比较,本文通过设计一个新的TS模糊动态补偿器使不确定非方广义分数阶TS模糊系统转化为不确定方形广义分数阶TS模糊系统.该方法弥补了静态反馈控制不能使非方广义系统满足正则化要求的不足;另外,动态补偿器的设计问题可以等价为静态输
14、出反馈控制器的设计问题.针对非对称矩阵变量耦合问题,本文提出了一个改进的矩阵奇异值分解引理,该引理可用于设计分数阶系统的静态输出反馈控制器;本文的结果中仅含有一个变量,形式简洁并且由线性矩阵不等式表示,可以很容易地通过MATLAB中的LMI工具箱直接进行求解.2问问问题题题描描描述述述与与与预预预备备备知知知识识识考虑以下不确定非方广义分数阶TS模糊系统:规规规则则则i:如果z1(t)是Hi1,zs(t)是His,则则则EDx(t)=(Ai+Ai)x(t)+Bu(t),y(t)=Cix(t),(1)其中:0 1;x(t)Rn是状态向量,u(t)Rnu是控制输入向量,y(t)Rny是控制输出向量
15、;矩阵E Rmn且rank(E)=r6minm,n;Ai,B和Ci是具有适当维数的实矩阵;q是模糊推理规则数,Hij(i=1,2,q,j=1,2,s)和zj(x)分别代表模糊集和前件变量.Ai是具有不确定性的时不变矩阵,并且满足Ai=GiFi()Hi,(2)其中:Gi和Hi是已知的常数矩阵,Fi()是具有勒贝格可积元素的不确定矩阵,且满足FTi()Fi()6I.(3)由于Caputo导数允许使用有明确物理意义的经典整数阶导数的初始条件,所以,在本文中用D代表Caputo类型的分数阶导数,定义如下:设函数f()在区间0,t上m阶可导,f(m)()在区间0,t上绝对可积,Dtf(t)=1(m )t
16、0(t )m1f(m)()d,其中:m 1 0,i=1,2,q和|qi=1wi(z)0,wi(z)0,i=1,2,q.众所周知,通过静态反馈控制器所获得的闭环系统的维数等于所考虑系统的维数.因此,任何静态反馈控制器都不能满足非方广义分数阶系统的正则化要求.为了解决这个问题,类似于文献17中整数阶系统的情况,本文设计下列动态补偿器.规规规则则则i:如果z1(t)是Hi1,zs(t)是His,则则则EcDxc(t)=Acixc(t)+Bciy(t)+vc(t),u(t)=Ccixc(t)+Dciy(t)+v(t),yc(t)=xc(t),其中:xcRnc是动态补偿器的状态向量;vcRmc是动态补偿器的控制输入向量;v Rp是系统新的控制输入向量;Aci,Bci,Cci和Dci(i=1,2,q)是动态补偿器的增益矩阵;矩阵EcRmcnc且rank(Ec)=rc6minmc,nc.全局动态补偿器可以写成|EcDxc(t)=qi=1hi(z)Acixc(t)+Bciy(t)+vc(t),u(t)=qi=1hi(z)Ccixc(t)+Dciy(t)+v(t),yc(t)=xc(t).(5)然后,结
