1、2023 年 第 2 期 化学工程与装备 2023 年 2 月 Chemical Engineering&Equipment 11 含理想裂纹层合板有效力学性能分析 含理想裂纹层合板有效力学性能分析 石 虎，梁寒冰，彭鑫俞（武汉工程大学机电工程学院，湖北 武汉 430205）摘 要：摘 要：目前的研究往往假定裂纹为理想的光滑裂纹，忽略了啮合缺陷，进而忽视了裂纹之间纤维桥联和裂纹面之间相对约束的影响。因此为了研究含啮合缺陷的角铺设层合板，本文对裂纹面之间的相对约束关系进行了分析，建立了相应的边界条件；并引入层间应力函数和待定系数，在满足平衡微分方程和应力连续条件的情况下推导出各区域的应力分量一般
2、表达式；最后计算了啮合缺陷下损伤层合板的有效柔度元素。关键词：关键词：对称层合板；理想缺陷；裂纹面相对约束 引 言 引 言 在外部载荷施加的情况下，复合材料层合板中间层会产生沿纤维方向的裂纹，并不断延伸，直至贯穿整个 90层。由于载荷的存在，裂纹会不断地产生，并且越来越密集，直到达到某一极限值，进而产生一些严重的破坏现象，如局部分层或者纤维断裂等1。对于粗糙裂纹面且具有纤维桥联的裂纹，在理想情况下可以用含啮合缺陷的模型来模拟。本文将从含啮合缺陷层合板模型入手，考虑层合板的边界条件，并结合平衡微分方程和层间应力的连续性推导出层合板各层应力分量的一般表达式，然后计算出啮合缺陷下角铺设层合板的有效柔
3、度元素，最后将现有研究结果与本文理论分析结果进行对比，证明本文模型的有效性。1 分析单元 1 分析单元 图 1.1 含基体裂纹角铺设对称层合板体积单元几何模型 图 1.1 含基体裂纹角铺设对称层合板体积单元几何模型 对于含横向基体缺陷m/90ns角铺设对称纤维层合板，在载荷作用下，90层的横向裂纹会沿主方向均匀分布，直至贯穿整个层合板的 90层，因此角铺设对称层合板的裂纹在主方向上具有周期性。为了方便分析，提取一个体积单元 RVE,如图 1.1 所示，t1=nt0和 t2=mt0为 90层和 层的厚度，下标 1 为 90层，下标 2 为 层，两个裂纹之间的距离为 2L1，整体厚度为 2h=2t
4、1+2t2，层合板按照、90、铺设，在结构上具有上下的对称性，因而仅需研究体积单元的上半部分即可。2 边界条件 2 边界条件 在边界 x=L1处，（1）层和（2）层的拉应力和切应力满足合力为：11(1)(2)12|xxLxxLxtth=+=（2-1）()()1112120 xyxyxLxLtt=+=（2-2）式中的上标（1）和（2）分别表示 90层和 层，xDOI:10.19566/35-1285/tq.2023.02.05212 石 虎：含理想裂纹层合板有效力学性能分析 为平均拉应力。对于啮合缺陷，其裂纹表面存在切应力，在边界x=L1处，（1）层和（2）层的切应力为：1(1)=0 xxL=（
5、2-3）()11xxyxL=（2-4）结合式（2-1）和式（2-2）可得：1(2)2=xxxLht=（2-5）()1212xxyxLtt=（2-6）式中是待定的分配系数。设层合板第（1）层和第（2）层之间的层间切应力分别为：(12)(12)()()xxzxzy =，（2-7）式中1=x L为无量纲量，其中上标（12）表示（1）、（2）层之间的界面。对于对称层合板，在层合板的中面(z=0)上，面外切应力为 0，即：(1)(1)00=0 xzZyzZ=（2-8）在层合板表面(z=h)，法向拉应力和面外切应力为 0，即：(2)2)2)=0zZ hxzZ hyzZ h=（2-9）由于单元受拉伸载荷作用
6、，在边界 x=L1处，面外切应力均为 0，即：11(1)(2)=0 xzxLxzxL=（2-10）3 应力分量 3 应力分量 结合平衡微分方程式以及边界条件式(2-1)至式(2-10)，可推导出损伤单元中第(1)层和第(2)层应力分量的一般表达式如下：(1)11(1)112(1)11(1)1(1)1(1)111()1()11()()2()()1()xxxyxzxzxxzyxxxyLtLtzhtLztztLt =+(2)122(2)122(2)21(2)2(2)2(2)11221()()()1()2()()1()xxxyxzxzxxzyxxyxxhLttLthztLhzthzttLtt =+=4
7、 啮合缺陷控制方程与补充方程 4 啮合缺陷控制方程与补充方程 层合板各层的应变余能密度为：()()()()()()()()()()()()()1,1,22iiiiiiiiiiiiixxyyzzzxzxzyzyxyxyui=+=（4-1）则该层合板的总余能为：()()11111112*0LtLhcLLtUu dzdxudzdxU=+（4-2）在满足平衡微分方程和应力边界条件的情况下，损伤单元的余能最小，则有：0cU=（4-3）将各层应力分量以及式（4-1）和式（4-2）代入式（4-3）,并对其变分结果进行化简与整合，则对三个非零量()()()、，可得到三个控制方程：石 虎：含理想裂纹层合板有效力
8、学性能分析 13 1111111212131311()()()()()()()ABCBCBCD +=（4-4）212122222322()()()()()BCBCCD +=（4-5）3131323233()()()()BCCCD +=（4-6）同时对于式中待定的非零量，可以得到一个补充方程：11121222342111()()()22CdCdCdD +=（4-7）式中11111213212231111213212223313233,ABBBBBBCCCCCCCCC 1234123,DDD 详情见附录。根据式（4-7），将函数()用函数()和()进行代替：()()()()331313233333
9、333333=DBCCCCCCC （4-8）再将式（4-8）代入式（4-4）和式（4-5）中可以得到：111111121211()()()()()abcbcd +=（4-9）2121222222()()()()bcbcd +=（4-10）式中1111122122111221221212,abbbbccccdd 见附录。5 控制方程与补充方程的解 5 控制方程与补充方程的解 通过线性微分方程理论，可以对式(4-9)和式(4-10)组成的非齐次线性微分方程进行求解，其解由两部分构成，分别为齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解。而齐次方程的通解可用一般指数函数形式rCe来表达。根据式(4-9)和(4
10、-10)可以得到啮合裂纹的特征方程：422111111121222212122220MMMMMMMMMa rb rcb rcb rcb rc+=+（5-1）可求得啮合裂纹的特征向量为()()11TMMjjDD=uuu?,并且根据边界条件可知的jjCC+=，则可得到()2coshjjrrjjjjC eC eCr+=，令2jjAC+=，则可以将函数()和()表示为：()()311()coshjjjjA Dr=+（5-2）()31()coshjjjAr=+（5-3）再根据边界条件得到：()()311(1)cosh0jjjjA Dr=+=（5-4）()31(1)cosh0jjjAr=+=（5-5）()
11、()311(1)sinh0jjjjjA Drr=（5-6）依据式(4-9)和式(4-10)，可得其特解应为：111211ccd+=（5-7）14 石 虎：含理想裂纹层合板有效力学性能分析 212222ccd+=（5-8）将函数()和()代入补充方程式（4-7），得：()()3212112122421sinhjjjjjc DcArccdr=+=（5-9）式中4详见附录。6 损伤层合板的力学性能 6 损伤层合板的力学性能 通常研究层合板应力与应变的关系，可以通过对层合板试样进行载荷试验，并测量试样表面的变形来确定其性能。因此可以通过分析损伤单元在平均拉应力x下RVE表面所产生的平均应变，来估算损伤
12、层合板的力学性能。根据第(2)层材料应力应变关系，RVE 表面的平均应变分量为：1111(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)1261111,J=1,2,622LLJJJxJyJxyz hLLdxSSSdxLL=+（6-1）式中(2)(2)(2)126,(1,2,6)JJJSSSJ=是角铺设层的弹性参数 将函数()和()的表达式代入式（6-1），可以得到损伤层合板有效平面柔度元素：()(2)31145612sinh,1,2,6jJJJijJJJxjjrLSQ AQQQJtr=+=（6-2）式中：()(2)(2)(2)(2)31321 126213333,1,2,3JiJJJJjCCQ
13、SSDSSiCC=+=(2)(2)3141233JJJCQSSC=+(2)(2)(2)(2)33161622113333JJJJJDthQSSSSLLCC=+7 算例分析 7 算例分析 为了计算损伤复合材料层合板中 层的有效力学性能，并与其他文献进行数据对比，本文拟选用玻璃环氧树脂作为材料，其参数来源于 Huang et al3学者的文章，表 7-1列出了玻璃环氧树脂的材料常数。表 7-1 复合材料单向材料常数 表 7-1 复合材料单向材料常数 ()EAGPa()ETGPa()GAGPa()GTGPa vA vT 0()t mm 玻璃环氧 45.0 15.0 5.00 5.36 0.30 0.
14、40 0.100 针对损伤302/902s层合板，采用上表的玻璃环氧作为材料，当基体裂纹密度逐渐增大时，含啮合缺陷损伤302/902s层合板的有效柔度系数11S、12S、16S的变化分别如图 7.1、图 7.2 和图 7.3 所示。石 虎：含理想裂纹层合板有效力学性能分析 15 层合板柔度矩阵中的柔度元素都有相应的工程常数表达形式4，对比无损层合板柔度元素的值，可以更直观地看到层合板的力学性能变化情况。其中 Present 为本文啮合缺陷模型的计算结果，与 Huang et al3的研究进行比较可以看出两者的结果基本吻合，证明了本文模型的准确性与合理性。图 7.1 含啮合缺陷30 图 7.1
15、含啮合缺陷302 2/90/902 2 s s层合板有效柔度元素层合板有效柔度元素11S变化 变化 图 7.2 含啮合缺陷30 图 7.2 含啮合缺陷302 2/90/902 2 s s层合板有效柔度元素层合板有效柔度元素12S变化 变化 图 7.3 含啮合缺陷30 图 7.3 含啮合缺陷302 2/90/902 2 s s层合板有效柔度元素层合板有效柔度元素16S变化 变化 8 结 语 8 结 语 本文对含基体啮合裂纹角铺设对称层合板的力学性能进行了分析与研究，主要探讨了裂纹之间存在纤维桥联和裂纹面之间存在相对约束的情况下层合板有效力学性能的变化。即随着裂纹密度的增大，层合板的有效柔度元素不
16、断增大，并逐渐趋于一个极限值，为复合材料层合板的失效研究提供了参考依据。参考文献 参考文献 1 Zhang Daxu,Ye Jianqiao,Lam Dennis.Properties degradation induced by transverse cracks in 16 石 虎：含理想裂纹层合板有效力学性能分析 general symmetric laminatesJ.International Journal of Solids and Structures,2007,44(17).2 Johnson WS,Masters JE,Lagace PA.Multiple Transverse Cracking and Stiffness Reduction in Cross-Ply LaminatesJ.Journal of Composites Technology&Research,1991,13(2):97-106.3 Huang ZQ,Yi SH,Chen HX.Parameter analysis of damaged region for laminates with
