1、山东大学学报（理学版）年 月 第 卷 第 期：（），：山东大学科技期刊社版权所有：收稿日期：；网络出版时间：网络出版地址：基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金资助项目（）；新疆维吾尔自治区高校科研计划项目（）；新疆伊犁州科技计划项目（）；伊犁师范大学博士科研启动基金项目（）；伊犁师范大学科研创新团队项目（）；伊犁师范大学学实高层次人才岗位项目（）第一作者简介：周鑫（），男，博士，副教授，硕士生导师，研究方向为代数与序结构以及李代数：文章编号：（）：基于 值泛代数的 值模周鑫，刘淼，（伊犁师范大学数学与统计学院，新疆 伊宁；伊犁师范大学应用数学研究所，新疆 伊宁）摘要：值模是一类格值代数结构，
2、定义在类似于模的泛代数上。首先，将经典数学中等式用模糊恒等式替代，基于 值泛代数给出了 值模的概念。其次，通过模糊代数的商结构给出了 值泛代数是 值模的充分必要条件。再者，给出了 值模的基本性质。最后，给出了 值子模的刻画。关键词：模糊集；值集；值泛代数；值模；模糊恒等式中图分类号：文献标志码：引用格式：周鑫，刘淼 基于 值泛代数的 值模 山东大学学报（理学版），（）：，（，；，）：，：；引言 年，引入模糊集的概念，标志着模糊数学的诞生。因为模糊数学既涵盖了经典数学理论，又可以表达和处理现实生活中具有模糊性的问题，所以在理论研究和实际应用中都得到了长足的发展。从数学角度来看，于 年将模糊集的真
3、值集选取为比单位区间更一般的完全分配格 上，定义了模糊集的概念，使得模糊数学的应用更加广泛。年，给出了模糊群的概念，从而模糊代数受到了许多数学工作者的关注。在模糊群概念的基础上，模糊环、模糊域、模糊向量空间、模糊模、模糊李代数等一系列代数结构都被刻画出来。值集合是一类由模糊关系所决定的模糊集合，出现在 年 和 运用模糊等式构建直觉逻辑模型的过程中。于 年在模糊数学的框架下进行了较为深入的描述。此后，、等对构造 值集合的模糊等式进行了具体的研究。在 值集合的基础上，和、第 期周鑫，等：基于 值泛代数的 值模 和、和、和 等对 值泛代数的结构与性质进行了有益的探索。较之于经典代数内容，值泛代数内涵
4、更加丰富，实用性更加宽广。首先，值群是一类特殊的 值泛代数，由 等给出其定义。群一定是 值群，而 值群是由模糊等式而非经典的等式来定义结合律、单位元、逆元等基本组成要素，所以 值群未必是群，说明 值群是经典群的推广。再者，值格、值拟群、值环、值域等格值代数结构也逐步被定义，从而更好地丰富了 值泛代数的结构。本文首先利用模糊恒等式替代经典数学中的等式，基于 值泛代数给出了 值模的概念，并用具体实例说明了 值模是经典模的推广；其次，通过模糊代数的商结构给出了 值泛代数是 值模的充分必要条件；再者，给出了类似于模结构性质的 值模的基本性质；最后，给出了 值子模的刻画。基本概念本文设（，）是一个完备格
5、，即格 的任意子集 有最大元 和最小元。特别地，和分别表示 的最大元和最小元。（，）表示一个泛代数，其中 是一个集合，是 上的运算集。定义 设 是一个集合，映射：称为 上模糊集。设：是集合 上的模糊集，令，则（）是 的子集，称 为 的 截集。设，：都是集合 上的模糊集，若任意，都有（）（），称 是 模糊子集，记为。定义 设 是一个集合，映射：称为 上模糊（二元）关系。（）任意，如果有（，）（，）成立，称 是对称的；（）任意，如果有（，）（，）（，）成立，称 是传递的；（）任意，如果有（，）（，）（，）成立，称 是严格的；（）任意，当（，）（，）（，）时，有，称 是可分的。若 是 上对称的、传递
6、的模糊关系，称 为 上的 值等式或模糊等式。若 是 上的 值等式，称（，）是 上 值集。定义 设 是一个集合，：是 上模糊关系，：是 上模糊集。任意，如果有（，）（）（）成立，称 是 上的模糊关系。若 是 上的模糊关系，且任意 有（，）（），则称 在 上是自反的。若 是 上对称的、传递的模糊关系，且 在 上是自反的，则称 是 上的 值等式或模糊等式。注 若 是 上模糊关系，令（）（，），则 是 上的模糊集，此时称 由 所诱导。显然，若（，）是 上 值集，是 上由 所诱导的模糊集，则 是 上的模糊等式。定义 设（，）是一个泛代数，：是 中的（）元运算。任意，如果 上的模糊集：，使得（）（，）成立
7、且对于常量（元运算），（），则称 为 上的模糊泛代数，在不至于混淆的情况下，也简称 为 上的模糊代数。例如，设 是环，（，）是一个 模，其中是 上的加法运算、是 上的关于加法的逆运算、是 上的加法单位元、是 在 上的数乘运算（环 确定的情况下，也称（，）是一个模）。任意，若模糊集：满足：（）（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）（），则称：是 上的模糊模。山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷定义 设（，）是一个泛代数，（，）是 值集，且 与 中运算相容，即（，）（，），（，）成立且对于 元运算（常量），（，），则称（，）是一个 值泛代数。定义 设（，）是一个泛代数，是 上的
8、值等式，若，：是 上的 元运算。任意，称（，），（，）是 上关于 的模糊恒等式，也简称为模糊恒等式。设（，），）是一个 值泛代数，是 所诱导的 上的模糊代数（）（，），），满足（）（，），（，），（）称（，），（，）是 上关于 的模糊恒等式。定义 设 （，）是一个有二元运算、一元运算、常量 的泛代数，（，）是 值泛代数，是 所诱导的 上的模糊代数，任意，若模糊恒等式（）（），（）；（）（，），（，）；（）（，），（，），成立，则称（，）是一个 值群。注 由于 未必是一个群，因此 未必是模糊子群。值模下面在 值泛代数的基础上讨论 值模结构。定义 设 是一个含单位元 的环，（，）是一个 值泛代数，
9、其中（，）是一个泛代数，是 上的一个二元运算，是 上的一元运算，是 上的一个常量，是 在 上的数乘运算，即笛卡尔积 到 的映射。令 是 所诱导的 上的模糊代数。任意，如果以下模糊恒等式成立：（）（），（）；（）（，），（，）；（）（），），（），）；（）（，）；（）（），）；（）（），）；（）（），（）；（）（，），称（，）是一个 值模。为了简单起见，任意，下文将数乘 记为。注 由式（）可以看出定义 中模糊恒等式相当于下述格值不等式成立：（）（），（）（）（）（）；（）（，）（），（，）（）；（）（），）（），（），）（）；（）（，）（）（）；（）（），）（）（）；（）（），）（）；第 期周鑫
10、，等：基于 值泛代数的 值模 （）（），（）（）；（）（，）（）。注 由于 未必是一个模，因此 不一定是模糊子模。注 定义 中（，）是一个 值模，考虑泛代数（，）的（，）部分，则（，）是 值交换群。例 设 是一个含单位元 的环，（，），）是 值交换群，是 所诱导的 的模糊代数，任意，定义 在 上的数乘运算，则（，），）是一个 值模。首先，因为（，），）是 值交换群，所以 与运算、和常量 都是相容的，说明（，）是一个 值泛代数，只需证 与数乘运算相容，又（，）（，），故（，）（，）。其次，定义 中模糊恒等式（）（）由（，）是 值交换群可得，模糊恒等式（）中（），所以（），）（，）（）（）（）。类
11、似讨论可得模糊恒等式（）（）成立。综上，（，）是一个 值模。定理 设 是一个含单位元 的环，若（，）是一个模，（，）是 值集，且：由 所诱导，则（，）是一个 值模。证明 因为（，）是一个模，定义 中的需要证明的模糊恒等式（）（）都是等式，由文献中的命题 可得结论成立。证毕。定理 说明若（，）是模则它一定是 值模。反过来，（，）是一个 值模，未必是模。下面举例来说明这一点。例 设（，），是一个含单位元 的环，泛代数（，）及 上模糊等式 定义如下：表 二元运算表 一元运算表 模糊等式.表 数乘运算 容易验证（，）是一个 值模。需要注意的是（，）并不是一个模。定理 设 是一个含单位元 的环，（，）是
12、一个 值泛代数，是 所诱导的 的模糊代数。（，）是一个 值模的充分必要条件是任意，商集合 关于 上运算所诱导的运算可以构成一个模。证明 必要性。令 是 模 的商集合，是 所在的同余类，则（，）是与 同类型的泛代数，其中、由 上的运算所自然诱导。首先，由文献可得（，）是交换群。山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷 其次，任意，由（），）（）（），得（），），故（）（）（）。类似可以证明（），）。由（），（）（），得（），（），故（）（）（）（）（）。再次，。综上，（，）是一个模。充分性。由文献可得定义 中模糊恒等式（）（）成立。令（）（），则任意，有（）（）（），。由 是一个模，得（），从
13、而，（），）（）（）。类似可证（），）。令（），则任意，有（）（），（）（）（）。由 是一个模，得（）（），从而，（），（）（）。又因为 ，得（，）（）。综上，（，）是一个 值模。证毕。定理 设（，）是一个 值模，是 所诱导的 的模糊代数，则以下模糊恒等式成立：（）（，），（，）；（）（），），（），）；（）（），（），（），）。证明 任意，令（），由定理 知 是一个模。因为，所以 且是模 的常量。设，则。由 是模，有。又因为，所以（，），即（，）。定理中其余结论类似可证。证毕。第 期周鑫，等：基于 值泛代数的 值模 值子模定义 设，：是集合 上的模糊集且，是 上的模糊关系，是 上的模糊关系。
14、若（，）（，）（）（），则称 是关于 在 上的限制。定义 设（，），（，）是泛代数（，）上的 值模，、是 所诱导的 的模糊代数且。若 是关于 在 上的限制，则称 是 的 值子模。定理 设 是一个环，（，）是一个 值模，、是 所诱导的 的模糊代数且。是 上的模糊关系且（，）（，）（）（），则（，）是（，）的 值子模当且仅当（）（）（，），（）（，），（）（，），（），。证明 必要性显然。下证充分性：由文献可得（，）是 值交换群。由（，）（，）（）（），有（，）（，）（）（）（，），所以（，）是 值泛代数。又因为（），）（），）（）（）（）（）（）（）（）（），得定义 中模糊恒等式（）成立，模糊恒
15、等式（）（）类似可证，故（，）是（，）的 值子模。证毕。结语近年来，基于 值泛代数的 值群、值环、值域等模糊代数结构引起了许多数学工作者的关注。本文在上述研究成果的基础上，给出了 值模的概念及相关结论，扩大了此类问题的研究范围。众所周知，随着现代数学的研究问题不断从局部向整体拓展，同调代数的方法已渗透到各个数学分支以及物理学、信息科学等自然科学领域。在 值模的基础上，下一步可以研究 值模同态、值模范畴等相关问题，从而建立 值同调代数理论，使得 值模理论应用更加广泛。参考文献：，（）：，（）：，（）：山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷 ，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，：，（）：，：，：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，：，：，：，（）：，：，：，（）：，：（编辑：胡春燕）
