1、第 卷 第 期 年 月计 算 物 理 ，文章编号：（）收稿日期：；修回日期：基金项目：国家自然科学基金（）资助项目第一作者：余登亮（），男，硕士研究生，研究方向为转子系统耦合故障动力学，：通信作者：南国防，：滚动轴承支撑下转子系统的耦合故障动力学余登亮，南国防，姜 珊，宋传冲（上海理工大学能源与动力工程学院动力机械及工程系，上海）摘 要：研究含波纹度滚动轴承支撑下裂纹转子系统发生碰摩故障时的动力学特性。建立滚动轴承内外圈表面的波纹模型，采用综合模型描述转子轴系的呼吸型裂纹，研究转子系统与定子碰摩的非线性动力学特性。根据拉格朗日方程建立四自由度含波纹度滚动轴承支撑下裂纹碰摩转子系统动力学方程，采
2、用四阶 方法进行数值求解，研究波纹度幅值、波纹数、轴承间隙及偏心量等参数对系统非线性特性的影响。结果表明：在低转速区间，随着波纹度最大幅值的增大，系统振动响应逐渐混乱，间谐波数量以及幅值随之增大，且逐渐出现连续特征谱。随着转速的逐渐增大且到达临界转速后横向位移随着轴承间隙的增大逐渐减小，随着偏心量的增大逐渐增大。到达超临界转速后，转子系统呈现出较强的非线性特征，横向位移随着最大幅值的增大而逐渐增大，振动响应随着偏心量的增大由混沌运动转变为周期 运动和拟周期运动。大轴承间隙下，系统在低转速区随着轴承间隙的增大而趋于稳定，在超高转速区则一直处于混沌运动中。波纹数与滚珠个数一致的系统相比不一致的系统
3、在低转速区更加稳定，超临界转速区更加混乱。关键词：波纹度滚动轴承；转子；非线性动力学；裂纹；碰摩中图分类号：.文献标识码：.引言 滚动轴承在生产制造时，由于制造工艺等因素，在其内外圈滚道表面会产生一定的波纹度。对波纹度故障产生的影响已有比较深入的研究。康峰等考虑滚动轴承内外圈波纹度故障，建立薄壁轴承转子系统模型，分析了不同参数变化下的薄壁轴承转子系统的振动响应特性。顾晓辉等研究内外圈波纹度最大幅值对系统的非线性振动的影响，提出了采用关联维度作为波纹度故障的诊断参数。张耀强等建立了含波纹度故障的滚动轴承转子系统模型，研究了外圈与内圈波纹度参数对系统振动响应特性的影响。等建立了考虑外圈表面波纹度的
4、滚动轴承转子系统，分析了系统在不平衡力和非线性赫兹接触下的非线性行为，发现波纹数对系统的振动特性具有较强影响。对于不同支撑的裂纹转子，韩庆书等利用格林函数模拟圆柱型轴承支撑润滑问题，模拟结果具有较高精度。邹剑等建立了考虑初始弯曲的简单铰链支撑的裂纹转子系统模型，研究了不同刚度、不同阻尼比对系统稳定性的影响。何成兵等考虑非线性涡动，对比研究了刚性支撑下的裂纹转子、刚性支撑下和轴承支撑下的弯扭耦合裂纹转子的动力学响应特性。向玲等考虑呼吸裂纹和非线性油膜力，建立滑动轴承支撑下的双盘裂纹转子系统模型，分析了裂纹参数、转速及偏心量对系统振动响应和稳定性的影响。翟鹏程建立了油膜支撑下的裂纹转子系统，提出了
5、对系统振动响应稳定性分析的改进算法。国内外学者对裂纹的开闭规律以及转轴时变刚度开展了许多研究。林言丽在考虑转子在扭转振动时易产生斜裂纹的前提下，研究了斜裂纹的呼吸开闭规律和时变刚度规律，提炼出了斜裂纹转子系统的故障频率特征信息。杨丹等建立刚性支撑下的裂纹转子系统，研究裂纹深度及转速对转子系统动力学响应特性的影响。刘长利等基于有限单元法建立了裂纹转子模型，研究了直裂纹与斜裂纹的裂纹开闭规律。等基于内聚力模型（）对转子呼吸裂纹进行了有限元模拟分析，提出了一种基于 的裂纹轴刚度损失计算方计 算 物 理第 卷法。针对考虑额外状况下的裂纹转子系统，国内外学者做了相关研究。钱征文等考虑在转子临界转速附近的
6、涡动，研究了裂纹深度、阻尼等参数对系统稳定性的影响。刘政等研究了呼吸裂纹转子在过临界转速时的瞬态振动响应。张亚辉等考虑初始弯曲研究裂纹深度和初始弯曲量等对系统振动响应的影响。蒯腾飞等通过有限元仿真研究了裂纹角度及转速对系统动态响应特征的影响。于海等建立了高自由度下的裂纹转子系统模型，提出新型降维方法对其进行降维处理。路振勇等以航空发动机高压转子为研究对象，分析了裂纹深度对系统临界转速及振动响应特性的影响。在裂纹碰摩耦合故障转子方面，国内外学者对系统动力学建模、非线性特性及故障诊断做了大量研究。等研究了故障参数系统非线性响应。等实现了 方法对多故障透平转子系统解耦。等对裂纹与碰摩 转子展开研究，
7、发现高阶谐波分量出现在碰摩过程。罗跃纲等建立了含轴承油膜及转静件间相对速度的裂纹碰摩转子动力学模型。刘颖慧基于非稳态油膜力的 转子系统，考虑裂纹深度、转速比、偏心量等参数研究耦合故障下转子非线性，结果表明耦合转子较纯裂纹转子明显出现周期 窗口。曲秀秀建立了裂纹碰摩耦合故障下连续梁转子轴承动力学模型研究了该转子的非线性行为。艾延廷提出了一种基于融合信息熵距的裂纹碰摩耦合故障诊断方法，提高了振动故障诊断的准确性。等研究了系统的动力学轨迹、功率谱、庞加莱映射和分岔图。对于轴系的非线性响应，杨志安等利用 方法得到了龙格库塔法得出的数值解相吻合的近似解析解。针对拉格朗日建模方法，季仲贞等设计出了一种即能
8、保持总能量守恒又能增大时间步长的显示差分算法。虽然学者对裂纹碰摩转子耦合故障开展了一定的研究，但对含波纹度轴承转子故障系统的动力学特性的研究较为匮乏。对含波纹度滚动轴承支撑下裂纹碰摩耦合故障转子系统的振动特性进行深入研究具有重要的工程应用价值。本文考虑呼吸裂纹、含裂纹滚动轴承非线性赫兹接触和碰摩力，建立了滚动轴承支撑下含横向裂纹的碰摩转子系统，采用 方法对该系统动力学特性进行研究。图 含内外波纹故障的滚动轴承示意图 转子系统动力学建模.含波纹度轴承模型 滚动轴承在生产时由于制造工艺的原因，轴承内外圈表面会产生一定的波纹度。如图 所示。在滚动轴承内外圈滚道表面出现正弦波状的波纹度。假设在某时刻，
9、第 个滚珠与内圈滚道接触点的表面波纹度 可以表示为|，（）式中 为波纹最大幅值，为接触点距参考点的弧长，为波纹波长，为初始相位角，为滚珠的数目，则有 ，（），（）式中 是轴承内圈滚道半径，为波纹总数，是 时刻接触点的角位置，（）（），（）式中 为轴承内圈角速度，为滚珠公转角速度，其大小为 （），（）式中 为外圈滚道半径，将式（）（）代入式（）即可得到 （）（）|，。（）第 期余登亮等：滚动轴承支撑下转子系统的耦合故障动力学同理，可得到 时刻第 个滚珠与外圈滚到接触点的表面波纹度 为 （）|，（）则第 个滚珠的接触变形量为 ，（）则含有表面波纹度的滚动轴承在 和 方向的轴承力可以表示为 （），（
10、）。|（）.碰摩力模型 研究碰摩力时，不考虑转子在运行过程中由于摩擦而产生的热效应、转子与定子之间的碰撞为弹性碰撞。转子碰摩模型如图 所示。假设转子系统在静止时转子与定子之间的间隙为，则碰摩时，法向碰撞力及切向摩擦力可表示为（），（）其中，为转子轴心径向位移，为定子的径向刚度，为转子与定子间摩擦系数。在 坐标系中，碰摩力可以表示为|（）|，。（）.裂纹下转轴刚度模型 图 所示为转轴裂纹处横截面示意图，其中 为固定坐标系，为固定在转轴上的旋转坐标系，方向为裂纹扩展方向，方向为裂纹扩展垂直方向，为转子的涡动角，为旋转角速度，为自转角，为转涡差角，为裂纹扩展方向与偏心量方向的夹角。考虑呼吸裂纹，裂纹
11、轴的刚度矩阵可表示为|（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）|，（）图 碰摩力模型示意图 图 裂纹轴横截面示意图 式中，（，）为在、方向转子裂纹轴刚度计 算 物 理第 卷变化量；为无裂纹时转轴的弯曲刚度。（）为描述裂纹开闭的函数，使用文献提出的综合模型，开闭函数为（），|，|，|（）式中，为裂纹夹角的一半，（），其中 为转轴半径，为裂纹深度。.转子系统建模及动力学方程 考虑滚动轴承支撑的波纹度、裂纹以及碰摩，采用集中质量法建立图 所示的耦合故障转子系统。图 耦合故障转子系统示意图 如图 所示，转子两端均采用带波纹度滚动轴承支撑，其中、分别为转子在轴承处的集中质量和转盘处的集中质量，、分别
12、为转子在轴承处的结构阻尼和转盘处的结构阻尼，、分别为轴承几何中心和圆盘几何中心，为转盘质心位置，转子与轴承之间的转轴为无质量弹性轴，在靠近圆盘处有一横向弓形裂纹。假设转子系统左侧轴承处的径向位移为（，），转子圆盘处的径向位移为（，），忽略扭转振动和陀螺力矩，只考虑转子的横向振动，其中 为转动角速度，分别为左侧滚动轴承支撑力在 方向的分量和在 方向的分量，为转盘处的偏心量，为重力加速度。和 为转子圆盘处所受到的碰摩力在 方向的分量和 方向的分量。考虑滚动轴承内外圈的表面波纹度，根据拉格朗日方程建立裂纹碰摩耦合故障转子系统的运动微分方程为表 系统主要参数 参数值轴承处集中质量 轮盘处集中质量 .无
13、裂纹转轴刚度 （）.轴承阻尼 （）圆盘阻尼 （）摩擦系数.定子径向刚度 （）.转定子间隙 偏心量 最大幅值 波纹数?（）（），?（）（），?（）（）（），?（）（）（）。|（）用 法对式（）进行数值积分求解，同样舍去前 个周期的结果来消除瞬态响应，进而得到系统的振动响应。系统的主要参数如表 所示。计算结果及分析 为研究波纹度幅值、波纹数、轴承间隙及偏心量对耦合故障转子系统动力学响应的影响，分别将波纹度幅值、波纹数、轴承间隙和偏心量设为控制变量。无量纲裂纹深度为 .，其余参数皆为初始参数。第 期余登亮等：滚动轴承支撑下转子系统的耦合故障动力学.波纹度幅值对系统响应的影响 取波纹度的最大幅值分别为
14、、，振动响应分叉图和频谱瀑布图如图、图 所示。图 不同最大幅值下系统振动响应分岔图（）；（）；（）（）；（）；（）从分岔图可以看出，该耦合故障转子系统在亚临界转速区间存在短暂的拟周期运动，在超临界转速区间存在极强的非线性特征。对比不同最大幅值的系统振动响应分岔图可以发现：在低转速区间，系统的拟周期运动窗口随着最大幅值的增大而增大，如图（）、（）所示。在最大幅值为 、时，系统的振动幅值逐渐超过碰摩间隙，从而发生碰摩，系统存在短暂的混沌运动。在亚临界转速区间，系统存在短暂的拟周期运动；在高转速区间，耦合故障转子系统随着最大幅值的增大从复杂的非线性运动转变为拟周期运动。对比不同最大幅值的系统振动响应
15、频谱瀑布图可以发现，随着最大幅值的增加，在低转速区间的系统逐渐出现较多的间谐波，且间谐波的幅值逐渐增大，对应系统处于拟周期运动中。另外，系统在低转速区间存在连续谱特征，亚临界转速区间出现 频率（为变柔度振动频率，由轴承总刚度变化而形成，是参数激励频率）；在高转速区间，系统存在较为稳定的间谐波。图 不同最大幅值下系统振动响应频谱瀑布图（）；（）；（）（）；（）；（）图 所示为 、时耦合故障系统时间历程图、频谱图和 截面图。发现系统在此转速时处于拟周期运动，频谱图中存在工频与 频率，且 截面图中出现封闭圆环。图 为不同波纹度最大幅值的耦合故障转子系统在 下的频谱图，对比发现随着波纹度最大幅值的增大
16、，间谐波的幅值以及数量随着增大，谐波分量的幅值也随之增大，当最大幅值 时频计 算 物 理第 卷谱图中的间谐波周围出现了宽噪声连续谱。图 、时耦合故障系统（）时间历程、（）频谱及（）截面（），（）（），图 时不同最大幅值的耦合故障转子系统频谱（）；（）；（）（）；（）；（）.波纹数对系统响应的影响 为了研究波纹数对系统动力学响应的影响，对不同波纹数的耦合故障转子系统的动力学响应特性进行对比分析。图、图 分别为波纹度最大幅值 、波纹数 、时的系统动力学响应分岔图和频谱瀑布图。图 不同波纹数下系统振动响应分岔图（）；（）；（）（）；（）；（）第 期余登亮等：滚动轴承支撑下转子系统的耦合故障动力学图 不同波纹数下系统振动响应频谱瀑布图（）；（）；（）（）；（）；（）对比不同波纹数的系统动力学响应分岔图可以发现：在低转速区间，波纹数与滚珠个数一致的系统相比不一致的系统更加稳定，而个数不一致的系统在低转速区间的拟周期运动横向位移都比个数一致的系统的横向位移要大；在亚临界转速区间，、的耦合故障转子系统都存在短暂的拟周期运动窗口，在超临界转速区间内，波纹数与滚珠个数一致的系统比个数不一致的系统振动响应
