1、55学科教育与教学总第 344 期摘 要：数学教学中，复习课非常重要，但往往教师感到难讲、学生觉得乏味。想要改变复习课现状，教师需要从整体视角对复习课进行设计，通过规划教学环节、创设教学活动，以知识生长、策略优化、结构搭建和文化传承四个维度作为实施路径和评价侧重，引导学生在数学学习的全过程中领悟到前后统一、首尾呼应、一以贯之、一脉相承的思维方式。本文以“二次根式”的复习为例，对复习课进行价值思考，通过多维度策略，探索在复习课中实施数学学科育人的途径和方法。关键词：初中数学复习课设计 整体视角 学科育人 知识生长 优化策略 中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1672-6715（
2、2023）08-0055-07*胡素芬，上海市浦东教育发展研究院，初中数学教研员。复习课也是素养培育的阵地以初中数学整体视角下复习课的设计为例胡素芬*一、基于整体视角对初中数学复习课进行设计的意义“整体”指若干对象（或单个客体的若干成分）按照一定的结构形式构成的有机统一体，与“部分”相对。整体观是指从全局考虑问题的观念。数学学科中，整体观念视角下复习课的设计就是要求数学教学的过程始终贯彻基本观点、归纳基本策略和形成基本模式。在复习课中，教师通过规划教学环节、创设教学活动，以知识生长、策略优化、结构搭建和文化传承四个维度作为实施路径和评价侧重，有助于引导学生在数学学习的全过程中领悟到前后统一、首
3、尾呼应、一以贯之、一脉相承的思维方式。562023.4（下）以“二次根式”的复习为例。二次根式在上海教育出版社出版的初中数学教材中被安排在八年级第一学期。许多学生感到八年级的数学学习比较困难，是因为八年级的数学存在从算术到代数、从常量数学到变量数学、从实验几何到论证几何、从确定性数学到随机性数学等学生在初中数学学习中必须经历的几个重大转折。这些转折既是知识上的变化，更是认知能力上的飞跃。其中第一个过程从算术到代数，学生基本已在六年级和七年级完成学习，但是对于二次根式产生的必要性和合理性，学生的认识是不全面、不深入的。因此，在复习课中引导学生回忆用字母表示数，重现用符号表示运算的过程就显得尤为必
4、要。从数到式的过程是一个抽象化的过程，其以简洁明了的优势奠定了代数研究的基础。而在数学学习过程中，对字母a本身的符号和-a的符号的判断，尤其牵涉到-a是正数还是负数的问题，受到形式化的约束，学生始终感到棘手。因此，在复习课上梳理各类相关知识发生、发展过程的脉络，强化学生对二次根式的深度理解，有利于促进不同层次、不同基础的学生拓宽知识广度、发展数学能力、提升核心素养。二、整体视角下初中数学复习课的设计（一）重温旧知，归纳思想与方法【教学环节1】教师带领学生回忆：1.请同学们回忆从小学到初中关于“数”的学习过程，想想我们都学过哪些数？这些数之间有什么联系？进入初中学习，我们经历了对“式”的认识与发
5、展，都学过哪些式？这些式之间有什么联系？2.在七年级“实数”一章中，我们学习了关于平方根的概念，还知道了：若2=xa，则x是a的平方根；正数a有两个平方根，用“a”表示，其中a表示a的正的平方根，a又叫做a的算术平方根；零的平方根记作00=。在八年级的学习中，我们把代数式叫做二次根式。从“数”到“式”，就是经历由特殊到一般、由具体到抽象、由局部到整体的思维过程，涉及“用字母表示数”以及“用数学符号表示运算”。为了更好地复习“二次根式”这一章，教师需要带领学生重温“用字母表示数”，梳理从数到式的过程，以促进学生对数学现象或实际现象进行一般化的抽象归纳。这一教学环节，有助于引导学生思考“a”这个式
6、子中蕴含的两个非负数的特征（被开方数0a；开平方后的运算结果0a），使学生更加深刻地理解二次根式的概念，在新授课的基础上再次理解a的双重非负性，为运用非负性解决运算问题奠定基础。（二）设问激趣，促进关联与拓展【教学环节2】教师提出问题：2a与()2a之间有怎样的区别与联系？这个教学环节，教师出示两个简单的式57学科教育与教学总第 344 期子进行对比，激发学生的好奇与兴趣，进而引导学生逐步形成用数学的眼光观察和分析问题的能力。学生独立思考之后各抒己见，从运算顺序、运算结果、字母的取值范围等多重视角观察思考2a与()2a的区别和联系，逐 步 学 会 用 数 学 的 思 维思考问题（表1）。而后，
7、在教师一连串的提问、设问、追问、反问等师生互动中，学生体会到文字语言和符号语言表述的规范性，逐步学会用数学的语言表达问题、描述世界；通过探索研究2a与()2a两者之间的区别和联系，学生逐渐感受到事物之间的辩证统一。分别运用文字语言和符号语言表示两者之间的联系后，学生在教师引导下，通过反思、观察和对比，体会用字母代替数的过程以及用符号语言替代文字语言所具有的优越性，并在二次根式动态发展过程中发现相对统一的规律性：字母代替了数字，摆脱了数字的束缚，从“特殊”到“一般”得到了普遍适用的性质，符号化给数学研究带来了无限的生机和无尽的发展。从数学的发展史看，从代数学创始人之一丢番图用缩写字母表示数，到数
8、学家韦达用字母表示一般意义的数，期间整整经历了1200年。事实上，学生理解用字母表示数的合理性和必要性，正是重现了人类在这方面的认识发展过程。教师通过这样的设计，鼓励不同水平的学生对数学产生兴趣，激发学生的历史认同感和民族使命感。（三）追根溯源，建构知识脉络【教学环节3】计算并思考（图1）。通过如图1所示的两道题的简单计算，学生体会到了式的运算和数的运算之间存在高度一致性和紧密关联性。解题后，教师要求学生将两道题目的详细解题过程进行观察和对比，引导学生思考并总结用字母表示数后可以得出的数与式在运算上的相关结论：式的运算，在本质上是对字母（变元）与符号运用运算律所进行的形式运算，式的运算与数的运
9、算具有一致性；式的运算建立在数的运算基础上，数的运算是式的运算的特2a()2a视角区别a的平方的算术平方根a的算术平方根的平方运算顺序一切实数非负数a的取值范围由于平方与开平方是互逆运算所以2aa=由于开平方与平方是互逆运算所以运算结果联系一个非负数的平方的算术平方根与这个非负数的算术平方根的平方相等，都等于这个非负数本身当0a时，()22aaa=表1582023.4（下）例，式的运算更具有一般性。数与式之间的联系体现了数学知识之间具体与抽象的内在联系及数学的内在统一性，所以“实数的加减”运算同样可以称为“二次根式的加减”运算。据此，学生能够进一步体会“数是式的基础，式是数的发展”，并能够从中
10、感受到由于字母表示了数，即数式同源，因此数式通性。由此，学生脑海中的知识脉络更加清晰：本章的学习，是从数与字母的运算得到有理式开始，到进行开平方运算而获得特殊的式子二次根式，再到认识二次根式的概念和性质之后展开如何进行加、减、乘、除运算的学习。三、反思和启示教学的目的不仅仅是为了传播知识、学会解题，而应该是“融教于育”，也就是把知识和题目作为训练数学思维的载体，在放飞思维的过程中，让不同水平学生的数学能力、数学思维、数学素养均得到发展，从而让数学学科育人在不知不觉中悄然进行。这就要求数学教师积极转变教学观念，不断提高教学立意，多方探索育人途径。（一）重传授，更重生长，育其知学生学习的本质是新旧
11、知识的互相作用。与其把学习的主要内容以定论的形式告诉学生，不如通过精心设计的教学活动让学生自己发现规律。无论是章头课、新授课、练习课还是复习课，决不能简单地“一个定义、三项注意”地把概念、定义等知识灌输给学生，也不能机械地、反复地操练题目，而应该在各个教学环节中引导学生通过观察、思考和分析，于矛盾处生成概念，于冲突间辨析概念，于表述中规范概念，这样学生的数学能力才能生长，数学思维才能提升。尤其是单元复习课，应该在整体视角图159学科教育与教学总第 344 期下精心设计教学流程，要让学生自主传承、自主探究、自主发现，更要让学生在复习课中得到知识的夯实、经验的积累、思维的提升。本节课注重知识梳理以
12、及反思对比，引导学生在不同视角的观察中寻找相同点和不同点，自主探究二次根式的数学本质，在夯实知识点概念的同时，通过知识的类比和能力的迁移，学生学会了研究这一类问题的常用方法和常规路径。本节复习课的练习一共只有四道简单计算题，如此设计旨在把学生从“做题目+对答案”的单循环中解放出来，引导学生注重概念的理解和辨析、表达的规范与准确以及解题后的反思与小结，在深刻理解算法和算理的基础上领悟计算的每一步过程背后的数学原理，在熟练计算的基础上逐渐形成合理有效的解题策略。这样的教学设计重视学生数学知识的生长点，关注学生基本数学能力的伸展点，帮助学生在二次根式的概念、性质和运算法则之间建立紧密的联系，通过知识
13、的梳理，知识之间区别与联系的找寻，引发学生感受并思考学习相关知识的必要性，于润物无声之中育其知。（二）重内容，更重结构，育其行复习课的设计一定要重视内容复习什么，但更重要的是关注结构怎么复习。这节课的设计重点是让学生学会复习，所以引导学生回忆“式”和“二次根式”的源头就成了必然。首先，纵向梳理“数”的发展是帮助学生找到无理数的源头；其次，纵向梳理“式”的认识过程是帮助学生找到二次根式的源头；最后，进行横向梳理：从数到式、从无理数发展到二次根式。这样，相关知识就不再是分散的，而是密织成了纵横交错的有机整体，为构建数学知识的立体大厦奠定了坚实的基础。复习课不仅需要关注二次根式本章内部的结构和联系，
14、也需要关注二次根式的“来路”和“出路”，即关注二次根式在整个数学体系中的地位和价值，这样有助于学生形成对数学的整体认识，能让二次根式的相关内容整体化、系统化，从而让数学学习顺序更加明确，数学学习方法更加多样化，数学思维更加鲜活灵动。二次根式的复习要注意研究二次根式与整式、分式相“同化”的基本知识，用整体的观点、联系的思想、类似的方法按照同样的顺序研究二次根式的相关内容。不能忽略的是，二次根式有其独特的内在特点，所以还要以“顺应”的思想研究二次根式的特点，这也是复习最简二次根式的价值和意义。这样设计教学活动，能够帮助学生了解数学知识的来龙去脉和前因后果，将分散的知识点纳入有序的立体网络之中，深度
15、体会学习二次根式这一内容的合理性和必要性。重视二次根式概念的同化和顺应，通过创设不同形式的教学活动引导学生纵向梳理数和式的发展过程，搭建由数到式的横向602023.4（下）桥梁用字母表示数，有利于本章内容结构化地稳步推进，在循序渐进中通过创设不同形式的教学活动育其行。（三）重技能，更重策略，育其能复习课不仅需要梳理知识脉络，还要注意重温程序性知识，更要注重探究策略性知识。本节复习课，教师通过回忆整式、分式的学习过程，引导学生类比数的研究模式、回顾式的研究模式，从而领悟代数学习的基本模式：先明确概念，然后研究性质，再进行运算，最后推广运用。对于方程和不等式的研究顺序也是如此。在此基础上，再引导学
16、生探究二次根式的概念、性质、运算中的一些小技巧，从策略到技巧的总结归纳有利于学生积累经验、确定研究方向、把碎片化的技能训练纳入策略研究的整体之中。复习课不应该也不能以“满堂做题对答案”的方式开展，教师应以数学知识和数学题目为载体，帮助学生明确算法和算理，提升数学能力，发展数学思维。学生只有在体会算理的大前提下，才可能促进理解和熟练掌握运算法则、运算性质、运算顺序，寻找和选择合理有效的运算途径，不断优化解题策略，才可能减少错误，切实提高运算能力。授人以鱼不如授人以渔，比起直接教授知识点，教师更应该引导学生不断观察、比较，领悟二次根式的基本性质是二次根式计算的基础：最简二次根式和同类二次根式是二次根式加减法的基础；二次根式的性质3和性质4是二次根式乘除运算的基础。反过来，教师也可以引导学生从二次根式的加减运算中体会最简二次根式和同类二次根式的重要性，从二次根式的除法运算中体会二次根式性质4的重要性；引导学生注重从概念到应用，再从应用到概念，深度理解性质，不断优化解题策略。在明确算法算理、熟练运算技巧、形成解题策略的过程中，数学学科育人的作用在育其能中体现。（四）重知识，更重文化，育其根人类
