1、收稿日期：20220604点阵板结构固有频率等效模型误差分析刘帅1，杨睿1，冀宾2，牛斌1（1.大连理工大学 机械工程学院，辽宁大连116024；2.上海宇航系统工程研究所，上海201109）摘要：点阵材料是一种新兴的轻质高强的材料，由于其具有多尺度特征，采用离散模型需要对所有板杆进行建模和网格划分，导致频率分析费时。常采用均匀化后的等效模型进行分析。主要对等效模型进行频率分析，讨论点阵材料各参数对频率的影响。以一块四边固支的仅具有面内周期性的点阵板为研究对象，分别使用离散模型和三维周期性材料均匀化等效模型、周期性板结构的均匀化等效模型，开展周期性点阵板结构的固有频率的计算，分别改变点阵板的单
2、胞内部参数、单胞的排布个数、单胞的构型，讨论这些因素对固有频率的影响。进而，以离散模型的结果为基准，对等效模型的求解结果进行误差分析，结果显示针对具有面内周期性的点阵板结构，Mindlin等效板模型预测的固有频率误差较小。关键词：点阵板；渐近均匀化；频率分析中图分类号：TB34文献标志码：A文章编号：10099492(2023)03013404Error Analysis of Equivalent Model of Natural Frequency of Lattice Plate StructureLiu Shuai1，Yang Rui1，Ji Bin2，Niu Bin1（1.Schoo
3、l of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology,Dalian,Liaoning 116024,China;2.Shanghai Institute of Aerospace Systems Engineering,Shanghai 201109,China）Abstract:Lattice material is a new kind of lightweight and high-strength material.Due to its multi-scale characteristics,it is time-con
4、sumingto conduct frequency analysis using discrete finite element model,which models and meshes all the plates and rods.The homogenizedequivalent model is often used for analysis.The frequency of the equivalent model was mainly analyzed and the influence of the parameters ofthe lattice material on t
5、he frequency was discussed.Taking a lattice plate clamped at four edges with only in-plane periodicity as an example,the natural frequency of the periodic lattice plate structure was calculated using the discrete model,the three-dimensional periodic materialhomogenization equivalent model and the pe
6、riodic plate structure homogenization equivalent model.By changing the internal parameters of theunit cell,the arrangement of the unit cell and the cell configuration respectively,the effects on the results were discussed.Then,based on theresults of the discrete model,the error analysis of the solut
7、ion results of the equivalent model was carried out.The results show that for thelattice plate structure with in-plane periodicity,the error of the natural frequency predicted by the Mindlin equivalent plate model is small.Key words:lattice plates;asymptotic homogenization;frequency analysis2023年03月
8、第52卷第03期Mar.2023Vol.52No.03机电工程技术MECHANICAL&ELECTRICAL ENGINEERING TECHNOLOGYDOI:10.3969/j.issn.1009-9492.2023.03.027刘帅，杨睿，冀宾，等.点阵板结构固有频率等效模型误差分析 J.机电工程技术，2023，52（03）：134-137.0引言点阵材料结构有着高比强、高比刚、孔隙率高等一系列优点1，但由于具有多个尺度，使用离散模型进行分析比较费时，计算困难。所以，将点阵结构等效，使用等效性能进行力学响应的求解就显得尤为重要。对于点阵材料结构的等效性能求解，许多学者提出了一系列方法，比
9、较常见的是代表体元法2、多尺度有限元法3、渐近均匀化法4。其中，渐近均匀化方法有严谨的数学理论的支撑，以摄动理论为基础，通过对定义在单胞上的偏微分方程组进行求解，获得点阵材料的等效性能。Hassani等5-6从理论和数值求解角度对渐近均匀化方法进行了详细综述。然而，均匀化方法的数学属性比较强，对于没有很强的数学背景的设计者来说，使用起来比较困难。对此，Cheng等4提出了渐近均匀化方法的新求解 方 法（New Implementation of Asymptotic Homogenization，NIAH），可以快速计算出三维周期性材料的等效本构矩阵。在此基础之上，Cai等7和Yi等8受到启发
10、，对NIAH进行推广，分别研究出了周期性板结构的渐近均匀化方法的新求解方法和周期性梁结构的渐近均匀化方法的新求解方法。Zhao等9基于NIAH方法研究了了具有随机夹杂聚合物 PVC/ABS/nano-CaCO3的等效性质。Zhang等10基于NIAH研究了周期性复合材料的等效热膨胀系数。本文首先介绍渐近均匀化的基本理论，使用离散模型和三维周期性材料均匀化等效模型、周期性板结构的渐近均匀化等效模型，分别改变单胞内部参数、单胞排布个数、单胞构型，开展点阵板的固有频率分析研究。以离散模型的结果为基准，对等效模型的求解结果进行误差分析。1341渐近均匀化基本理论1.1三维周期性材料的渐近均匀化渐近均匀
11、化可用于求解周期性材料的等效性能。通过三维周期性材料的渐近均匀化方法，可将微观上材料分布不均匀的三维周期性材料等效为一种均质的材料，求解出该材料的等效本构矩阵CH，并且有下式成立：=CH（1）式中：为应力；为应变。等效本构矩阵CH可以通过下式求得11：CHijkl=1|Y()0(ij)-*(ij)TK()0(kl)-*(kl)dY=1|Y()0(ij)-*(ij)T()f(kl)-f*(kl)（2）式中：|Y为单胞体积；0(ij)为单位应变对应的初始位移场；*(ij)为特征位移场；f(kl)为初始位移场对应的节点反力；f*(kl)为特征位移场下的节点反力。具体求解分为3步11：第一步，首先在结
12、构中选取周期性单胞，然后使用有限元软件建模，求解出单胞在单位应变场对应的位移场作用下的节点力场f(kl)；第二步，通过在单胞上施加节点力场f(kl)和位移周期性边界条件，求解出特征位移场*(kl)；第三步，求解出特征位移场作用下单胞的节点反力。最后，将得到的节点力和节点位移代入到式（2）中，就可以得到点阵材料的等效本构矩阵。1.2周期性板结构的渐近均匀化法通过周期性板结构的渐近均匀化法，可以将仅有面内周期性的点阵材料结构等效为均匀的板。等效模型有2 种，Kirchhoff 板模型和 Mindlin 板模型。其中，Kirchhoff板是比较经典的板模型，假设变形前垂直于中面的直线段变形后仍垂直于
13、中面。而Mindlin板模型打破了这一假设，假设变形前垂直于中面的直线段变形后可以不垂直于中面。这是两种模型的最主要的区别。Kirchhoff板模型的本构方程为：|N11N22N12M11M22M12=|A11A12A13B11B12B13A22A23B21B22B23A33B31B32B33D11D12D13symD22D23D33|112212112212（3）式中：N11、N22分别为面内方向的面力；N12为面内剪力；M11、M22分别为面内方向的弯矩；M12为扭矩；11、22分别为沿面内方向的正应变；12为剪应变；11、22分别为面内方向的曲率；12为扭率；A11、A22为拉伸刚度；A
14、33为面内剪切刚度；D11、D22为弯曲刚度；D33为扭转刚度；其他为拉弯耦合刚度。与三维周期性材料的渐近均匀化相比，周期性板结构的渐近均匀化求解等效刚度的过程可以分为以下 3步12：第一步，要先求解单胞在单位位移场作用下的节点力f(=1,2,6)；第二步，把节点力向量作用到单胞上，施加位移周期边界条件，求解特征位移场?(=1,2,6)；第三步，求解单胞在特征位移场作用下的节点反力f?(=1,2,6)。最后，将得到的数据代入到式（4），即可得到单胞的等效本构矩阵：DH=1|Y()+?T()f+f?（4）在实际工程领域当中，由于轻量化要求，结构在大多情况下并不是用实心材料制造的，由于有孔隙存在，
15、影响了剪切刚度，抗剪切能力往往相对较弱，此时横向剪切变形大多不可忽略，考虑其等效剪切刚度是很有必要的。此时，一般需要使用 Mindlin板模型进行等效12。假设它的本构方程为以下形式：|N11N22N12M11M22M12=|A11A12A13B11B12B13A22A23B21B22B23A33B31B32B33D11D12D13symD22D23D33|112212112212 Q13Q23=|K11K22 1323（5）式中：K11和K22为剪切刚度。式（5）可以写为矩阵形式：NM=|ABBTD,Q=K（6）式中：A为面内拉伸刚度阵；B矩阵为拉弯耦合刚度阵；D矩阵为面外弯曲刚度阵；K为剪
16、切刚度阵，可以通过比较宏观板元与微观单胞的内力及外力状态，在单胞上构造与宏观板元一致的应力应变状态，根据宏微观应变能等价求解得到，更多具体细节可以参考文献12。2点阵板固有频率计算和频率误差计算本章先介绍初始结构，使用离散模型和三维周期性材料均匀化等效模型、周期性板结构的渐近均匀化等效模型，分别改变单胞内部参数、单胞排布个数、单胞构型，开展点阵板的固有频率分析研究。以离散模型的结果为基准，对等效模型的求解结果进行了误差计算。初始结构由立方单胞构成，该单胞由相互正交的3块板组成。为计算方便，假设3块板厚度相同，单胞尺寸为4cm 4cm 4cm。构成点阵的基体材料的弹性模量E=72GPa，泊松比=0.3，密度=2700kg/m3。初始结构单胞排布为6 8 1，整体板的尺寸为24cm 32cm 4cm，单胞内面板厚度为0.4cm，点阵板的边界条件为四边固支。单胞和点阵板示意图如图1所示。刘帅，杨睿，冀宾，等：点阵板结构固有频率等效模型误差分析135依据单胞构型特点，先分别使用实体单元和壳单元建模进行精确模型计算，随后又分别使用实体单元和壳单元建模进行三维周期性材料的渐近均匀化等效模型计算，最
